曾寶君+廉春雷

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的主要功能是梳理知識結(jié)構(gòu)、查缺補漏、總結(jié)概括主干方法、串聯(lián)規(guī)律形成經(jīng)驗等。在復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動中，教師應(yīng)先借助精準(zhǔn)設(shè)問，有序引導(dǎo)學(xué)生梳理知識結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生深入交流數(shù)學(xué)認(rèn)識；然后展示知識生長過程，引領(lǐng)學(xué)生有效串聯(lián)主干知識與學(xué)習(xí)經(jīng)驗，創(chuàng)造情境讓學(xué)生領(lǐng)悟模型變式的內(nèi)在規(guī)律以凸顯數(shù)學(xué)交流的核心價值，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)。

“培養(yǎng)初中生數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)的方法研究”課題組針對《相似三角形復(fù)習(xí)》一課（教師B、教師G分別主講），設(shè)計了四個話題，并進(jìn)行分組研討和總結(jié)交流：①在知識結(jié)構(gòu)梳理階段，如何引導(dǎo)學(xué)生通過交流形成對核心知識與技能的整體認(rèn)識？②在查缺補漏加深對核心知識與技能的掌握階段，如何有效組織學(xué)生通過討論來發(fā)現(xiàn)、糾正可能對概念（性質(zhì)）造成的誤解？③在例題學(xué)習(xí)中，教師如何通過學(xué)生的交流分析出他們的數(shù)學(xué)思維并把學(xué)生的交流經(jīng)驗進(jìn)行串聯(lián)，引導(dǎo)學(xué)生反芻解題方法？④在幫助學(xué)生將解題經(jīng)驗串聯(lián)與拓展階段，怎樣引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自我評價，以及學(xué)習(xí)和評價他人的解題方法與策略？

教師B和教師G雖然各自獨立設(shè)計，但兩份教學(xué)設(shè)計的理念與做法有不少地方是“英雄所見略同”的。例如：都注重復(fù)習(xí)課上知識點的梳理，都利用思維導(dǎo)圖引導(dǎo)學(xué)生形成知識網(wǎng)絡(luò)；都采用階梯式設(shè)問分解探究性問題的難度；都利用小組合作方式，組織學(xué)生討論問題、回答問題、展示結(jié)果。對照數(shù)學(xué)交流素養(yǎng)結(jié)構(gòu)（圖1），可以發(fā)現(xiàn)：采用階梯式設(shè)問便于學(xué)生有序“接收數(shù)學(xué)信息”，利用思維導(dǎo)圖有利于學(xué)生概覽“加工數(shù)學(xué)信息”，通過小組合作搭建交流平臺，有利于學(xué)生“表達(dá)數(shù)學(xué)看法”和“研討探索數(shù)學(xué)觀點”。下面以這兩節(jié)課為例，著重探討教師在組織學(xué)生開展交流活動中的重要作用。

一、精準(zhǔn)設(shè)問才能有序引導(dǎo)學(xué)生梳理知識結(jié)構(gòu)

復(fù)習(xí)課的核心功能之一是“理”。對相似三角形全章的知識、技能、方法和學(xué)習(xí)經(jīng)驗進(jìn)行系統(tǒng)梳理、分類和整合，在疏通來龍去脈、厘清內(nèi)在聯(lián)系的同時，通過查缺補漏，才能形成對核心知識與技能的整體認(rèn)識。在該階段，教師只有精準(zhǔn)把握數(shù)學(xué)問題的廣度和深度，才能引導(dǎo)學(xué)生有序思考，提高表達(dá)與交流的針對性和有效性。

