黨文靜，李德權(quán)，韋 慧

（安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001）

基于M-S模型的三種圖像分割算法的比較

黨文靜，李德權(quán)*，韋 慧

（安徽理工大學(xué) 理學(xué)院，安徽 淮南 232001）

M-S模型的水平集圖像分割方法依賴(lài)于圖像同質(zhì)區(qū)域的全局信息，因而分割過(guò)程時(shí)間效率較低。為了提高計(jì)算效率，該方法在圖像處理領(lǐng)域得到很多改進(jìn)。本文在簡(jiǎn)化的M-S模型即C-V模型的基礎(chǔ)上，討論了現(xiàn)有3種改進(jìn)分割演化算法，即：去掉C-V模型中的正則項(xiàng)；用| ?φ|取代狄拉克函數(shù),使得方法具有更好的全局優(yōu)化性；加入梯度局部項(xiàng)，使之適合處理弱邊緣和邊緣斷裂的圖像。最后，通過(guò)3個(gè)實(shí)例進(jìn)一步驗(yàn)證了各算法的優(yōu)劣性以及適用性范圍。

M-S模型；C-V模型；水平集方法；圖像分割；梯度

1988年Osher和Sethian提出了關(guān)于幾何變形模型的水平集方法[1]。由于水平集方法具有自由改變曲線的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，易于數(shù)值求解等優(yōu)點(diǎn)，目前水平集方法在眾多領(lǐng)域，尤其是于圖像分割處理方面得到廣泛應(yīng)用。水平集方法被引入應(yīng)用于圖像分割后，關(guān)于水平集方法的區(qū)域型模型成為近年來(lái)的研究熱點(diǎn)。Mumford-Shah模型(簡(jiǎn)稱(chēng)MS模型)[2]是最早的基于區(qū)域分割的幾何主動(dòng)輪廓模型，通過(guò)構(gòu)造如下能量泛函來(lái)同時(shí)實(shí)現(xiàn)圖像的光滑和分割：

式中，u0(x,y)是待優(yōu)化的輸出圖像，Ω為圖像u0(x,y)的定義域，C是待優(yōu)化的閉合曲線，它將圖像的定義域Ω，劃分為兩部分Ω-(C的內(nèi)部)和 Ω+(C的外部)；要求u(x,y)是分段光滑函數(shù)，即| |?u(x,y)只允許在曲線C上有很大的值；要求輸出圖像u0(x,y)與輸入圖像u(x,y)非常接近，即數(shù)據(jù)保真項(xiàng)；μ·Length(C)要求閉合曲線C足夠平滑且盡可能短。該模型依賴(lài)于圖像同質(zhì)區(qū)域的全局信息，因而對(duì)于處理強(qiáng)噪聲、邊緣模糊或邊緣不連續(xù)圖像具有較好的分割結(jié)果，突破了經(jīng)典模型基于局部信息的局限性限制。由于M-S模型是通過(guò)幾何測(cè)度項(xiàng)去控制圖像中的邊緣等跳躍部分，其數(shù)值逼近或數(shù)值解不易求出。因此，針對(duì)該問(wèn)題，Chan和Vese提出一種簡(jiǎn)化的M-S分割模型，即不依賴(lài)梯度的主動(dòng)輪廓水平集算法(簡(jiǎn)稱(chēng)C-V模型)[3]。

C-V模型中圖像u0(x,y)的定義域Ω被閉合曲線C劃分為兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域，各個(gè)區(qū)域的灰度均值為c1和c2，其分割的能量泛函構(gòu)造如下：

其中，μ≥0，ν≥0，λ1≥0，λ2≥0為各個(gè)能量項(xiàng)權(quán)重系數(shù)。當(dāng)閉合曲線C即輪廓線位于兩個(gè)同質(zhì)區(qū)域的邊界時(shí)，該能量泛函達(dá)到最小值。該模型需要根據(jù)輪廓內(nèi)外圖像的灰度均值去描述圖像，而實(shí)際中大部分圖像都無(wú)法滿足該條件。因此，C-V模型較適合于處理二值圖像，很難將其推廣到一般圖像的分割處理。

