雷賢卿 孟 琦 馬文鎖 楊科林

河南科技大學(xué)機械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，洛陽，471003

閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差研究

雷賢卿 孟 琦 馬文鎖 楊科林

河南科技大學(xué)機械裝備先進(jìn)制造河南省協(xié)同創(chuàng)新中心，洛陽，471003

利用當(dāng)量嚙合誤差原理，建立閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)各齒輪共同作用時傳動誤差與時間的關(guān)系式,得出了閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差隨時間的變化規(guī)律,利用蒙特卡羅法驗證了傳動誤差隨時間變化規(guī)律的正確性。依據(jù)閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)的角頻率特性，研究各齒輪誤差初始相位與齒輪傳動誤差的關(guān)系及兩支路傳動誤差的同步性；構(gòu)建了同步傳動誤差和各齒輪傳動誤差之間的耦合模型，提出減小同步傳動誤差的措施，實例分析表明，該措施可以有效地提高閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)的傳動平穩(wěn)性。

閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)；平穩(wěn)性；傳動誤差；同步傳動誤差

0 引言

在軟管、電纜等產(chǎn)品的生產(chǎn)中，為使其具有較好的抗拉伸、抗彎折、抗沖擊和耐磨損等性能，常在其壁內(nèi)增加一層或數(shù)層網(wǎng)狀強化層，該網(wǎng)狀強化層為網(wǎng)線相互交叉而成。為實現(xiàn)網(wǎng)線的相互交叉，常使用編織機進(jìn)行編織[1-3]。編織機的機械傳動系統(tǒng)是設(shè)備的關(guān)鍵部分，改善其傳動性能是提高編織機轉(zhuǎn)速的重要途徑之一。目前國內(nèi)外編織機的機械傳動系統(tǒng)大都是一套閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)，共有n個齒輪,n≥4且為偶數(shù)，n個齒輪兩兩相互嚙合，并形成一個封閉的傳動系統(tǒng)，每個齒輪既是主動輪又是被動輪。如果閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)存在傳動誤差，則會使齒輪瞬時傳動比改變，從而產(chǎn)生沖擊，引起振動和噪聲，降低閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)的傳動平穩(wěn)性。因此，研究閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)的傳動誤差對提高傳動平穩(wěn)性具有實用價值。

國內(nèi)外學(xué)者對齒輪傳動誤差定義、計算和測量進(jìn)行了研究[4-6]，對采用齒廓修形、提高齒輪的制造和裝配精度來減小傳動誤差也進(jìn)行了研究[7-13]，但大都以一對齒輪或者開環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)進(jìn)行研究，缺乏對閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)的傳動誤差研究。而對于閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)，僅僅是針對閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)裝配條件和均載特性進(jìn)行研究[14-17]，缺乏對閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)的傳動誤差研究。

本文以編織機的閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，依照閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)功率分流合流、傳動系統(tǒng)封閉首尾相接的特點，建立編織機閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)傳動過程中，各齒輪共同作用時傳動誤差與時間的關(guān)系式，探究閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差與時間的變化規(guī)律，基于蒙特卡羅思想驗證了傳動誤差隨時間變化規(guī)律的正確性。依據(jù)同步傳動誤差的概念建立同步傳動誤差和各齒輪傳動誤差的耦合關(guān)系，以減小同步傳動誤差為目的，提出了增強閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)傳動平穩(wěn)性的措施。

1 傳動誤差影響因素

由于齒輪在制造和裝配過程中不可能絕對準(zhǔn)確，并且齒輪在工作過程中也會發(fā)生彈性變形，所以齒輪在傳動過程中產(chǎn)生的傳動轉(zhuǎn)角誤差是不可能避免的。對于靜態(tài)誤差，齒輪誤差的主要來源是齒輪的制造誤差和裝配誤差。

1.1 齒輪制造誤差

1.2 齒輪裝配誤差

齒輪裝配誤差主要由齒輪孔與軸之間的間隙e1、齒輪安裝處軸頸跳動間隙e2和滾珠軸承的偏心量e3引起。

1.3 當(dāng)量嚙合傳動誤差

圖1 當(dāng)量嚙合誤差示意圖Fig.1 Schematic of equivalent meshing error

把切向綜合誤差投影在嚙合線上，有

(1)

式中，ω為角速度；t為時間。

把齒間切向誤差投影到嚙合線上，有

(2)

式中，z為齒數(shù)。

把由齒輪孔與軸之間的間隙e1而引起的安裝誤差投影到嚙合線上，有

(3)

把由齒輪安裝處軸頸跳動間隙e2而引起的安裝誤差投影到嚙合線上，有

(4)

