朱軍

【摘 要】“3的倍數(shù)的特征”是一節(jié)探索發(fā)現(xiàn)類的課，學(xué)生在探索規(guī)律的過程中，發(fā)展思維，提升能力。本文研究了五個(gè)不同版本的教材，就這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)年級(jí)的安排、學(xué)習(xí)材料的選擇以及與“2、5的倍數(shù)的特征”的聯(lián)系這幾個(gè)角度進(jìn)行了對(duì)比分析。各版本教材的編者對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”有相似的理解，也有不同的處理。對(duì)教材的對(duì)比研究，可以使教師更好地理解教材，促進(jìn)其教學(xué)行為的改進(jìn)。

【關(guān)鍵詞】3的倍數(shù)的特征 教材對(duì)比

我國(guó)在2001年頒布了《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（實(shí)驗(yàn)稿），經(jīng)過幾年的實(shí)踐下來，課標(biāo)也進(jìn)行了修訂，于2011年頒布了新的課標(biāo)。在這兩個(gè)課標(biāo)的指導(dǎo)下，各教材也進(jìn)行了相應(yīng)的調(diào)整?！?的倍數(shù)的特征”在某些教材中，前后是有一些變化的，主要表現(xiàn)為以下幾個(gè)方面：年級(jí)的安排、材料的選擇及細(xì)節(jié)處理、課后拓展的知識(shí)或問題的設(shè)置。下面筆者來談?wù)劸唧w的變化，以及為什么會(huì)有這些變化。

一、學(xué)生在哪個(gè)年級(jí)學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”比較合適

在不同版本的教材中，對(duì)“3的倍數(shù)的特征”這一內(nèi)容的教學(xué)時(shí)間并不統(tǒng)一，分別安排在四下、五上、五下這三個(gè)學(xué)期。而兩個(gè)課標(biāo)頒布以后，也有個(gè)別版本調(diào)整了學(xué)習(xí)的年級(jí)，具體見下表。

北師大版、青島版、人教版有微調(diào)，變化最大的是蘇教版，原來安排在四下，現(xiàn)在改為五下。多數(shù)教材把這個(gè)內(nèi)容安排在五年級(jí)學(xué)習(xí)，這是出于怎樣的考慮？

從知識(shí)內(nèi)在邏輯的角度來看，“3的倍數(shù)的特征”為“因數(shù)和倍數(shù)”單元的一個(gè)內(nèi)容，既是自然數(shù)知識(shí)的深化，又是接下來要學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)單元的重要基礎(chǔ)。

另一方面，從學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律來看，這個(gè)內(nèi)容的重點(diǎn)是對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)規(guī)律的探索（北師大版里這個(gè)內(nèi)容的標(biāo)題前加上了“探索活動(dòng)”幾個(gè)字），需要學(xué)習(xí)者具有一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平及邏輯分析能力，五年級(jí)是學(xué)生發(fā)展抽象邏輯思維能力的起步階段，放在這個(gè)年級(jí)是合適的。

二、各版本教材為學(xué)生的探究活動(dòng)提供了什么學(xué)習(xí)材料

從學(xué)習(xí)論的角度看教材，教材的本質(zhì)就是“學(xué)生學(xué)習(xí)的材料”。那么，就這節(jié)課而言，學(xué)生怎樣來探究呢？教材會(huì)給學(xué)生提供怎樣的“學(xué)材”，才能引導(dǎo)他們?nèi)グl(fā)現(xiàn)規(guī)律、發(fā)展思維？

我們可以看到，在各版本的教材中，有一個(gè)非常受青睞的學(xué)習(xí)材料——百數(shù)表。但是同樣的“百數(shù)表”，各個(gè)版本都是一樣的嗎？仔細(xì)研讀，發(fā)現(xiàn)編者們對(duì)學(xué)生探究能力的理解以及細(xì)節(jié)上的處理都有不同之處。

（一）利用數(shù)表，探究發(fā)現(xiàn)

