符 曉， 譚月勝

(北京林業(yè)大學(xué)工學(xué)院，北京 100083)

研究與設(shè)計(jì)

6R機(jī)器人工作空間奇異點(diǎn)的可視化研究

符 曉， 譚月勝

(北京林業(yè)大學(xué)工學(xué)院，北京 100083)

分析機(jī)器人的奇異空間對(duì)工業(yè)機(jī)器人完成指定任務(wù)(如碼垛、噴漆、焊接、拋光等工作)具有前瞻性指導(dǎo)意義。根據(jù)D-H參數(shù)法建立模型，利用數(shù)值算法求其在多姿態(tài)下的雅克比矩陣條件數(shù)，將此作為評(píng)判指標(biāo)來衡量機(jī)器人在空間各個(gè)節(jié)點(diǎn)位置處的奇異程度，并用不同顏色將其可視化?？梢暬Y(jié)果表明所劃分的奇異區(qū)域滿足理論中的兩大奇異點(diǎn)范疇，從仿真結(jié)果看提出的算法切實(shí)有效。

機(jī)器人；工作空間；奇異點(diǎn)；可視化

機(jī)器人末端執(zhí)行器上某個(gè)參考點(diǎn)的可達(dá)工作區(qū)域稱為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的可達(dá)工作空間，簡稱為工作空間，可達(dá)空間指的是機(jī)器人只能以有限種姿態(tài)到達(dá)點(diǎn)的集合[1]，機(jī)器人的奇異位形靈活空間是指在工作空間中機(jī)器人可以以任意姿態(tài)達(dá)到的點(diǎn)。機(jī)器人的工作空間奇異性是機(jī)器人的固有屬性，在奇異點(diǎn)附近，機(jī)器人會(huì)喪失一個(gè)或幾個(gè)自由度，使其利用數(shù)值法求出的逆解失效。研究機(jī)器人的奇異性離不開對(duì)機(jī)器人雅可比矩陣的研究，目前評(píng)判機(jī)器人靈巧性的指標(biāo)有條件數(shù)[2]、最小奇異值、運(yùn)動(dòng)靈巧性[3]及可操作度[4]。國內(nèi)外已有許多學(xué)者對(duì)機(jī)器人的奇異點(diǎn)進(jìn)行了研究。林瑞麟[5]針對(duì)球形手腕機(jī)器人采用離散方法，通過對(duì)子系統(tǒng)奇異的研究，分析了整體系統(tǒng)的奇異問題；徐文福[6]針對(duì)PUMA類型機(jī)器人提出了一種“奇異分離+阻尼倒數(shù)”的方法，無需估計(jì)最小奇異值，但末端執(zhí)行器精度較低；董伯麟[7]基于阻尼最小二乘法，給出一種連續(xù)阻尼自適應(yīng)調(diào)節(jié)方法，增強(qiáng)了求解結(jié)果的穩(wěn)定性，但這種方法需要同時(shí)比較4個(gè)算子的最小值，運(yùn)算量較大，求解速度較慢；王紅等[8]引入運(yùn)動(dòng)靈巧性指標(biāo)對(duì)機(jī)器人的運(yùn)動(dòng)靈巧性進(jìn)行了尺度綜合分析，但其是否可以應(yīng)用在串聯(lián)機(jī)器人上目前尚不確定。

本文基于雅可比矩陣條件數(shù)，提出了一種在單位置節(jié)點(diǎn)多姿態(tài)下的加權(quán)條件數(shù)值，并充分考慮了在逆解不存在時(shí)雅可比矩陣的情況，提出一個(gè)新的標(biāo)量來描述單位置下的奇異程度，使得在找出奇異位置的同時(shí)，能夠?qū)⒖臻g的奇異區(qū)域用顏色差異在空間中以可視化形式直觀展示。

1 機(jī)器人模型建立

本文以Puma560機(jī)器人為例進(jìn)行仿真，Puma 560結(jié)構(gòu)參數(shù)見表1。

表1 Puma560的結(jié)構(gòu)參數(shù)

iai-1/mαi-1/°di/mθi/°關(guān)節(jié)范圍/°1000θ1(90°)-160°～160°20-90°0.149θ2(0°)-225°～45°30.431800θ3(-90°)-45°～225°40.02032-90°0.43307θ4(0°)-110°～170°5090°0θ5(0°)-100°～100°60-90°0θ6(0°)-266°～266°