為了更精確地提取目標(biāo)圖像的輪廓，研究者在C-V模型算法的基礎(chǔ)上做了各種改進(jìn)，使得改進(jìn)后的方法能夠解決更多復(fù)雜的圖像分割問(wèn)題。Darolti等人[4]提出了基于局部區(qū)域描述器的算法；Wang等人[5]提出了融合新的局部項(xiàng)和全局項(xiàng)的算法；Suk-Ho等人[6]去掉了C-V模型中的正則項(xiàng)；Marquina-Osher[7]用C-V模型中的| |?φ 取代狄拉克函數(shù)δ(φ)，大大提高了時(shí)間效率；朱峰等人[8]提出了在C-V模型中加入梯度項(xiàng)，提高了圖像分割的整體性能。本文對(duì)其中的三種改進(jìn)算法，即Suk-Ho、Marquina-Osher以及朱峰等人的算法進(jìn)行了討論，并給出實(shí)例驗(yàn)證各算法分割不同類(lèi)型圖像的效果。

1 C-V模型的求解及其三種改進(jìn)算法

本節(jié)主要介紹了C-V模型的能量泛函極小值的求解方法，并簡(jiǎn)要介紹了Suk-Ho、Marquina-Osher以及朱峰的三種改進(jìn)算法。

1.1 C-V模型的求解

根據(jù)水平集方法，極小化C-V模型的能量泛函，采用有限差分法[9]求解演化方程，并給出方程的離散格式。

Siddiqi等人[10]將海氏函數(shù)狄拉克函數(shù)引入C-V模型的能量泛函中，將式(2)改寫(xiě)為：

采用歐拉-拉格朗日方法求解式(3)的能量泛函極小值，解為：

式中，φ是輪廓線C所構(gòu)成的水平集函數(shù)，初始條件φ(x,y,0)=φ0(x,y)。

本文采用有限差分法對(duì)式(6)進(jìn)行離散求解，其離散格式如下：

1.2 基于C-V模型的三種改進(jìn)分割算法

下面介紹基于C-V模型的三種改進(jìn)的圖像分割算法，三種改進(jìn)算法中演化方程的離散格式同樣采用有限差分法。

算法1（Suk-Ho等人[6]）：去掉C-V模型中的正則項(xiàng)。該算法將式(6)中的演化曲線C的長(zhǎng)度項(xiàng)Length(C)和C內(nèi)部區(qū)域的面積項(xiàng)Area(inside(C))去掉，其演化方程變?yōu)椋?/p>

由式(4)、(5)和(8)可看出，該算法在曲線演化過(guò)程中僅利用了圖像的全局特征得到圖像全局優(yōu)化邊界線。采用該方法處理二值圖像可得到其準(zhǔn)確邊界，但對(duì)于非二值圖像則只能得到圖像的一個(gè)粗分割輪廓，演化曲線會(huì)停留在目標(biāo)邊界的附近，無(wú)法達(dá)到圖像的實(shí)際邊緣輪廓。該算法利用了圖像的全局信息，因此和初始輪廓的選取無(wú)關(guān)。

算法 2（Marquina-Osher[7]）：用 C-V模型中|?φ|替代狄拉克函數(shù)δ(φ)傳統(tǒng)模型中狄拉克函數(shù)可能會(huì)導(dǎo)致演化曲線無(wú)法到達(dá)圖像邊緣的情況，Marquina-Osher將傳統(tǒng)模型中狄拉克函數(shù)替換成距離函數(shù)梯度的模值即，由此演化方程變?yōu)椋?/p>

上式中的兩個(gè)未知參數(shù)c1，c2的計(jì)算同式(4)，(5)。當(dāng)| ?φ|≈1，可消除狄拉克函數(shù)對(duì)非零水平集的抑制。對(duì)于遠(yuǎn)離演化曲線的圖像邊緣，由于| ?φ|的絕對(duì)值很大，可能會(huì)使得距離函數(shù)φ的符號(hào)取反向。這樣，該算法可以檢測(cè)出遠(yuǎn)離演化曲線的圖像內(nèi)外部邊緣。因此該改進(jìn)算法比算法1具有更好的全局優(yōu)化特性。