北師大版、青島版、蘇教版的新舊教材中都有“百數(shù)表”的應(yīng)用，人教版的新教材也加入了這一元素。具體如下。

1）在表中將3的倍數(shù)涂上紅色。

（2）橫著看，前10個(gè)3的倍數(shù)，個(gè)位分別是哪些數(shù)字？判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，只看個(gè)位行嗎？

（3）斜著看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

人教版舊教材，根據(jù)問題，提供了小組展開討論的場(chǎng)景圖。在圖中，我們看到了3的乘法算式（貌似不需要百數(shù)表），看到了學(xué)生的猜測(cè)、反駁、驗(yàn)證，這也可以視為學(xué)生如何開展研究、如何參與小組討論的一種示范。

人教版新教材，增加了百數(shù)表，而且有非常具體的操作要求：

（1）在表中將3的倍數(shù)涂上紅色。

（2）橫著看，前10個(gè)3的倍數(shù)，個(gè)位分別是哪些數(shù)字？判斷一個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)，只看個(gè)位行嗎？

（3）斜著看，你發(fā)現(xiàn)了什么？

這是眾多版本中，關(guān)于“百數(shù)表”最具體的使用說明書。人教版面對(duì)廣大的學(xué)生群體，特別要關(guān)注到一些學(xué)習(xí)能力一般或偏弱的學(xué)生，這樣具體明確的要求，可以使這部分學(xué)生知道：我要做什么。很多時(shí)候課堂中的探究活動(dòng)形同虛設(shè)，就是因?yàn)楹芏鄬W(xué)生不知道自己該做什么。

在兩個(gè)版本中都看到了小蜜蜂的啟發(fā)。舊版：“把3的倍數(shù)的各位上的數(shù)相加，看看你有什么發(fā)現(xiàn)?！毙掳妫骸叭我庹?guī)讉€(gè)3的倍數(shù)，把各位上的數(shù)相加，看看你有什么發(fā)現(xiàn)?！迸f版中的話，只是提供了線索，重在得出結(jié)論。而新版加了“任意找?guī)讉€(gè)3的倍數(shù)”，那是基于學(xué)生已有的初步發(fā)現(xiàn)，再找一些例子繼續(xù)驗(yàn)證，是一種研究方法的指導(dǎo)。

總體來說，人教版新教材提供了百數(shù)表，用明確、具體的操作語言幫助學(xué)生探索規(guī)律，并啟發(fā)學(xué)生舉例驗(yàn)證發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，與舊版相比，學(xué)生的探究活動(dòng)更完善了。

（二）重視思辨，驗(yàn)證結(jié)論

我們注意到，北師大的新舊版本中有一個(gè)共同點(diǎn)：規(guī)律是通過一個(gè)較權(quán)威的人說出來的。舊版中由一個(gè)戴博士帽的同學(xué)（現(xiàn)實(shí)班級(jí)中的智慧擔(dān)當(dāng)）來啟發(fā)大家：“將每個(gè)數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字加起來試試看。”新版中則是白胡子老爺爺來宣布結(jié)論：“你知道嗎？這些數(shù)的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字之和都是3的倍數(shù)?！毙W(xué)生從百數(shù)表中去發(fā)現(xiàn)3的倍數(shù)的特征，并不像成人所想的那么容易。先提供百數(shù)表讓學(xué)生探究，但是如果學(xué)生發(fā)現(xiàn)不了，那就給予啟發(fā)，直接告知也沒有關(guān)系。重要的不是結(jié)論，而是驗(yàn)證！在新版本中，小姑娘說：“是這樣嗎？我找?guī)讉€(gè)數(shù)看看……”這就是在驗(yàn)證，是需要從小培養(yǎng)的品質(zhì)：即便權(quán)威人士講話，我也要心中存疑，自己試試看！而小男孩則是推廣到更大的數(shù)中去驗(yàn)證，看三位數(shù)、四位數(shù)（甚至更大的數(shù)）是不是也有這樣的特征。

北師大版教材不看重這個(gè)特征是否學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)的，而更重視學(xué)生的思辨（合理嗎）及驗(yàn)證過程（是這樣嗎）的體驗(yàn)。