Denavit和Hartenberg于1995年提出了一種為關(guān)節(jié)鏈中的每一桿件建立坐標(biāo)系的矩陣方法，即D-H參數(shù)法，根據(jù)D-H參數(shù)法建立的Puma560機(jī)器人模型如圖1所示。

圖1 Puma560機(jī)器人模型

2 機(jī)器人的工作空間

Puma560機(jī)器人的6個(gè)關(guān)節(jié)均為轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)，前三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)確定參考點(diǎn)位置，后三個(gè)關(guān)節(jié)組合成的腕關(guān)節(jié)決定其末端執(zhí)行器的姿態(tài)[9-14]。通過幾何法求得機(jī)器人最遠(yuǎn)可達(dá)邊界D=a2+d4=0.864 87；內(nèi)部邊界d=d2=0.149 09；機(jī)器人的實(shí)際工作空間應(yīng)是半徑為D的外球體除去半徑為d的內(nèi)球體所剩余的球殼區(qū)域。半剖后的Puma560機(jī)器人工作空間示意圖如圖2所示。

圖2 Puma560機(jī)器人工作空間

機(jī)器人的雅可比矩陣為操作空間向關(guān)節(jié)空間的一種映射關(guān)系，對(duì)于本文研究的6自由度機(jī)器人而言，其雅可比矩陣可表示為：

對(duì)于Puma560，其雅可比矩陣為6×6的矩陣，其中對(duì)于任一指定的列數(shù)j，前三行代表末端執(zhí)行器對(duì)j關(guān)節(jié)線速度的傳遞比，而后三行則表示末端執(zhí)行器對(duì)j關(guān)節(jié)角速度的傳遞比。

由于機(jī)器人的雅可比矩陣與位置坐標(biāo)的3個(gè)變量及方位歐拉角的3個(gè)變量有關(guān)，本文提出一種“分而治之”的數(shù)值處理方法：先固定位置坐標(biāo)(px，py，pz)，讓三個(gè)歐拉角等步長轉(zhuǎn)過0°～360°得到不同轉(zhuǎn)角下對(duì)應(yīng)的姿態(tài)矩陣，然后再求出其雅可比矩陣信息。

3 6R機(jī)器人條件數(shù)的算法及其實(shí)現(xiàn)

對(duì)于串聯(lián)機(jī)器人Puma560，由關(guān)節(jié)i至關(guān)節(jié)i-1的連桿變換為：

由此可求得其雅可比矩陣為：

其中，關(guān)節(jié)1～3的雅可比列各元素分別如下：

式中：si、ci、sij、cij分別表示sinθi、cosθi、sin(θi+θj)、cos(θi+θj)，i=1,2…6。

本文對(duì)機(jī)器人末端執(zhí)行器的三個(gè)方位角等步長各取10個(gè)值，組合共計(jì)103種不同的姿態(tài)，在這些姿態(tài)中，也有逆解不存在的位姿點(diǎn)。在算法中，當(dāng)判斷出某些位姿點(diǎn)用數(shù)值法求不出逆解時(shí)，會(huì)對(duì)這部分位姿點(diǎn)進(jìn)行賦值操作，使這些位姿點(diǎn)也具有雅可比條件數(shù)值。最后將每個(gè)位置節(jié)點(diǎn)多種姿態(tài)下的條件數(shù)值進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，求得其加權(quán)條件數(shù)值。算法流程圖如圖3所示。

圖3 算法流程圖

4 6R機(jī)器人工作空間奇異程度的可視化展示

本文選取了Z=0.2的平面，對(duì)此平面按極坐標(biāo)的形式進(jìn)行網(wǎng)格劃分，扇形半徑從0.15～0.85等分為15份，扇形角度從0～π等分為41份，所取的樣本工作點(diǎn)共有615個(gè)。

本文提出用一個(gè)新的標(biāo)量α來描述奇異程度，若將條件數(shù)的最大值記作Cmax，cond記作條件數(shù)，則奇異度α可表示為：

在Z=0.2平面下選取的部分?jǐn)?shù)據(jù)見表2。

表2 Z=0.2平面部分節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)及其對(duì)應(yīng)的α值