把由滾珠軸承偏心量e3而引起的安裝誤差投影到嚙合線上，有

(5)

把齒輪制造誤差投影在嚙合線上，有

(6)

把齒輪安裝誤差投影在嚙合線上，有

(7)

圖2 閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)簡圖Fig.2 Schematic of closed loop gear transmission system

(8)

Φ=π(n-2)/n

式中，Φ為齒輪相鄰傳動線之間的夾角。

1.4 傳動誤差的計算式

齒輪傳動誤差是指實際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角之差，當(dāng)該值為正時表示實際轉(zhuǎn)角比理論轉(zhuǎn)角大，該值為負(fù)時則相反。規(guī)定逆時針旋轉(zhuǎn)為正，順時針為負(fù)。

(1)單個齒輪的誤差由齒輪的制造誤差和裝配誤差組成，計算公式為

Ti=eEij+eAij

(9)

(2)一對齒輪副的誤差φ1由相互嚙合的齒輪綜合而成，計算公式為

(10)

式中，T1為齒輪1的誤差；T2為齒輪2的誤差；r2為齒輪2的基圓半徑。

(3)齒輪傳動誤差φ由多對齒輪副的誤差通過傳動比轉(zhuǎn)化到最后一個齒輪所得，計算公式為

(11)

式中，φn為第n對齒輪副傳動誤差；in-1為第n-2根軸到第n-1根軸的傳動比。

1.5 同步傳動誤差

閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)的傳動特點如下：功率由輸入軸進(jìn)入，在第一個齒輪處分流左右兩條支路傳遞功率，最終在最后一個齒輪處功率合流。傳動過程中引起的噪聲不僅有開環(huán)傳動時各支路傳動誤差引起的噪聲，還有左右兩支路傳動時在功率合流時傳動不同步而引起的噪聲。為了反映多輸入齒輪傳動時齒輪傳動的同步性，提出同步傳動誤差的概念。同步傳動誤差定義為：在齒輪傳動中由多個主動齒輪向單個被動齒輪傳遞功率時，各主動齒輪向被動齒輪傳動的誤差之差，即

k=φS1-φS2

(12)

式中，k為同步傳動誤差；φS1為支路S1的傳動誤差；φS2為支路S2的傳動誤差。

2 齒輪傳動誤差耦合

齒輪各種偏心誤差轉(zhuǎn)化為在嚙合線上的當(dāng)量嚙合誤差，對系統(tǒng)傳動誤差的影響一般都可以表征為三角函數(shù)的關(guān)系，角頻率ω相同時，對n個齒輪的當(dāng)量嚙合誤差的耦合誤差模型為

(13)

式中，Bn-1和ψn-1分別為前n-1項合并后的幅值和初始相位；An和?n分別為第n項的幅值和初始相位。

3 實例計算與分析

3.1 計算模型

以6個齒輪的閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)為例，傳動原理如圖3所示，其輸入功率由輸入軸0進(jìn)入，在齒輪Z1處分流出左右兩條支路來傳遞功率，最終在齒輪Z4處功率合流。輸入功率是通過兩條相對獨立的支路進(jìn)行傳遞的，即支路S1(Z1(S1)Z2(S1)Z3(S1)Z4(S1))和支路S2(Z1(S2)Z2(S2)Z3(S2)Z4(S2))。

圖3 閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)傳動原理圖Fig.3 Schematic of closed loop gear transmission system

各齒輪齒數(shù)z=80，模數(shù)m=1.5，壓力角α=20°，角頻率ω=10πrad/s，傳動比均為1。根據(jù)式(8)，機構(gòu)相關(guān)角度如表1所示。齒輪在裝配時誤差的初始相位均隨機出現(xiàn)，取各誤差初始相位如表2所示。根據(jù)編織機齒輪機構(gòu)設(shè)計要求，各部件的誤差參數(shù)如表3所示。

表1 機構(gòu)相關(guān)角度

表2 各誤差的初始相位

表3 各部件誤差

把各誤差值、機構(gòu)相關(guān)角度和誤差初始相位代入式(1)～式(7)得到當(dāng)量嚙合誤差。以齒輪Z1(S1)為例，有

(14)

綜上，由式(9)～式(12)可得支路S1(Z1(S1)Z2(S1)Z3(S1)Z4(S1))傳動誤差、支路S2(Z1(S2)Z2(S2)Z3(S2)Z4(S2))傳動誤差和同步傳動誤差為

(15)

(16)

k=φS1-φS2

3.2 傳動誤差的變化規(guī)律

閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)工作時，在齒輪Z1處分流沿支路S1和支路S2傳遞功率，最終在齒輪Z4處功率合流完成功率傳遞。根據(jù)式(15)、式(16)和式(12)可得各支路傳動誤差和同步傳動誤差的變化規(guī)律，如圖4～圖6所示。

