沈軍
數(shù)學(xué)知識(shí)概念抽象,且習(xí)題中知識(shí)點(diǎn)雜且混,一旦學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)不牢固、審題能力不具備,直接會(huì)影響試卷的整體成績;對(duì)此學(xué)生在審題時(shí),要根據(jù)不同的情況,加強(qiáng)對(duì)于習(xí)題條件、結(jié)構(gòu)、數(shù)據(jù)以及圖形等內(nèi)容的細(xì)致觀察,從而更好的保證解題不漏項(xiàng)等,為此加強(qiáng)此方面的研究是非常有必要的.
一、審題的內(nèi)容
1.審條件
大多數(shù)學(xué)生在解題時(shí),都會(huì)先從審條件入手,從而挖出題目中的隱含信息;然后根據(jù)條件之間的種種聯(lián)系,進(jìn)行整體性的推理和分析,繼而找到下筆的突破口.
例1若實(shí)數(shù)x,y滿足條件x+y≥0、x-y+1≥0、0≤x≤1;求x-3y的最大值.圖1
解析根據(jù)x,y滿足的條件,確定出了該不等式表示的平面區(qū)域,即圖1.
然后求出|x-3y|10的最大值,根據(jù)x=1,x-y+1=0,得出實(shí)數(shù)x,y的值分別為1、2;再將(1,2)帶入到直線方程x-3y=0中,即可求出x-3y的最大值為5.分析根據(jù)已知條件,很明顯的可以看出該題考查的是學(xué)生對(duì)于不等式知識(shí)的理解,首先學(xué)生要根據(jù)已知條件,畫出平面區(qū)域,然后再求出區(qū)域內(nèi)點(diǎn)到直線的最大值,即可求出其最大值,數(shù)形結(jié)合能夠幫助學(xué)生更加直觀的分析習(xí)題條件,對(duì)此可見審條件的重要性.
2.審結(jié)構(gòu)
在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,會(huì)涉及到很多固定、特殊的式子結(jié)構(gòu),學(xué)生加強(qiáng)對(duì)于式子結(jié)構(gòu)的審題,更有利于找到解題的突破口.
例2在三角形ABC中,BO為邊AC中線,且BG=2GO,假設(shè)
CD∥AG,且AD=15AB+λAC,求λ的值.
分析首先由題目條件先求出
AG=13AB+13AC,
根據(jù)假設(shè)條件,將
CD設(shè)為kAG=k3AB+k3AC,又AD=AC+CD=k3AB+(k3+1)AC,與題目給出的AD公式結(jié)合,即可求出λ的值.
因?yàn)镚為三角形的中心,根據(jù)平面向量基本定理,即可得知
AG=13AB+13AC的結(jié)構(gòu),為習(xí)題接下來的解答帶來了突破口.3.審數(shù)據(jù)審
習(xí)題中給出的數(shù)據(jù),可以利用數(shù)據(jù)之間的特殊關(guān)系進(jìn)行拆分、化簡等,從而將習(xí)題中的大量數(shù)據(jù)問題清晰的進(jìn)行列舉.
例3已知cos(x-π6)=m,求cosx+cos(x-π3)的值.
分析首先將繁瑣數(shù)據(jù)進(jìn)行簡化,得出x=(
x-π6)+π6,
x-π3=(x-π6)-π6,此時(shí)原式cosx+cos
(x-π3)=cos
[(x-π6)+π6]+cos[(x-π6)-π6],本題考查兩角和差的知識(shí)點(diǎn),對(duì)此根據(jù)其余弦兩角和差公式進(jìn)一步整理,得出原式等于 2×
cos(x-π6)×cosπ6=m.
像函數(shù)等問題,自身數(shù)據(jù)作用也是非常大的,
例4給出函數(shù)f(x)=x2+a.
(1)若函數(shù)y=f\[f(x)\]的圖像經(jīng)過原點(diǎn),求出函數(shù)的解析式.