編號(hào)PxPyPzα40-0.151.84E-170.2141-0.149540.011770.20.927508420.1993830.0156920.20.526325430.1975380.0312870.20.454686440.1944740.0466890.20.271246450.1902110.0618030.20.191541460.1847760.0765370.20.271176470.1782010.0907980.20.219871480.1705280.1045000.20.373908490.1618030.1175570.20.205328500.1520810.1298900.20.264169

由α的定義式可知，0<α≤1。α值越大，代表奇異程度越大，利用網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的α值來表征網(wǎng)格的顏色，以此得出的Z=0.2平面下的機(jī)器人工作空間奇異程度如圖4所示。

圖4 Z=0.2平面下的機(jī)器人工作空間奇異程度

由奇異性和靈巧度與雅可比矩陣條件數(shù)的關(guān)系可知，條件數(shù)越大，即α越大，表現(xiàn)為機(jī)器人的靈巧性越差，其奇異程度也越大。由圖4中可以直觀地看出，在內(nèi)邊界與外邊界的值偏大，事實(shí)上這正是機(jī)器人奇異形位中的“邊界奇異”。除此之外，在中間部分也有部分奇異度很高的點(diǎn)，這些對(duì)應(yīng)于機(jī)器人奇異形位中的“內(nèi)部奇異形位”，這是由于某些關(guān)節(jié)軸線重合，使機(jī)器人喪失了自由度所致。

5 結(jié)果與仿真

在工作空間中隨機(jī)選取兩點(diǎn)A、B(見圖4)，為了避免末端執(zhí)行器在笛卡爾空間中的軌跡如黑色直線穿過空間中的奇異點(diǎn)，在A、B之間再插入14個(gè)中間點(diǎn)。仿真時(shí)間為2 s，等分為16份，第i個(gè)時(shí)間點(diǎn)對(duì)應(yīng)于執(zhí)行器到達(dá)軌跡中的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置，關(guān)節(jié)1～6的關(guān)節(jié)角度隨時(shí)間的變化曲線如圖5所示。

圖5 關(guān)節(jié)角度隨時(shí)間的變化曲線

本文對(duì)關(guān)節(jié)空間軌跡規(guī)劃采用三角函數(shù)插值法，由圖5可以看出，關(guān)節(jié)1～6的角度均沒有超出表1中的轉(zhuǎn)角范圍，速度隨時(shí)間變化平緩，沒有速度突變節(jié)點(diǎn)。

6 結(jié)論

(1)給出了一種描述串聯(lián)機(jī)器人奇異程度的數(shù)值計(jì)算方法，提出了一個(gè)新的標(biāo)量來評(píng)價(jià)工作空間中各個(gè)節(jié)點(diǎn)甚至各個(gè)區(qū)域的奇異程度，仿真結(jié)果表明切實(shí)可行。

(2)對(duì)于如噴漆、弧焊之類的工業(yè)機(jī)器人在一個(gè)指定平面內(nèi)的工作，本文提供的方法可有效地預(yù)測(cè)奇異位形，并可通過圖形可視化的方式展示出來。

(3)實(shí)際工程中，在機(jī)器人指定初末位置任務(wù)的情況下，為機(jī)器人末端執(zhí)行器考慮避開奇異點(diǎn)的路徑規(guī)劃問題提供了理論依據(jù)。

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(責(zé)任編輯 張雅芳)

Visual Study on the Singularity of the Workspace for 6R Serial Manipulators

FU Xiao， TAN Yue-sheng

(School of Technology，Beijing Forestry University，Beijing 100083，China)

The analysis of the singular space of the robots is of prospective guiding importance for industrial robots to complete such specified tasks as stacking，painting，welding and polishing.A model is constructed with the D-H parameter method，and a numerical algorithm is used to obtain condition number of Jacobian under multi-pose，which is used as an evaluation indicator to measure the degree of the singularity of each node in the space，with different colors used to visualize the workspace.The results of visualization shows that the region of the proposed singularity match with the two kinds of singular points in previous theory，and the proposed algorithm is effective seen from the simulation results.

robot；workspace；singular point；visualization

2017-01-20

符 曉(1991-)，男，河南南陽人，碩士研究生，主要從事機(jī)器人運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)的研究，E-mail：fx034592@126.com。

TP242

A

2095-2953(2017)04-0032-04