案例1 復(fù)習(xí)導(dǎo)入環(huán)節(jié)的設(shè)計。

教師B的設(shè)計：請回顧三角形相似的基礎(chǔ)模型“A型”的分類方法，在下面圖形中畫出“A型”相似的所有示意圖。

教師B給每位學(xué)生發(fā)放了學(xué)案，學(xué)案上呈現(xiàn)上述五個三角形；同時，教師B在黑板上也同樣事先畫好這五個三角形。

教師B的學(xué)生作答：學(xué)生在黑板上板演結(jié)果如圖2-1-1至圖2-5-1。

教師G的設(shè)計：如圖，在△ABC中，∠C>∠B，D是邊AC上一點，在AB邊上畫出一點E，連接DE，使以A、D、E三點為頂點的三角形與△ABC相似。

教師G給每位學(xué)生發(fā)放了學(xué)案，學(xué)案上呈現(xiàn)的是圖3；同時，教師G在黑板上也同樣事先畫好圖3。

教師G的學(xué)生作答：學(xué)生在黑板上的同一個圖中的板演結(jié)果如圖3-1所示。

學(xué)生作答診斷：教師B的學(xué)生畫出5種圖形，其中圖2-4-1是圖2-3-1的特例，而圖2-2-1與圖2-5-1的畫法則是錯誤的。由于教師給出了5個圖形，學(xué)生潛意識地認(rèn)為應(yīng)該有5種情況，所以盡量把想到的情況都畫上去；特別是題目條件中并沒有說明邊AB、AC的大小關(guān)系，因此，學(xué)生就生硬地套用分類思想，畫出圖2-2-1與圖2-5-1。教師組織學(xué)生相互點評作答情況時，學(xué)生因?qū)栴}的理解不一致，導(dǎo)致交流效果不理想。

教師G在設(shè)計問題時添加了“∠C>∠B，D是邊AC上一點”的條件限制，因此學(xué)生在同一個圖形上畫出了三種情況，其中E2是錯誤的。教師組織學(xué)生相互點評作答情況時，學(xué)生通過交流很容易排除點E2不符合要求。

改進(jìn)建議：本環(huán)節(jié)的設(shè)計目的均是采用開放性問題引出“A”型相似的基本構(gòu)圖。教師B只需要在條件中添加“如圖”（適當(dāng)縮小問題廣度，強調(diào)AB>AC），然后將“圖2-2”至“圖2-5”標(biāo)注為“備用圖1”至“備用圖4”（適當(dāng)明確問題寬度），并提醒學(xué)生根據(jù)需要選擇備用圖的使用個數(shù)。這樣修改后，既可以開放性地檢查學(xué)生的思維狀況，又可以較快地進(jìn)行思維歸類，還有利于后續(xù)將“A型平行相似”和“A型斜交相似”做更多相似變式。關(guān)于教師G，建議在黑板上畫出2～3個備用圖，為后續(xù)圖形變式做好準(zhǔn)備（適當(dāng)調(diào)整問題的延展性）。

由此可見，師生交流、學(xué)生間的交流可以順暢高效進(jìn)行的關(guān)鍵之一，是教師設(shè)計的問題是否精準(zhǔn)合理。設(shè)問適當(dāng)，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生順利展開思考，還可以使學(xué)習(xí)主線更突出，特別是可以讓課堂寶貴的時間用于解決更重要的問題。

二、直觀感知和邏輯推理并用才能促進(jìn)數(shù)學(xué)認(rèn)識的深入交流

復(fù)習(xí)課承擔(dān)著“查缺補漏”的重要責(zé)任，當(dāng)學(xué)生作答錯誤時，引導(dǎo)學(xué)生通過自我反思、交流、同伴互助等方式認(rèn)識錯誤原因、糾正錯誤，這往往比教師點評印象更深刻。幾何復(fù)習(xí)時，教師還需要引導(dǎo)學(xué)生注意圖形直觀感知、幾何邏輯推理的相結(jié)合，綜合剖析思維上的困惑或誤區(qū)，并加以更正。

案例2 圖2-2-1的錯誤溯源。

教師B、教師G的課堂上，學(xué)生作答都出現(xiàn)了點D位于平行線下方的情況。兩位教師主要采用直觀觀察的方式引導(dǎo)學(xué)生觀察圖形， 判斷圖2-2-1中∠AED>∠ADE，∠AED>∠C，而∠C>∠B，在這樣的情況下，不可能出現(xiàn)“錯位對應(yīng)”。

但是，這里“通過觀察得到的∠AED>∠ADE”是基礎(chǔ)的結(jié)論，還是讓學(xué)生有這樣的困惑：是否只能如圖2-3-1一樣過E點“往上偏”，而不能如圖2-2-1一樣“向下偏”呢？這一直觀思維還需要邏輯推理來證實。

可以充分借助學(xué)生的正確答案圖2-1-1來證明圖2-2-1是錯誤的。

如圖2-2-1-1，假設(shè) △ADE∽ACB。過點E作ED1∥BC交AD于D1，顯然∠1=∠B。

∵ ∠1是△D1DE的一個外角，

∴ ∠1>∠2；

∵ △ADE∽ACB，

∴ ∠2=∠C；

∵ ∠1=∠B，∠1>∠2，∠2=∠C；

∴ ∠B>∠C。

這與已知∠C>∠B相矛盾，故假設(shè)不成立，即此時點D不符合要求。

通過上述邏輯論證，結(jié)合直觀觀察，只有過E點“向上偏”，才能產(chǎn)生大于∠1的角，從而得到圖2-3-1。這樣，教師通過適當(dāng)引導(dǎo)，讓學(xué)生在對他人觀點和自己觀點進(jìn)行評價反思的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步拓展、延伸對數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)認(rèn)識，從而使數(shù)學(xué)交流更加深刻。

