代 振，何其偉，萬海波

(海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

能量法估計全息面信噪比研究

代 振，何其偉，萬海波

(海軍工程大學 動力工程學院，湖北 武漢 430033)

在近場聲全息技術中，全息面信噪比是一個非常重要的參數(shù)，但無法直接測量得到。為了解決該問題，給出了基于能量法的波數(shù)域內信噪比估值公式，并根據(jù)該公式分析估值誤差的來源，指出全息面采樣間隔對估值具有重要影響。為了判別估值是否準確，提出了選取全息面不同區(qū)域的數(shù)據(jù)進行重復估計的判別方法。當估值不準確時，指出可以通過減小全息面采樣間隔來降低估值誤差。仿真給出滿足不同誤差條件的不同采樣間隔所對應的最大信噪比估值，可作為實際應用中的參考。

平面近場聲全息；信噪比；估值誤差

0 引 言

近年來，近場聲全息技術[1–2]（NAH）在噪聲識別與定位、振動和聲輻射特性研究等領域發(fā)展迅速，尤其是 Williams等[3]在 20 世紀 80 年代初提出的基于 FFT的平面 NAH 技術，因其理論簡單，測量方便，易于計算和分析，在工程實際中應用廣泛。

在應用平面 NAH 技術進行聲場重建時，由于背景噪聲分布在整個波數(shù)域范圍內，逆向重構時位于高波數(shù)區(qū)域內的背景噪聲將會被急劇放大，導致全息重構結果出現(xiàn)較大誤差。因此，需要對全息面復聲壓數(shù)據(jù)進行波數(shù)域濾波[4]。目前常用的濾波窗函數(shù)主要有維納（Wiener）濾波窗[5]以及帶約束條件的最小二乘濾波窗[6]。在上述 2 種窗函數(shù)中，信噪比都是重要參數(shù)，能夠直接決定濾波截止波數(shù)的選定，嚴重影響波數(shù)域濾波和聲場全息重構效果。

但是，信噪比無法在測量過程中直接得到，需要根據(jù)全息面測量數(shù)據(jù)進行估計。辛雨等[7]提出以輻射圓外的波數(shù)域成分數(shù)據(jù)的均方根值近似代替全息面的噪聲信號均方根值，采用能量法進行信噪比估計，但其估值嚴重依賴全息面數(shù)據(jù)的選取，而且無法判定估值是否準確。本文在其研究基礎上給出波數(shù)域內的信噪比估值公式，提出一種判別估值是否精確的方法，并指出可以減小全息面采樣間隔來降低估值誤差。本文以 2 個點聲源為例進行仿真，給出在不同采樣間隔下滿足不同誤差條件的最大信噪比估值，可作為實際應用中的參考。

1 平面 NAH 基本原理[8]

設全息面測量得到的復聲壓數(shù)據(jù)為 pH(x,y,zH)，則有：

式中： Ps(x′,y′,Zs) 為聲源面聲壓； gD(x,y,z) 為 Dirichlet 邊界條件下的格林函數(shù)。

定義二維傅里葉變換為：

對式（1）兩邊取二維傅里葉變換，并由卷積定理可得：

式中 GD(kx,ky,z) 為 gD(x,y,z) 的二維傅里葉變換。其表達式為：

當k2x+k2y≤k2時，

當k2x+k2y＞k2時，

式中kx,ky分別對應 x、y 方向的空間波數(shù)。

將式（5）代入式（4），可得：

2 信噪比定義與噪聲能量計算

信噪比即 SNR（Signal to Noise Ratio）是指信號中有用信號和噪聲信號的比值，其大小通常用分貝數(shù)表示。信噪比可以使用信號或噪聲的有效功率或能量定義，也可以使用信號和噪聲聲壓的幅值定義。本文使用能量定義信噪比，公式為：

式中：ES和 EN分別為全息面信號和噪聲的能量；E 為全息面總能量。

由式（10）可知，只要獲得全息面噪聲信號的能量，就可以估計出全息面信噪比。記全息面實際測量聲壓信號為 p( x,y,zH)， 噪聲信號為 pN(x,y,zH)，且噪聲信號為平穩(wěn)隨機分布，其均值為 0。M，N 分別為全息面上 x，y 方向的總測量點數(shù)，分別表示數(shù)學期望和方差，有

由式（11）可得：

式（12）本質上是噪聲信號在空間域內的能量計算公式，只要估算出噪聲信號在空間域內的方差，就可以估計出全息面內噪聲的能量。但是全息面記錄的聲壓信號是理論聲壓信號和噪聲信號的混合，無法將噪聲信號分離出來估計其方差。所以需要在波數(shù)域中進行討論。根據(jù)采樣定理可知，波數(shù)，記 kr=將波數(shù)域劃分為 3 個區(qū)域，如圖 1 所示。

