北京101中學(xué)(100091)

方雯琪●

二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望研究

北京101中學(xué)(100091)

方雯琪●

二項(xiàng)分布、超幾何分布是比較重要離散型分布，而它們之間不僅有聯(lián)系，還有存在區(qū)別，二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望是反映隨機(jī)變量的一種非常重要的數(shù)字特征.因此，作為學(xué)生，我們應(yīng)熟練掌握二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望以及超幾何分布數(shù)學(xué)期望，并將之應(yīng)用到實(shí)際生活中.本文就二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望進(jìn)行研究.

二項(xiàng)分布;超幾何分布；數(shù)學(xué)期望

在高中數(shù)學(xué)中，二項(xiàng)分布和超幾何分布是兩個(gè)非常重要的概率模型，這兩個(gè)概率模型能夠解決生活中的許多問(wèn)題.在離散型隨機(jī)變量分布中，二項(xiàng)分布、超幾何分布是比較重要的分布，二項(xiàng)分布與超幾何分布兩者之間既存在聯(lián)系又有所區(qū)別.隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在概率論中占有非常重要的地位，它是反映隨機(jī)變量的數(shù)字特征.因此，對(duì)于學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)，熟練掌握二項(xiàng)分布、超幾何分布的數(shù)學(xué)期望具有重要的意義.

一、二項(xiàng)分布與超幾何分布

1.二項(xiàng)分布

隨機(jī)變量X記為X～B(n，p)，X服從二項(xiàng)分布，即在n為1時(shí)，X服從0～1的分布.

2.超幾何分布

設(shè)某個(gè)產(chǎn)品有N件，在這些產(chǎn)品中正品有M件，采取不放回抽樣的方式從中抽取n件產(chǎn)品，用Y來(lái)表示抽取的產(chǎn)品中正品的個(gè)數(shù)，則有m件正品的概率為：

隨機(jī)變量Y記為Y～H(n，M，N)，Y服從超幾何分布

3.二項(xiàng)分布與超幾何分布的關(guān)系

超幾何分布的極限分布是二項(xiàng)分布，即

二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的數(shù)學(xué)期望

1.二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望

(1)定義法求解：

(2)利用性質(zhì)求解：

2.超幾何分布的數(shù)學(xué)期望

與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望相比，超幾何分布的數(shù)學(xué)期望也可以應(yīng)用定義法和利用性質(zhì)進(jìn)行求解，但是定義法求解的數(shù)學(xué)期望比利用性質(zhì)求解的數(shù)學(xué)期望更麻煩，然而超幾何分布的數(shù)學(xué)期望與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望相同.值得一提的是，隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望與隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的和相等，但是這些隨機(jī)變量并不一定是相互獨(dú)立的.

例1 某種產(chǎn)品有80件，在這些產(chǎn)品中次品有8件，采取抽樣的方式從中抽取4件產(chǎn)品，計(jì)算出在這4件產(chǎn)品中次品數(shù)的期望值.

例2 一送客車(chē)載了20位乘客，從起點(diǎn)到終點(diǎn)之間有10個(gè)車(chē)站可以供乘客下車(chē)，但只有乘客下車(chē)才會(huì)在站點(diǎn)停車(chē)，乘客不下車(chē)就不停車(chē).用X表示停車(chē)的次數(shù)，求E(X).

解Xi為第i站有人下車(chē)，i=1，2，…，10,X=X1+X2+…+X10，則E(X)值為多少.

乘客在第i站不下車(chē)的概率為(9/10)，那么這20位乘客在第i站不下車(chē)的概率為(9/10)20，則乘客在第i站下車(chē)的概率為1-(9/10)20.

E(X)=E(X1+X2+…+X10)=E(X1)+E(x2)+…+E(X10)=10[1-(9/10)20]=8.8.

上述的求解方法是先將X分解，再利用隨機(jī)變量和的數(shù)學(xué)期望與隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望之和是相等的來(lái)求解，這種方法具有一定的實(shí)際意義且在某種程度上可以簡(jiǎn)化問(wèn)題.

我們?cè)趯W(xué)習(xí)二項(xiàng)分布、超幾何分布時(shí)，通常會(huì)將二者混淆，而且在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，也不知該使用何種分布.然而二項(xiàng)分布數(shù)學(xué)期望與超幾何分布數(shù)學(xué)期望是相同的，只需稍微修改一下超幾何分布模型就可以將之變?yōu)槎?xiàng)分布.

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