圖4 支路S1傳動誤差變化規(guī)律Fig.4 Change rules of branch S1 transmission error

圖5 支路S2傳動誤差變化規(guī)律Fig.5 Change rules of branch S2 transmission error

圖6 同步傳動誤差變化規(guī)律Fig.6 Change rules of synchronous transmission error

由圖4～圖6可得：

(1)各齒輪傳動系統(tǒng)的傳動誤差都以高頻和低頻周期隨時間變化。

(2)支路S1最大瞬時傳動誤差為6.01 mrad即20.66′,最小瞬時傳動誤差為-5.93 mrad即-20.38′,支路S2最大瞬時傳動誤差為6.09 mrad即20.93′,最小瞬時傳動誤差為-6.02 mrad即-20.69′;支路S1、S2最大瞬時同步傳動誤差為11.15 mrad即38.33′，最小瞬時同步傳動誤差為-11.14 mrad即-38.29′。

(3)比較支路S1與支路S2兩傳動誤差的變化規(guī)律，兩者傳動誤差不同步且最大瞬時傳動誤差值也不同。

(4)同步傳動誤差峰值并不是簡單的幅值相加，各齒輪傳動支路存在耦合作用。

3.3 齒輪傳動誤差的蒙特卡羅法分析

(17)

(18)

式中，R為服從[0,1]均勻分布的隨機變量；η為分布參數(shù)；X為隨機變量。

(19)

(20)

制造誤差和安裝誤差各跳動量的相位角均滿足[0,2π]間的均勻分布，則抽樣公式為

X=2πR

(21)

安裝誤差的各間隙ei滿足正態(tài)分布，其抽樣公式、分布參數(shù)分別為

(22)

μi=ei/2σi=ei/6

(23)

式中，μ為期望；σ為標(biāo)準(zhǔn)差。

蒙特卡羅法計算步驟如下：①根據(jù)式(19)、式(20)、式(23)求出各誤差參數(shù)；②產(chǎn)生服從[0,1]均勻分布的隨機數(shù)，根據(jù)式(18)、式(21)、式(22)抽樣得出抽樣值；③依照步驟①、步驟②的方法得到其余當(dāng)量嚙合誤差的參數(shù)；④根據(jù)式(9)、式(10)、式(11)求出各支路總傳動誤差和同步傳動誤差；⑤重復(fù)步驟②～步驟④50 000次，誤差初始相位取任意值，每次取各支路總傳動誤差和同步傳動誤差進(jìn)行統(tǒng)計分析，畫出直方圖，見圖7～圖9。

圖7 支路S1傳動誤差直方圖Fig.7 Histogram of branch S1 transmission error

圖8 支路S2傳動誤差直方圖Fig.8 Histogram of branch S2 transmission error

圖9 同步傳動誤差直方圖Fig.9 Histogram of synchronous transmission error

比較圖7和圖4，蒙特卡羅法得到的支路S1傳動誤差最小值為-6.69 mrad即-20.99′，比圖4中最小值略小0.61′，最大值為6.45 mrad即22.17′，比圖4中最大值略大1.51′。期望為-1.17 μrad即0.24″，標(biāo)準(zhǔn)差為2.70 mrad即9.28′，取置信系數(shù)為0.9973，可得置信區(qū)間為[-18.39′,18.22′]。

比較圖8和圖5，蒙特卡羅法得到的支路S2傳動誤差最小值為-6.56 mrad即-20.55′，比圖5中最小值略小1.86′，最大值為6.69 mrad即20.99′，比圖5中最大值略大0.06′。期望為7.40 μrad即1.52″，標(biāo)準(zhǔn)差為2.72 mrad即9.35′，取置信系數(shù)為0.9973，可得置信區(qū)間為[-18.52′,18.46′]。

比較圖9和圖6，蒙特卡羅法得到的同步傳動誤差最小值為-11.55 mrad即-39.70′，比圖6中最小值略小1.41′，最大值為11.68 mrad，即40.15′，比圖6中最大值略大1.82′。期望為-1.60 μrad即0.33″，標(biāo)準(zhǔn)差為5.32 mrad即18.28′，取置信系數(shù)為0.9973，可得置信區(qū)間為[-33.89′,33.72′]。

通過比較可知，各支路的總傳動誤差和同步傳動誤差與蒙特卡羅抽樣得到的總傳動誤差和同步傳動誤差相比，最小值略大，最大值略小。閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)各傳動誤差的分布符合蒙特卡羅法得到的誤差分布規(guī)律。