(2)假設(shè)a為1,且g(x)=f\[f(x)\]-cf(x),求出使g(x)在(-∞,-1)上是減函數(shù),在(-1,0)上是增函數(shù)的實(shí)數(shù)c”.
(1)解析根據(jù)給出的條件,可以推斷出f(0)=a;因?yàn)檫^原點(diǎn),所以f\[f(x)\]=0,即f(a)=0,求出a=0或-1.
(2)解析根據(jù)已知a=1,求出g(x)與g′(x)的值,分別為g(x)=x4 +(2-c)x2+(2-c),g′(x)=2x(2x2+2-c);根據(jù)g(x)在(-∞,-1)為減函數(shù),得出g′(x)<0;根據(jù)g(x)在(-1,0)為增函數(shù),得出g′(x)>0,最終推導(dǎo)出c=4.
四、審圖形
數(shù)形結(jié)合可以幫助學(xué)生更好的了解習(xí)題的幾何背景,根據(jù)圖形的性質(zhì)等,可以使得繁瑣的幾何知識(shí)更加的直觀,繼而幫助學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題.
例5如圖2,四面體A-BCD的棱長均為1,求二面角A-CD-B的余弦值.
圖2
解析作E為CD的中點(diǎn),并將其與A、B進(jìn)行連接,即有AE⊥CD、BE⊥CD;對(duì)此得出∠AEB是二面角A-CD-B的平面角;根據(jù)棱長為1得出AE=32、BE=32;根據(jù)AB=1,所以三角形ABE中,∠AEB的余弦值即為AE2+BE2-AB22AE×BE=13;因此求出答案為
13.
二、審題訓(xùn)練時(shí)需要注意的問題
1.學(xué)生審題思維的調(diào)整
基于思維的角度分析,學(xué)生只有掌握思維定向過程,才能主動(dòng)的進(jìn)行審題,對(duì)此教師就要從以下幾點(diǎn)進(jìn)行學(xué)生思維培養(yǎng),第一、學(xué)生目的性思維的培養(yǎng);要求學(xué)生加強(qiáng)審題的目的性,能夠明確習(xí)題中要求和證明方向,在掌握方向的基礎(chǔ)上進(jìn)行變形或是簡化.第二、開放性;要求學(xué)生能夠根據(jù)習(xí)題中的已知條件進(jìn)行相關(guān)知識(shí)的聯(lián)想,也就是學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng).第三、縝密性;這就要求學(xué)生在進(jìn)行思維聯(lián)想的同時(shí),要注重實(shí)際,也就是對(duì)于隱含條件的挖掘,而不是在做無思緒的無用功,繼而實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維縝密性的培養(yǎng).
2.讓學(xué)生掌握審題技巧
挑、放、收是審題訓(xùn)練的技巧.第一、要注重訓(xùn)練習(xí)題的挑,以及訓(xùn)練時(shí)間的挑,保證學(xué)生審題訓(xùn)練的更全、更精、更實(shí)用.第二、要注重學(xué)生解題思想的開擴(kuò)性,多通過一題多解、一題多變等教學(xué)方式,構(gòu)建學(xué)生全面的知識(shí)結(jié)構(gòu)體系.第三、讓學(xué)生訓(xùn)練后多進(jìn)行反思、綜合和回顧,確保學(xué)生審題更加全面、精準(zhǔn)和實(shí)際.
綜上所述,通過對(duì)于高中數(shù)學(xué)審題的分析,發(fā)現(xiàn)學(xué)生審題習(xí)慣、技巧的活學(xué)活用等綜合數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平,與教師的日常訓(xùn)練效果有著直接的關(guān)系;因?yàn)橐酝臄?shù)學(xué)教學(xué),教師并不重視學(xué)生審題能力的提升,繼而增加了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度,對(duì)此改善以往的教學(xué)方式是非常有必要的.
(收稿日期:2016-10-12)