高婷梅

（陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723000）

一類漸近線性Dirichlet邊界值問題

高婷梅

（陜西理工大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，陜西 漢中 723000）

利用山路引理和截斷技巧，證明了一類Dirichlet邊界值問題至少存在一個正解和一個負解.

山路引理；漸近線性；正解；負解

考慮如下帶有Dirichlet邊界值條件的橢圓型方程：

其中Δpu是p-拉普拉斯算子且p>1，Ω是Rn(n≥1)中帶有光滑邊界的有界區(qū)域.函數(shù)滿足以下條件：

本文的主要結(jié)果是：

定理1假設(shè)函數(shù)f(x,t)滿足條件（f1）-（f3），則方程（1）至少存在一個正解.

注由于條件（f3）成立，則稱函數(shù)f(x,t)在無窮遠處是漸近線性的.對于漸近線性Dirichlet邊界值問題，前人進行了廣泛的研究，如文獻［1-5］.文獻［2］中，作者假設(shè)函數(shù)f(x,t)滿足條件：

并證明了方程（1）正解的存在性.（h1）是一個比較強的條件，它對函數(shù)f(x,t)有很大的約束，于是文獻［3］和［4］在沒有假設(shè)條件（h1）成立的情況下，分別用Fucik譜的理論和山路引理［6］證明了方程（1）至少存在一個正解.雖然前人得到了很多豐富的結(jié)果，但是他們有一個共同點，都假設(shè)函數(shù)f(x,t)在t=0處是漸近線性的，

即f(x,t)滿足

若函數(shù)f(x,t)滿足

利用截斷技巧，可以得到以下結(jié)果：

定理2假設(shè)函數(shù)f(x,t)滿足條件（f1’）-（f3’），則方程（1）至少存在一個正解和一個負解.定義如下的C1泛函：

引理1假設(shè)函數(shù)f(x,t)滿足條件

證明由條件（f2），利用文獻［7］的結(jié)論可知，?α∈(0,1)，st：

其中C1>0是常數(shù).于是，

由（2），（3）式，Poincare和Sobolev不等式，有

其中，C2>0是常數(shù).則有

引理2假設(shè)函數(shù)f(x,t)滿足條件（f3），則（見文獻［2］引理2.3）.

引理3假設(shè)函數(shù)f(x,t)滿足條件（f2）-（f3），則I滿足（PS）條件.

證明令滿足

在（6）式中，令φ=un，則由（4），（5）式，得

所以，由（6）式，得

故

令n→∞，可得

由（8），（9）式，有

因為λ1是-Δp的第一個特征值，設(shè)φ1是λ1對應(yīng)的正則特征向量，則由（10）式，得

這與l>λ1矛盾.所以有界，從而由（7）式，可知有界.因此存在一收斂子列，即I滿足（PS）條件.

定理1的證明眾所周知，尋找方程（1）的非平凡解等價于尋找泛函I(u)的非零臨界點.由引理1～引理3，利用山路引理，泛函I有一個臨界點u滿足I(u)≥β>0，但由條件（f2），f(x,0)=0，則I(0)=0，所以u≠0，從而u是方程（1）的一個非平凡解.因為

定理2的證明首先考慮如下截斷問題

其中，

由f+的定義可知f+滿足定理1的條件，故由定理1，方程（11）存在一個正解u>0，它也是方程（1）的解.然后再考慮以下截斷問題

其中，

為了求得方程（12）的解，令v=-u,g(x,t)=-f-(x,-t)，則方程（12）等價于以下方程）

易見如果v是方程（13）的解，則u=-v是方程（12）的解.因為f滿足條件（f1’）-（f3’），故由g的定義，可知g滿足條件（f1）-（f3），從而，由定理1，知方程（13）存在一個正解v>0，所以u=-v<0是方程（12）的解，同時也是方程（1）的解.因此，方程（1）至少存在一個正解和一個負解.

［1］ZHOU H S.Existence of asymptotically linear Dirichlet problem［J］.Nonlinear Analysis，2001，44（7）：909-918.

［2］LI G,ZHANG Z,Zhou H S.Asymptotically linear Dirichlet problem for the p-Laplacian［J］.Nonlinear Analysis,2001,43(8): 1043-1055.

［3］ZHANG Z,LI S,FENG W.On an asymptotically linear elliptic Dirichlet problem［J］.Abstract and Applied Analysis,2002,7(10): 509-516.

［4］何萬生，裴瑞昌.P-Laplacian方程的漸近線性Dirichlet問題［J］.河北師范大學(xué)學(xué)報，2006，30（1）：21-24.

［5］裴瑞昌.P拉普拉斯Dirichlet問題的非平凡解［J］.數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2013，33A（1）：165-173.

［6］MAWHIN J,WILLEM M.Critical point theory and Hamilton Systems［M］.New York:Springer-verlag,1989.

［7］WANG J,TANG C L.Existence and multiplicity of solutions for a class of superlinear p-Laplician equations［J］.Bound Value Probl,2006,12(1):1-12.

［8］VAZQUEZ J L.A strong maximum principle for some quasilinear elliptic equations［J］.Applied Mathematics and Optimization, 1984,12(3):191-202.

A Class of Asymptotically Linear Dirichlet Boundary Value Problem

GAO Tingmei
(School of Mathematics and Computer Science,Shaanxi University of Technology,Hanzhong 723000,China)

Using the Mountain pass lemma and a truncation technique,the author of this paper obtains a positive solution and a negative one for a class of asymptotically linear Dirichlet boundary value problem.

mountain pass lemma;asymptotically linear;positive solution;negative solution

177.91

A

1008-2794（2017）02-0085-04

2016-04-25

陜西理工大學(xué)科研基金項目“變分法在一類橢圓邊值問題中的應(yīng)用”（SLGKY15-47）

高婷梅，講師，碩士，研究方向：非線性泛函分析，E-mail：gtmgtmgtm@126.com.