（三）繼承傳統(tǒng)，操作感悟

盡管“百數(shù)表”深受各教材編者的青睞，但是我們也注意到，蘇教版、浙教版借助了傳統(tǒng)的學(xué)具，讓學(xué)生通過操作來感悟“3的倍數(shù)的特征”。

蘇教版把這個(gè)單元的學(xué)習(xí)從四年級(jí)調(diào)整到五年級(jí)，新、舊版本中都是用百數(shù)表的，但是，在新版中的百數(shù)表下面有這樣一句話：“從個(gè)位上看不出3的倍數(shù)的特征，該怎么辦？”（舊版中問的是：“個(gè)位是3，6，9的數(shù)是3的倍數(shù)嗎？”）也就是說，編者明白，僅靠觀察百數(shù)表里3的倍數(shù)，學(xué)生仍很難發(fā)現(xiàn)特征。于是，新舊版本中都用上了傳統(tǒng)的學(xué)具——計(jì)數(shù)器。

蘇教版的新版中在計(jì)數(shù)器的環(huán)節(jié)分為三個(gè)層次：（1）在計(jì)數(shù)器上分別表示出幾個(gè)3的倍數(shù)，看看各用了多少個(gè)珠子；（2）找?guī)讉€(gè)比較大的3的倍數(shù)，在計(jì)數(shù)器上表示出來，算一算，每個(gè)數(shù)所用的珠子的個(gè)數(shù)各是多少；（3）找一些不是3的倍數(shù)，看它各位上的數(shù)的和是不是3的倍數(shù)。前兩個(gè)層次的操作可以幫助學(xué)生初步發(fā)現(xiàn)：計(jì)數(shù)器上的3的倍數(shù)，其珠子的總個(gè)數(shù)也是3的倍數(shù)，就是各個(gè)數(shù)位上的數(shù)的和是3的倍數(shù)。第三個(gè)層次是找反例，看看不是3的倍數(shù)，是否還有這個(gè)規(guī)律呢？蘇教版的這個(gè)研究過程比較完整。

浙教版是選用數(shù)字卡片來組成三位數(shù)，主要分這樣幾個(gè)層次：（1）用1、2、3組成三位數(shù)，發(fā)現(xiàn)所組成的6個(gè)三位數(shù)都可以被3整除。（2）把2換成4，發(fā)現(xiàn)用1、3、4所組成的6個(gè)三位數(shù)都不可以被3整除；（3）把2換成5，發(fā)現(xiàn)用1、3、5組成的三位數(shù)都能被3整除。學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：能不能被3整除，與個(gè)位上是幾無關(guān)，與選了哪幾個(gè)數(shù)有關(guān)。能被3整除的數(shù)，所選的數(shù)字之和也能被3整除。

三、各版本教材如何處理“3的倍數(shù)的特征”與“2，5的倍數(shù)的特征”間的關(guān)系

“3的倍數(shù)的特征”與“2，5的倍數(shù)的特征”之間的關(guān)系比較特殊，一方面，它們都是研究某個(gè)數(shù)的倍數(shù)的特征，背后有著相同的原理；另一方面，這兩個(gè)知識(shí)的結(jié)論及規(guī)律發(fā)現(xiàn)的難易程度都不同。小學(xué)生通過觀察百數(shù)表，容易發(fā)現(xiàn)“2，5的倍數(shù)的特征”（英國(guó)的課標(biāo)就把這個(gè)知識(shí)滲透到小學(xué)一、二年級(jí)）?！?的倍數(shù)的特征”就不能通過觀察個(gè)位上的數(shù)來判斷，而且學(xué)生還很容易受到負(fù)遷移。

那么，如何處理這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)系？有些版本的教材回避了聯(lián)系，獨(dú)立學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”。而北師大版與青島版都比較重視這兩者的聯(lián)系。