其中 ?1對應 kr＜k 的波數(shù)區(qū)域，即輻射圓以內的波數(shù)成分，記 GD為重建面到全息面的傳遞算子，則?1區(qū)域內 GD幅值恒為 1，對應在傳播過程中幅值不隨距離衰減的“平面波”，該區(qū)域通常包含較大能量； ?2區(qū)域對應 kr＜k＜kmax的波數(shù)成分，此時 GD為一負指數(shù)函數(shù)，對應在傳播過程中幅值隨距離衰減的“倏逝波”； ?3區(qū)域對應 kmax＜kr的波數(shù)成分，同樣為“倏逝波”，而且具有更高的波數(shù)成分，在傳播過程中衰減的更為迅速。一般而言， ?3區(qū)域內的聲壓信號幾乎全被噪聲信號所淹沒，無法再應用于重構，因此可以利用 ?3區(qū)域內的波數(shù)成分估計全息面噪聲信號的能量。

考慮到噪聲信號在空間域內是平穩(wěn)隨機分布的，則其在波數(shù)域內也必然是平穩(wěn)隨機分布的，因此全息面噪聲信號在整個波數(shù)域內的方差可以用 ?3區(qū)域內的方差近似估計。即式中： PN(kx,ky,zH) 為 pN(x,y,zH) 的二維傅里葉變換；PN(?3) 為全息面聲壓角譜中位于 ?3區(qū)域內的波數(shù)成分。而由 Parseval（巴塞伐）定理知，噪聲信號在空間域中的總能量等于其波數(shù)域內的總能量，即

式中 ‖?‖2為矩陣的 2–范數(shù)； b 為 ?3區(qū)域內的總測量點數(shù)。由式（13）和式（14）可知，全息面中噪聲信號的總能量 E 可以估計為：

全息面測量聲壓總能量為：

將式（16）代入式（10）可得：

3 信噪比估值判別

由于噪聲信號平穩(wěn)隨機分布，當全息面的位置和大小確定時，實際的全息面信噪比也隨之確定。為便于仿真分析，會向全息面聲壓數(shù)據(jù)中添加一定信噪比下的噪聲。以添加的信噪比值作為理論信噪比值，研究利用式（17）進行信噪比估計的估值誤差。

假設某一全息面下理論信噪比值為 SNR，信噪比估值為 SNR’，記估值誤差為 ε，其表達式如下

由式可知， ε 出現(xiàn)的根本原因是將 ?3區(qū)域內的波數(shù)成分全部視為噪聲信號的波數(shù)成分，而事實上該區(qū)域內的波數(shù)成分依然是聲壓信號和噪聲信號波數(shù)的混合。因此， ε 的 大小與 ?3區(qū)域內的聲壓信號衰減程度密切相關。從圖 1 可以看出，kmax越大， ?3區(qū)域內的有用聲壓信號衰減程度就越高，ε 值就越小，估值也就越準確。由采樣定理，波數(shù)域內不發(fā)生混迭的最高波數(shù)成分 kmax=π/Δ ， Δ 越小，估值越準確。如果使采樣間隔 Δ 不變，只在一定范圍內改變全息面的大小，則信噪比估值應該近似。但是在實際測量中，為節(jié)約成本，一般只測量 1 次，所以，可以選取該全息面內不同區(qū)域的數(shù)據(jù)進行重復估計。

下面以 2 個點聲源為例進行仿真：2 點源中心坐標分別?。?, 0.25, 0）和（0, –0.25, 0），點源強度為0.001 m3/s；分析頻率 f = 1 000 Hz，聲速取 340 m/s，分析波長 λ =0.34m ；取 Δ =0.0625m ， L=2m，全息面 ZH= 0.07 m，以全息面坐標原點為中心，從全息面中選取 9 個正方形區(qū)域 Li×Li(i=1,2···9)，其中 Li由下式確定：

由式（9）可得 L9=1m，并得到 9 個信噪比估值SNR′i(i=1,2···9)， 分別找到其最大估值 SN Rmax和最小估值 SN Rmin，仿真結果如圖 2 所示。

由圖 2 可發(fā)現(xiàn)，當理論信噪比小于 25 dB 時，理論值和估值極為接近，而且此時 SN Rmax和 SN Rmin也非常相近；當理論信噪比大于 25 dB 時，理論值與估值的差值越來越大，估值誤差迅速增加。同時，SNRmax和 SN Rmin的距離也逐漸增大。在理論信噪比為 25 dB 時， SNRmax為 24.62 dB， SNRmin為 24.07 dB，估值誤差 ε 僅為 1.52%。假定對估值誤差的要求為εr， 令 εr=3%，則可認為，在 25 dB 以下的理論信噪比，其估值都精確。也就是說，在 εr=3% 的條件下，采樣間隔 Δ =0.0625m 所對應的最大信噪比估值是 25 dB。