該改進(jìn)方法需要在整個(gè)定義域Ω內(nèi)不斷的更新水平集函數(shù)來(lái)求解，因此所需的計(jì)算量較大，但是該算法是基于全局信息的演化方法，因此可在較短的演化時(shí)間內(nèi)達(dá)到較為理想圖像分割結(jié)果。

算法3（朱峰等人[8]）：在C-V模型中加入局部梯度項(xiàng)。從C-V模型的能量泛函式(2)可知，Length(C)，Area(inside(C))分別是演化曲線的邊界長(zhǎng)度和邊界的內(nèi)部區(qū)域面積，作用僅僅是保持圖像邊界的光滑，不含邊界附近的局部特征；而式(2)中的后兩項(xiàng)

是背景圖像和目標(biāo)圖像的區(qū)域信息，具有全局特征，是曲線演化的主要驅(qū)動(dòng)力，因此可以看出C-V模型不具有局部?jī)?yōu)化的作用。

圖像梯度是描述圖像局部信息的重要特征，在曲線演化過(guò)程中具有重要的作用。為使輪廓線在演化過(guò)程中既受到全局特征的約束，又受局部特征的影響，提出了在式(2)中的Length(C)使用演化曲線C邊界項(xiàng)長(zhǎng)度的求長(zhǎng)線積分式，在邊界長(zhǎng)度積分中增加含有圖像梯度信息的勢(shì)函數(shù)g(x,y)[11]作為權(quán)值的加權(quán)長(zhǎng)度積分，g(x,y)的定義為：

其中，σ＞0，p≥1，Gσ(x,y)?u0(x,y)指圖像u0(x,y)和高斯函數(shù)的卷積，表示對(duì)圖像的平滑。由定義可知，在圖像同質(zhì)區(qū)域內(nèi)部g(x,y)的值是正的，在圖像的邊界時(shí)值為0。因此，改進(jìn)后式(2)中第一項(xiàng)Length(C)不僅具有光滑作用，還具有局部調(diào)節(jié)能力。

綜上可得該算法的能量泛函可表示為：

對(duì)該式用歐拉-拉格朗日方法推導(dǎo)出該算法的演化方程為：

基于梯度的算法充分利用圖像的局部邊緣信息特征項(xiàng)和全局區(qū)域信息特征項(xiàng)，在曲線演化過(guò)程中將同時(shí)考慮全局和局部特征項(xiàng)，因此其分割效果更好。

2 實(shí)例分析

下面通過(guò)幾個(gè)實(shí)例來(lái)比較本文所提到的3種改進(jìn)算法處理圖像分割問(wèn)題的優(yōu)缺點(diǎn)，比較的指標(biāo)是各算法的演化速度以及最終的分割結(jié)果。

為使結(jié)果比較可靠，實(shí)驗(yàn)中設(shè)置相同的相關(guān)參數(shù)，初始條件。時(shí)間步長(zhǎng)Δt=0.1，網(wǎng)格步長(zhǎng)h=1，參數(shù)λ1=λ2=ε=1。

圖1是對(duì)灰度均勻圖像(大小61×64)進(jìn)行的分割實(shí)驗(yàn)，其中圖1(a)圓曲線表示隨機(jī)選取的初始輪廓，圖1(b)-(d)分別是三個(gè)算法演化10 s后的輪廓結(jié)果。由圖可知，算法2在演化10 s后已經(jīng)能夠完整地提取到目標(biāo)圖像的輪廓，而算法1、3的演化曲線此時(shí)還未收斂到目標(biāo)圖像的邊緣。由此例可知，算法2的演化速度較算法1、3要快。

圖 2(a)-(c)是3種算法分別演化 25 s、1 s、300 s后的分割結(jié)果。從演化收斂速率來(lái)看，算法2最高，算法1次之。算法2用| | Δφ代替了狄拉克函數(shù)，消除了狄拉克函數(shù)對(duì)非零水平集的抑制，較另兩個(gè)算法具有更好的全局優(yōu)化特性，其分割速度較快；算法1只是利用了圖像的全局信息，沒(méi)有演化曲線的長(zhǎng)度項(xiàng)和區(qū)域面積兩個(gè)正則項(xiàng)，不能保證圖像邊緣的光滑性，使得分割速度相對(duì)較慢；算法3雖然利用了圖像的全局特征和局部特征，但在演化的過(guò)程中無(wú)法有效的平衡全局項(xiàng)和局部項(xiàng)的相互影響，大大減緩了演化速度。