（一）復(fù)習(xí)舊知識(shí)，引入新問題

北師大版特別重視復(fù)習(xí)引入，在新舊兩個(gè)版本中，都有所體現(xiàn)。

舊版中，“我們研究了2，5的倍數(shù)的特征，那么3的倍數(shù)有什么特征呢？”這是一般教師上課時(shí)會(huì)用的開場(chǎng)白，但學(xué)生會(huì)怎么回答？舊版教材中并沒有體現(xiàn)。

新版中，仍然沿用了原來的問題，但多了三句學(xué)生的對(duì)話。為什么要加這幾句話？這是經(jīng)過實(shí)踐后的結(jié)果，這幾句話反映了多數(shù)學(xué)生當(dāng)時(shí)的真實(shí)表現(xiàn)。教材特別加了這幾句話，目的是希望教師在上課時(shí)能重視學(xué)生的猜測(cè)，他們會(huì)受到上節(jié)課的影響，以為判斷“3的倍數(shù)”也要看個(gè)位，個(gè)位上是3，6，9的數(shù)是3的倍數(shù)。但這是不是壞事呢？顯然，錯(cuò)誤的猜測(cè)可以帶給學(xué)生思辨的機(jī)會(huì)，“所有個(gè)位上是3，6，9的數(shù)都是3的倍數(shù)嗎？”“個(gè)位上不是3，6，9的數(shù)會(huì)不會(huì)是3的倍數(shù)呢？”

這樣，“猜測(cè)”環(huán)節(jié)不應(yīng)只是走過場(chǎng)，而是成為探究活動(dòng)的預(yù)熱，因?yàn)椴聹y(cè)過程本身就是一個(gè)思辨的過程。

（二）兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，合成一節(jié)課

青島版教材把這兩個(gè)知識(shí)整合成一節(jié)課。在舊版中，在百數(shù)表中分別用三種顏色標(biāo)出2，5，3的倍數(shù)進(jìn)行觀察；在新版中，2，5的倍數(shù)的特征仍然用百數(shù)表研究，但3的倍數(shù)的特征卻用計(jì)數(shù)器來研究。我們可以想象，學(xué)生用三種顏色標(biāo)出2，5，3的倍數(shù)，他們看到的是一張信息量過大的數(shù)表，規(guī)律顯得模糊，更不容易被發(fā)現(xiàn)。

新版教材中，對(duì)話比舊版多。由主題情境圖提出問題：“三人可以完成一組疊羅漢表演，疊羅漢表演可以選派多少人參加？”（順便說一下，由具體情境引入的只有青島版）

那用不用百數(shù)表呢？從對(duì)話中可以看出，學(xué)生可以用百數(shù)表研究，但能不能從中得出結(jié)論呢？不一定。更大的可能是學(xué)生發(fā)現(xiàn)：“個(gè)位上的數(shù)沒有什么規(guī)律?！?/p>

正因?yàn)閺陌贁?shù)表中不一定能得出結(jié)論，所以新版教材才補(bǔ)充了計(jì)數(shù)器，將教師直接的啟發(fā)改為了任務(wù)布置：“找?guī)讉€(gè)3的倍數(shù)用計(jì)數(shù)器表示出來，看看各用了幾個(gè)珠子，你有什么發(fā)現(xiàn)？”讓學(xué)生關(guān)注“用了幾個(gè)珠子”，就是引向“各數(shù)位上的數(shù)之和”。

接下來就有兩個(gè)問題：

1.學(xué)生能不能關(guān)注到：“計(jì)數(shù)器上的3的倍數(shù)，所用的珠子的總個(gè)數(shù)也是3的倍數(shù)?！?/p>

2.學(xué)生能不能歸納出：“珠子總個(gè)數(shù)”就是“各個(gè)數(shù)位上數(shù)的和”。

如果學(xué)生在研究中順利地完成這兩個(gè)問題，那結(jié)論的得出就水到渠成了，即“各個(gè)數(shù)位的數(shù)字的和是3的倍數(shù)”。新版并沒有滿足于得出結(jié)論，反過來逆命題成立不成立呢？“各個(gè)數(shù)位的數(shù)的和是3的倍數(shù)，這個(gè)數(shù)是不是3的倍數(shù)呢？”然后“再找一些3的倍數(shù)來驗(yàn)證一下”。顯然，新版本展示了一個(gè)完整的探究過程。

