北京市豐臺二中(100071)

甘志國●

對2016年高考四川卷第15題的研究

北京市豐臺二中(100071)

甘志國●

①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；②單元圓上的點的“伴隨點”仍在單位圓上；③若兩點關于x軸對稱，則它們的“伴隨點”關于y軸對稱；④若三點在同一條直線上，則它們的“伴隨點”一定共線.

其中的真命題是____(寫出所有真命題的序號).

①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A；②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；③若曲線C關于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關于y軸對稱；④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.

其中的真命題是____(寫出所有真命題的序號).

這兩道高考題是一對姊妹題，下面只對后者做詳細解答和研究.

所以點A′的“伴隨點”是(-x，-y)，得①錯誤．

下面再對高考題2作研究.

設點P(x，y)的“伴隨點”為P′(u，v).

當x2+y2=0即x=y=0時，得P′(0,0).

若x2+y2=0，得x=y=0，再得u=v=0,u2+v2=0，與題設u2+v2≠0矛盾！所以x2+y2≠0.

由此可證得下面的結論.

證明 設直線ax+by+c=0上的點P(x，y)的“伴隨點”為P′(u，v).當x2+y2=0時，得P′(0,0).

此時，由點P(x，y)在直線ax+by+c=0上，可得

c(u2+v2)+bu-av=0(u2+v2≠0).

進而可得欲證結論成立.

證明 設圓(x-a)2+(y-b)2=r2上的點P(x，y)的“伴隨點”為P′(u，v).

當x2+y2=0時，得P′(0,0).

此時，由點P(x，y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2上，可得

(u2+v2)[(a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1]=0(u2+v2≠0),

(a2+b2-r2)(u2+v2)-2bu+2av+1=0(u2+v2≠0).

當圓(x-a)2+(y-b)2=r2過坐標原點即a2+b2-r2=0時，可得欲證結論成立；當圓(x-a)2+(y-b)2=r2不過坐標原點即a2+b2-r2≠0時，可得也欲證結論成立.所以欲證結論成立.

推論 (1)單位圓的“伴隨曲線”是自身；

(3)圓(x-a)2+(y-b)2=a2+b2的“伴隨曲線”是直線2bx-2ay-1=0及坐標原點組成的圖形.

G632

B

1008-0333(2017)07-0002-02