寧 娣，岳晨曦

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

基于最大后驗概率的la范數(shù)去噪方法

寧 娣，岳晨曦

(中南民族大學 數(shù)學與統(tǒng)計學學院，武漢 430074)

從觀測模型和先驗模型入手，深入分析了在圖像去噪過程中如何在邊緣保護和去除噪聲之間尋找平衡，針對TV先驗模型在邊緣保護和紋理保護中的不足，提出了新的基于最大后驗概率的la范數(shù)去噪方法，該方法更好地保護了圖像的邊緣，同時使得在平滑區(qū)域產(chǎn)生的階梯效應減少.數(shù)值實驗進一步驗證了該方法的正確性和有效性.

圖像去噪；la范數(shù)模型；TV范數(shù)模型；小波去噪；最大后驗概率

對被噪聲污染的圖像進行去噪是圖像處理的經(jīng)典問題，其目的在于盡可能多的濾除噪聲的同時，又能最大限度地保留信號的原始信息.圖像去噪作為圖像處理技術的重要組成部分，經(jīng)歷了半個多世紀的發(fā)展，出現(xiàn)了各種性能優(yōu)異的去噪方法，如均值去噪方法、中值去噪方法、全變分(TV)去噪方法、小波方法等.

本文從圖像去噪中的邊緣保護問題開展研究，深入分析了現(xiàn)階段存在于圖像去噪過程中邊緣保護與紋理保護這一矛盾體.從不同角度分析了圖像過平滑、邊緣模糊的原因，并在最大后驗概率的框架下，提出了以TV范數(shù)去噪先驗模型為基礎進行改進的一種去噪模型，即la范數(shù)先驗模型.該模型保留了TV范數(shù)模型的優(yōu)點，并對其在邊緣保護上的缺點進行了改進.實驗表明，與TV范數(shù)去噪方法和小波方法相比，該方法的去噪效果得到了明顯提高.

1 最大后驗概率估計

圖像去噪的實質是估計理論，其中貝葉斯理論[1,2]有著十分重要的地位.設給定的原始圖像為f，噪聲圖像為g，貝葉斯公式為：

(1)

其中p(g|f)為似然密度函數(shù)，p(f)為先驗密度函數(shù)，p(f|g)為后驗密度函數(shù).最大后驗概率MAP估計是在g已知的條件下求p(f|g)取值最大的f.由貝葉斯準則可知，對(1)式求最大值等價于：

(2)

其對數(shù)形式為：

(3)

通過把噪聲模型和圖像先驗模型的結合代入上式，可得到目標函數(shù).

2 la范數(shù)先驗模型的提出

1992年，Rudin、Osher和Fatime提出了一種基于全變分(TV)模型的去噪方法，該方法實質上就是各向異性擴散，它能在去噪的同時很好地保持圖像的邊緣，但由于TV范數(shù)二階偏微分方程的解為分段長值，從而導致了階梯效應，因此設想尋找一種模型， 既可保留TV范數(shù)對邊緣的保護優(yōu)勢，又能對細節(jié)區(qū)域作出良好的處理.

基于這種思想，本文提出了一種la范數(shù)先驗模型，并在MAP的框架下，將該先驗模型應用到圖像復原中.la范數(shù)是一種新的范數(shù)，它以TV范數(shù)為基礎，在不同的局部特征下，該范數(shù)可以自適應的去分配各種范數(shù)的權重，達到保護邊緣和抑制噪聲的效果.la范數(shù)同時又保留了TV范數(shù)對圖像邊緣的保護，使得該模型可以更好地在圖像去噪和保留其層次之間找到一個平衡.

構造la范數(shù)的自適應函數(shù)為：

(4)

其中a是正標量值，ρ(x,a)測量梯度x的水平方向和垂直方向的梯度值.

設u(x,y)是原始圖像，其規(guī)模為P1N1×P2N2，N1×N2為每一個觀測圖像的規(guī)模，P1和P2分別表示在水平方向和垂直方向的采樣因素.N=P1N1×P2N2為像素點的數(shù)量，在像素為N的噪聲圖片中，新圖像的自適應模型定義為：

(5)

對(5)式兩邊取對數(shù)，可得：

(6)

(7)

ρ(x,a)≈a|x|-a2,當x→∞.