2011年版《課標(biāo)》與2001年《課標(biāo)》最大的不同，是變“二基”為“四基”，補(bǔ)充了“基本數(shù)學(xué)思想”“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”。探究的一般步驟：提問→猜想→舉例→結(jié)論→驗(yàn)證，這就是一種“基本數(shù)學(xué)活動(dòng)”，并且為今后的學(xué)習(xí)積累經(jīng)驗(yàn)。從數(shù)學(xué)基本思想的角度來看，學(xué)生體驗(yàn)了由特殊到一般的不完全歸納的過程，這是一種基本的、重要的思想方法。

四、教材比較對(duì)教學(xué)的啟示

我們從北師大版、青島版、人教版、蘇教版中看到，編者在修改教材時(shí)把探究活動(dòng)放到了首位，但同時(shí)又尊重了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，沒有超越學(xué)生的能力。因此，我們?cè)诮虒W(xué)中也要注意以下幾點(diǎn)。

（一）充分展開探究活動(dòng)

對(duì)“3的倍數(shù)的特征”一課教學(xué)中，學(xué)生對(duì)基本知識(shí)（各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)）、基本技能（迅速判斷一個(gè)數(shù)是否3的倍數(shù)等）的掌握固然重要，但這節(jié)課的價(jià)值更在于基本數(shù)學(xué)思想、基本數(shù)學(xué)活動(dòng)的體驗(yàn)。課堂上學(xué)生大膽猜測(cè)，即便錯(cuò)了也有價(jià)值，因?yàn)榘l(fā)現(xiàn)問題并能及時(shí)質(zhì)疑，可以促進(jìn)學(xué)生思辨能力的提升；在過程中小心求證，每個(gè)學(xué)生都要在活動(dòng)中有事可做，教材提供了“百數(shù)表”，學(xué)生在百數(shù)表中圈出3的倍數(shù)，有序觀察（橫著看、斜著看），在這個(gè)過程中也許有同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)規(guī)律。如果發(fā)現(xiàn)不了，也沒有關(guān)系，一種方式是教師直接提供暗示，讓學(xué)生通過例證，確認(rèn)結(jié)論；另一種方式是教師提供學(xué)具，如計(jì)數(shù)器、數(shù)字卡片等，引導(dǎo)學(xué)生展開二次研究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律。但教師要注意，不要讓學(xué)生滿足于此，還要他們?cè)僬倚┐髷?shù)或反例來驗(yàn)證，讓整個(gè)探究活動(dòng)得以充分展開。

（二）尊重學(xué)生認(rèn)知起點(diǎn)

教師尊重學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，其實(shí)就是承認(rèn)學(xué)生的認(rèn)知差異。

其一，要充分認(rèn)識(shí)到學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的困難性。盡管教材的編者想了很多辦法，但是不可否認(rèn)的是，若沒有提前學(xué)習(xí)，學(xué)生真的不容易發(fā)現(xiàn)“3的倍數(shù)的特征”。教師一定要從這部分學(xué)生的實(shí)際水平出發(fā)，不可提出過高的要求，但又要促使這些學(xué)生經(jīng)歷整個(gè)探究過程，發(fā)展思維能力。

其二，要看到部分學(xué)生已經(jīng)知道特征的現(xiàn)實(shí)。

筆者對(duì)使用浙教版教材的學(xué)生做過一個(gè)小測(cè)試，被測(cè)學(xué)生為四下年級(jí)，正好學(xué)習(xí)了“2，5的倍數(shù)的特征”，馬上要學(xué)習(xí)“3的倍數(shù)的特征”。被測(cè)的60名學(xué)生，有25人知道3的倍數(shù)的特征，約占總?cè)藬?shù)的40%。

教師在設(shè)計(jì)教案時(shí)，如何使這兩部分學(xué)生在各自的基礎(chǔ)上都有所收獲，是需要進(jìn)一步思考的問題。

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（浙江省杭州崇文實(shí)驗(yàn)學(xué)校 310016）