三、展示知識生長過程才能引領(lǐng)學(xué)生有效串聯(lián)主干知識與學(xué)習(xí)經(jīng)驗

復(fù)習(xí)課不僅要查缺補漏、展現(xiàn)知識結(jié)構(gòu)，更要體現(xiàn)知識的生長過程，這樣才能讓學(xué)生在知識系統(tǒng)中有機(jī)構(gòu)建思維通道，掌握問題生成、發(fā)展和解決的一般方法。

三角形相似的復(fù)習(xí)課堂上，兩位教師在總結(jié)歸納了“A”型相似模型后，隨后均出示了“X”型相似的基礎(chǔ)模型，再用例題引出“M”型相似模型。這種設(shè)計雖然將相似三角形的基本圖形變式進(jìn)行了歸納，但對揭示基本圖形變式之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的強調(diào)不夠，學(xué)生對這些圖形的認(rèn)識難免停留在零散層面，不利于學(xué)生運用聯(lián)系、動態(tài)的觀點整體認(rèn)識相似三角形，靈活轉(zhuǎn)換、加工各種有效信息。

圖4展示的是三角形相似基礎(chǔ)圖形變式的思維導(dǎo)圖。由“A”型相似的平行相似、斜交相似，演變?yōu)椤癤”型相似的平行相似、斜交相似，再由“X”型相似的平行相似分離公共頂點變形為“M” 型相似的三等銳角、三直角、三等鈍角模型，若能采用幾何畫板動態(tài)演示這些基礎(chǔ)圖形的變式過程，則可以進(jìn)一步加深學(xué)生對基本圖形變式之間內(nèi)在關(guān)聯(lián)的理解與掌握，完善相似三角形判定方法的知識網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。

四、領(lǐng)悟模型變式的內(nèi)在規(guī)律才能凸顯數(shù)學(xué)交流的核心價值

復(fù)習(xí)課還有一個重要價值，就是對已學(xué)過的知識進(jìn)行綜合研究，不僅要順利地把相似三角形的相關(guān)知識串聯(lián)起來形成知識網(wǎng)絡(luò)圖，還要善于根據(jù)具體問題及時提取三角形相似的相應(yīng)模型解決問題，特別是從陌生情境中準(zhǔn)確識別三角形相似的基礎(chǔ)模型。這種能力的培養(yǎng)和形成，既需要平日學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累，更需要復(fù)習(xí)課上師生之間、學(xué)生之間交流活動的集中領(lǐng)悟。

案例3 由“M”型相似模型到“一線三等角”模型。

在圖4中，由“X”型相似變形為“M”型相似，教師需要引導(dǎo)學(xué)生在仔細(xì)觀察的基礎(chǔ)上通過討論交流，歸納出：這類圖形在保持三角形相似性不變的變換過程中還有哪些數(shù)量關(guān)系保持不變？學(xué)生通過相互糾錯、交流反思、總結(jié)提煉，可以發(fā)現(xiàn)“M”型相似模型中，相似三角形位于一條直線的同側(cè)，且相似三角形中頂點在同一條直線上的等角所對的邊夾角也等于等角。因此，這種模型可以稱為“一線三等角”模型。

由“M”型相似模型變形為外“M”型相似模型，教師同樣需要讓學(xué)生在獨立觀察的基礎(chǔ)上研究，在保持三角形相似性不變的變換過程中還有哪些數(shù)量關(guān)系保持不變？外“M”型相似模型是否可以由三直角變形為三等銳角、三等鈍角？學(xué)生通過獨立作圖摸索、同伴交流、概括提煉后，可以得出外“M”型相似模型中，相似三角形位于一條直線的兩側(cè)，且相似三角形中頂點在同一條直線上的等角所對的邊夾角也等于等角。因此，這種模型同樣也可以稱為“一線三等角”模型。

經(jīng)過這樣的探索與交流、復(fù)習(xí)與總結(jié)之后，學(xué)生才能深刻認(rèn)識模型變式中的不變特征，準(zhǔn)確理解相似三角形的“M”型、外“M”型的模型特征。