圖3 是對(duì)兩個(gè)細(xì)胞組成的圖像(大小65×83)進(jìn)行分割，其中圖3(a)是原始圖像和初始輪廓線(隨機(jī)選取)，圖3(b)-(d)分別是三種算法演化200 s后的曲線演化結(jié)果。由圖可知，算法3提取出了大部分的細(xì)胞區(qū)域，分割結(jié)果相對(duì)滿意，適合處理帶有弱邊緣的圖像；算法1、2在分割的過(guò)程中，將背景和目標(biāo)的過(guò)渡區(qū)域當(dāng)成了目標(biāo)，導(dǎo)致錯(cuò)誤的分割，而算法2也因無(wú)法自動(dòng)檢測(cè)出帶有空洞目標(biāo)的內(nèi)部區(qū)域，使得分割結(jié)果更加不理想。

圖4是對(duì)醫(yī)學(xué)MR圖像(大小600×546)進(jìn)行的分割實(shí)驗(yàn)，其中圖4(a)是腦部MR圖像的初始化，圓曲線是初始輪廓(隨機(jī)選取)，圖4(b)-(d)分別是三種算法演化300 s的曲線演化結(jié)果。由圖可知，算法2的輪廓提取相對(duì)來(lái)說(shuō)較完整，而算法1和3只提取了圖像的部分輪廓，分割效果不是很好，因?yàn)樗惴?可以檢測(cè)出遠(yuǎn)離初始輪廓的內(nèi)外部邊緣，所以比其他兩個(gè)算法有更好的全局優(yōu)化特性。

3 小結(jié)

本文在C-V模型的基礎(chǔ)上討論了三種改進(jìn)的分割演化算法處理不同類(lèi)型圖像的效果，在理論分析的基礎(chǔ)上給出實(shí)例進(jìn)行驗(yàn)證。本文所討論的三種改進(jìn)算法僅利用圖像全局特征，因此初始輪廓的形狀、位置都和分割結(jié)果無(wú)關(guān)，各算法的初始輪廓可以隨機(jī)選取。通過(guò)幾個(gè)實(shí)例，發(fā)現(xiàn)算法1和算法2比較適用于灰度均勻圖像，算法3對(duì)弱邊緣和邊緣斷裂的圖像分割效果相對(duì)較好。需要指出的是：本文主要考慮了圖像輪廓曲線的演化速率以及算法的最終分割效果，而對(duì)各算法用于處理噪聲圖像、拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜的圖像等問(wèn)題將是我們下一步研究的內(nèi)容。

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Comparison of three image segmentation algorithms based on M-S model

DANG Wen-jing,LI De-quan*,WEI Hui
(College of Science,Anhui University of Science and Technology,Huainan Anhui 232001,China)

The level set image segmentation method of M-S model depends on the global information of image homogeneous region,thus the time efficiency in segmentation process is low.To improve the computational efficiency,this method has been improved by many researchers in the field of image processing.In this paper,the advantages and disadvantages of three kinds of improved segmentation evolutionary algorithms based on the C-V model is discussed:the algorithm based on the C-V model without the regularization term;the algorithm of replacing the Dirac function by| |?φ for the purpose of better global optimization;the algorithm of adding the local gradient term suitable for dealing with image of weak edges and edges fracture.Finally,three examples is presented to further illustrate the efficiency and the range of applicability of the algorithms.

M-S model;C-V model;level set method;image segmentation;gradient

TP391.41

A

1004-4329（2017）01-080-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2017）01-080-05

2016-12-06

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61472003，11601007)資助。

黨文靜(1987- )，女，碩士生，研究方向：圖像分割。

李德權(quán)(1973- )，男，博士，教授，研究方向：多個(gè)體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制、分布式優(yōu)化。Email:leedqcpp@126.com。