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

設v(x,y)為含噪聲圖像，基于上面的理論，構造目標函數(shù)：

(13)

(14)

下面求方程(14)的極小值，即目標函數(shù)的最優(yōu)解.

2auxuyuxy.

可得：

3 實驗結果及分析

為了驗證本文提出的la范數(shù)去噪模型的有效性，現(xiàn)以被噪聲污染的Lena圖像為例進行數(shù)值試驗，圖像大小均為256×256，灰度級為256，用峰值信噪比(PSNR)[5-8]作為評價的客觀標準.實驗中對TV范數(shù)去噪、小波去噪和la范數(shù)去噪進行了比較.本實驗選用的高斯噪聲有10、12和15三個方差級別.原始的Lena圖片和被噪聲污染的Lena圖片見圖1.

圖1 原始Lena圖像與含噪聲的Lena圖像對比 Fig.1 Comparison of the original Lena image and the Lena image with noise

由于la范數(shù)模型中a的取值影響著圖像去噪效果的好壞.下面我們將通過Matlab數(shù)值實驗來確定參數(shù)a的最優(yōu)取值，如表1所示，并根據(jù)表1的數(shù)據(jù)，我們將不同a值情況下PSNR值的差異繪制成折線圖，如圖2所示，可以發(fā)現(xiàn)，當a=0.2時，平均的PSNR值最大，即當a=0.2時，去噪效果最好.

表1 不同a值下的PSNR值Tab.1 PSNR value with the different parameter a

圖2 含高斯噪聲的Lena圖像的PSNR值與參數(shù)a的關系Fig.2 The relation between PSNR value and the parameter a of Lena image with Gaussian noise

圖3給出了方差為10、12、15下降噪處理前后Lena圖像的視覺效果圖.從圖3中可以看出，文中所給方法降噪效果明顯，人眼能直觀感受到圖像質量的改善，并且在不同噪聲水平下的降噪效果都優(yōu)于其他兩種方法.

表2給出了3種不同的去噪模型去噪后所得的PSNR值，可以發(fā)現(xiàn)，改進后的la范數(shù)模型較其他兩種模型的PSNR值有所提高.新模型的階梯效應進一步減少，圖像顯得更為平滑、自然，因而人眼視覺效果有很大改善.雖與TV模型相比，清晰度相差無異，但是TV模型下邊緣的模糊程度相對較高，la范數(shù)模型對邊緣的保護使得紋理更加清晰，在處理圖像邊緣時可以提供更多的、更精確的細節(jié).

圖3 添加方差分別為10，12，15的高斯噪聲后，各方法去噪后的Lena圖像Fig.3 Lena images after denoising the Gaussian noise with the variance 10,12，15

4 結語

圖像去噪算法是圖像處理領域的熱點問題和關鍵問題.本文對圖像去噪中的細節(jié)保留和邊緣保護間尋找平衡的問題進行了探討，深入分析了圖像過平滑、邊緣模糊的原因，在MAP的框架下，提出了一種la范數(shù)先驗模型，并將該模型與非局部先驗模型相結合，建立了一種既可有效去噪又可保護圖像邊緣的模型，使得該模型可以更好地在圖像去噪和保留其層次之間找到了一個平衡.

表2 不同模型去噪后所得的PSNR值Tab.2 PSNR value of the different models after denoising

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Denoising Method Based on the MAP withlaNorm

NingDi，YueChenxi

(College of Mathematics and Statistics, South-Central University for Nationalities, Wuhan 430074, China)

In the paper, from the observation model and a priori model, the problem of image denoising is discussed, and how to find a balance between edge protection and image denoising is analyzed in depth.In addition, aiming at the advantages and disadvantages of TV prior model on the edge protection and texture protect, the new denoising method namedlanorm based on Maximum A Posteriori Probability(MAP) is put forward.This method provides better protection of the edge of the image.Furthermore, the staircase effect in smooth regions is reduced.Numerical simulations are further provided to verify the feasibility and effectiveness of the theoretical results.

image denoising;lanorm model;TV norm model;wavelet denoising;MAP

2016-09-25

寧 娣(1981-)，女，講師，博士，研究方向：混沌控制、復雜動力網(wǎng)絡，E-mail：ningdi0224@163.com

全國統(tǒng)計科學研究項目(2014LY020)

TP391.41;O212.8

A

1672-4321(2017)01-0128-04