事實上，理論信噪比未知，只能得到估計值SNRmax和 SN Rmin，因此需要對估值誤差 ε 進行修正。記修正后的估值誤差為 ε′，其表達式為：

如果 ε′＜εr，就認為估值精確。理論信噪比為 25 dB時，有 ε′=2.35%＜3%，滿足精度要求。

在同樣仿真條件下，修正前后的誤差對比如圖 3所示。

由圖 3 可看出，修正后的估值誤差 ε′不會隨著信噪比的增加而一直增大，而是分為 3 個階段，第 1 階段信噪比區(qū)間為 10～25 dB， ε′在 3% 左右波動；第 2階段信噪比區(qū)間為 25～35 dB， ε′逐漸增大到 10% 左右；第 3 階段信噪比區(qū)間為 30～50 dB， ε′基本穩(wěn)定在10%。

在對信噪比估值進行判別時，如果取 εr=15%，可以發(fā)現(xiàn)在理論信噪比為 50 dB 時，信噪比估值只有32 dB，真實的估值誤差 ε 高達 36%，但修正后的估值誤差 ε′只有 10%，這顯然不合理。所以，在進行估值判別時要合理選擇 εr?？紤]到信噪比越高，噪聲干擾越小，對全息重構的影響也就越小， εr可以隨著信噪比的增加而適當增加。通常情況下，信噪比小于 25 dB時，一般要求 εr在 3% 左右，最高不超過 10%。

綜合以上分析，信噪比估值的判別方法如下：

1）保持采樣間隔 Δ 不變，以全息面坐標原點為中心，選擇合適的 n 值（可以令 Ln=L/2），從全息面中選擇 n 個正方形區(qū)域 Li×Li(i=1,2···n)；

2）對所取區(qū)域的聲壓數(shù)據(jù)分別進行信噪比估計，得到一系列估值 SN R′i，找到其最大估值 SN Rmax和最小估值 SN Rmin，并計算 ε′；

3）根據(jù)實際測量情況，選擇合適的 εr，如果ε′＜εr， 認為估值精確，并將 SN Rmax作為理論信噪比值。

4 減小信噪比估值誤差的方法

如果判別后發(fā)現(xiàn)信噪比估值不準確，可以通過減少全息面采樣間隔 Δ 來提高估值的準確性以降低估值誤差。但減小全息面采樣間隔進行第 2 次測試時，全息面大小能夠保持不變，但是其位置可能會發(fā)生細微變化。因此選擇 2 個不同位置的全息面，在不同采樣間隔下進行仿真，結果如圖 4 所示。

從圖 4 可看出，采樣間隔一定時， ε 值隨著信噪比的增加急劇增加；而信噪比一定時，尤其是在高信噪比區(qū)域， ε 值隨著采樣間隔的減小迅速降低。而且，在 Δ ≤0.0625m 時，只要 Δ 不變，即使全息面的位置發(fā)生變化， ε 值也幾乎不變，這為測試工作提供了方便。

實際測試中，如果全息面大小不變，減小采樣間隔就意味著測量點數(shù)會增加，相應的工作量以及測量

成本也會隨之增加。為方便測量工作，表 1 給出了 εr不同時，不同采樣間隔所對應的最大信噪比估值。實際測量中，可以根據(jù)測試環(huán)境、聲源可能的分布狀況等綜合考慮，參照表 1，選擇合適的全息面采樣間隔，在使信噪比估值誤差滿足要求時盡可能減少測量點數(shù)。

表 1 不同采樣間隔下的最大信噪比估值Tab. 1 The maximum SNR estimation value in different sampling interval

5 結 語

本文通過分析波數(shù)域內噪聲信號的分布情況，提出波數(shù)域內的全息面信噪比估計公式，并根據(jù)該估值公式分析了信噪比估值誤差的來源，指出全息面采樣間隔對估值誤差具有重要影響。提出了一種選擇不同區(qū)域的全息數(shù)據(jù)進行重復估計的方法對信噪比估值進行判斷，并指出可以通過減小采樣間隔來減降低信噪比估值誤差。以兩點源為例進行仿真，給出了在不同采樣間隔下滿足不同精度條件的最大信噪比估值，為實際應用提供參考。

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Estimation of the signal to noise ration in the planar acoustical holography based on energy method

DAI Zhen, HE Qi-wei, WAN Hai-bo
(Naval Engineering University, Wuhan 430033, China)

The signal to noise ratio (SNR) is a very important parameter in theplanar acoustical holography. However, it can’t be determined directly. To solve the problem, a formula in ‘-space’ is given based on theenergy method. According to the formula, the sampling interval has a great influence on the SNR estimation value. To determine the accuracy of the estimation value, the measurement data on the different areas of the holography surface is chosen to estimate. When the result is not accurate, the estimation value can be improved by decreasing the sampling interval. The maximum estimation value is given in different estimation precision and different sampling interval to provide a reference for practical applications.

planar near-field acoustic holography；signal to noise ratio；reconstruction error

O322

A

1672–7619(2017)03–0150–05

10.3404/j.issn.1672–7619.2017.03.031

2016–05–27；

2016–06–17

代振(1991–)，男，碩士研究生，研究方向為近場聲全息。