3.4 齒輪傳動誤差耦合

根據(jù)齒輪傳動誤差耦合原理，實例調(diào)配各誤差初始相位，對閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)同步傳動誤差進(jìn)行優(yōu)化耦合。

由式(12)可知同傳動誤差為

(1)將每個齒輪當(dāng)量嚙合誤差中的切向綜合誤差項合并化簡為

eE1=eE12(S1)-eE12(S2)=

eE2(S1)=eE21(S1)+eE23(S1)=

eE3(S1)=eE32(S1)+eE34(S1)=

eE2(S2)=-eE21(S2)-eE23(S2)=

eE3(S2)=-eE32(S2)-eE34(S2)=

(2)將每個齒輪當(dāng)量嚙合誤差中的各項安裝誤差合并化簡為

eA1=eA12(S1)-eA12(S2)=

eA2(S1)=eA21(S1)+eA23(S1)=

eA3(S1)=eA32(S1)+eA34(S1)=

eA4=eA43(S1)-eA43(S2)=

eA3(S2)=-eA32(S2)-eA34(S2)=

eA3(S2)=-eA32(S2)-eA34(S2)=

(3)根據(jù)齒輪傳動誤差耦合原理，對切向綜合誤差引起的嚙合當(dāng)量誤差進(jìn)行誤差耦合，改變每個齒輪切向誤差初始相位，令每個齒輪誤差初始相位相差0或π,使其傳動誤差進(jìn)行最佳耦合，耦合后各誤差的初始相位如表4所示。

表4 耦合后各誤差的初始相位

(4)根據(jù)齒輪傳動誤差耦合原理，先將每個齒輪上的三種安裝誤差進(jìn)行耦合，每個誤差初始相位相差0或π,使其每個齒輪的傳動誤差進(jìn)行最佳耦合；再將齒輪之間的安裝誤差進(jìn)行耦合，每個齒輪誤差初始相位相差0或π,使其傳動誤差進(jìn)行最佳耦合，耦合后各誤差的初始相位見表4。

對安裝誤差初始相位和制造誤差初始相位同時進(jìn)行配湊耦合，誤差耦合后同步傳動誤差如圖10所示。

圖10 誤差耦合后同步傳動誤差變化規(guī)律Fig.10 Change rules of synchronous transmission error after coupling

對比圖6和圖7可知，最大瞬時同步傳動誤差耦合前為11.2 mrad即38.50′，耦合后為0.1516 mrad即0.52′，同步傳動誤差約減小了98.64%。

4 結(jié)論

(1)選取六齒輪閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)為研究對象，研究了各齒輪作用和共同作用時的傳動誤差，得到傳動誤差隨時間的變化規(guī)律。

(2)因各齒輪傳動角頻率相同，故存在耦合關(guān)系。耦合誤差的大小由各分量的誤差值決定。各誤差分量的初始相位之差決定了誤差分量之間的抵消程度。

(3)在不改變各構(gòu)件加工精度的情況下，僅通過對閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)各誤差分量進(jìn)行調(diào)試裝配可得到最佳耦合補償結(jié)果，能大幅度降低同步傳動誤差。

(4)閉環(huán)齒輪傳動系統(tǒng)傳動誤差的分布規(guī)律與蒙特卡羅法得到的誤差分布規(guī)律基本相同。研究所得規(guī)律可用于分析類似的齒輪傳動機構(gòu)的傳動誤差。

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(編輯 蘇衛(wèi)國)

Research on Transmission Errors of Closed Loop Gear Transmission Systems

LEI Xianqing MENG Qi MA Wensuo YANG Kelin

Collaborative Innovation Center of Machinery Equipment Advanced Manufacturing of Henan Province，Henan University of Science and Technology,Luoyang,Henan，471003

A formula among gear transmission errors and time were established by using the theory of equivalent mesh errors. The rules of transmission errors with time were researched. The correctness of the rules of transmission errors with time was verified by using the Monte-Carlo method. According to the angular frequency characteristics of closed loop gear transmission systems, the relation between the gear initial phase errors and transmission errors, and the synchronicity of two branch transmission errors were studied. A coupling model between the synchronous transmission errors and the gear transmission errors was established. The measures for reducing the synchronous transmission error was put forward. Examples show that the measures may improve transmission stability of the closed loop gear transmission systems effectively.

closed loop gear transmission system; stability; transmission error; synchronization transmission error

2016-04-27

TH132.413DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2017.06.007

雷賢卿，男，1963年生。河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。E-mail:ly-lxq@163.com。孟 琦，男，1990年生。河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院碩士研究生。馬文鎖，男，1969年生。河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院教授、博士研究生導(dǎo)師。楊科林，男，1992年生。河南科技大學(xué)機電工程學(xué)院碩士研究生。