陳小霞

一、三角形的形狀、周長和面積

例1（1）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線x2-y224=1的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是雙曲線上的一點(diǎn)，且3PF1=4PF2，則△PF1F2的面積=.

（2）已知△ABC的頂點(diǎn)B、C在橢圓x23+y2=1上，頂點(diǎn)A是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在BC邊上，則△ABC的周長是.

解（1）雙曲線的實(shí)軸長為2，焦距為F1F2=2×5=10.據(jù)題意和雙曲線的定義知，2=PF1-PF2=43PF2-PF2=13PF2，所以PF2=6，PF1=8.

所以PF21+PF22=F1F22，所以PF1⊥PF2，

所以S△PF1F2=12PF1·PF2=12×6×8=24.

（2）根據(jù)橢圓定義，△ABC的周長等于橢圓長軸長的2倍，即43.

題后反思借助定義，利用已知條件，明確三角形的三邊長，確定形狀，從而計(jì)算出面積.這一類問題往往都是通過定義和三角形中正弦或余弦定理解出三角形.

二、離心率問題

例2（1）F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)，過F1的直線l與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn).若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為.

圖1（2）如圖1，雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左右焦點(diǎn)分別為F1 、F2，過其右焦點(diǎn)F2的直線交雙曲線于A、B兩點(diǎn)，連AF1，BF1，△F1AB是以∠F1AB為直角的等腰三角形，求雙曲線的離心率.解（1）如圖2，由雙曲線定義得，BF1-BF2=AF2-AF1=2a，因?yàn)椤鰽BF2是正三角形，所以BF2=AF2=AB，因此AF1=2a，AF2=4a，且∠F1AF2=120°，在△F1AF2中，4c2=4a2+16a2+2×2a×4a×12=28a2，所以e=7.

答案：7

圖2（2）設(shè)AF1=m，AF2=x，ΔF1AB是等腰直角三角形，

∴BF2=m-x，BF1=2m.

在ΔAF1F2和ΔBF1F2中，由雙曲線的第一定義可得，AF1-AF2=2a，即m-x=2a，①

BF1-BF2=2a，即2m-m-x=2a②

由①②可得m=22a，x=22-1a

又在RtΔAF1F2中，4c2=F1F22=AF21+AF22=m2+x2=45-22a2，

即2c=25-22a

答案：e=5-22

題后反思處理本題的關(guān)鍵是如何將題中的圖形信息反映出來.充分注意兩焦點(diǎn)，聯(lián)系雙曲線的第一定義，結(jié)合解三角形的知識(shí)，將問題得到處理.

三、定值問題

例3橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）上一點(diǎn)P，兩個(gè)焦點(diǎn)F1（-c，0），F(xiàn)2（c，0）， ΔF1PF2的內(nèi)切圓記為⊙M，求證：點(diǎn)P到⊙M的切線長為定值.

證明設(shè)⊙M與△PF1F2的切點(diǎn)為A、B、C，因⊙M是△PF1F2的內(nèi)切圓，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|； ∵ |F1C|+|F2C|=2c，∴ |F1A|+|F2B|=2c，由橢圓第一定義知|PF1|+|PF2|=2a，∴|PA|+|F1A|+|PB|+|F2B|=2a， ∴2|PA|=2a-2c即|PA|=a-c為定值.證畢.

題后反思圓錐曲線定義不僅是推導(dǎo)圓錐曲線方程及性質(zhì)的基礎(chǔ)， 而且也是解題的重要工具.對(duì)于有些解析幾何問題，若從圓錐曲線的定義上去思考，往往會(huì)收到避繁就簡，捷足先登的解題效果.

四、位置關(guān)系問題

例4以橢圓上任意一點(diǎn)與焦點(diǎn)所連結(jié)的線段為直徑的圓與以長軸為直徑的圓的位置關(guān)系是.

解析設(shè)線段是PF1，O1是線段PF1的中點(diǎn)，連結(jié)O1O，PF2，其中O是橢圓的中心，F(xiàn)2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，則在△PF1F2中，由三角形中位線定理可知，兩圓的連心線的長是OO1=12PF2=12（2a-PF1）=a-12PF1=R-r.

答案：內(nèi)切

五、動(dòng)點(diǎn)軌跡問題

例5一動(dòng)圓與已知圓O1：（x+3）2+y2=1外切，與圓O2：（x-3）2+y2=81內(nèi)切，試求動(dòng)圓圓心的軌跡方程.

解兩定圓的圓心和半徑分別為O1（-3，0），r1=1，O2（3，0），r2=9，設(shè)動(dòng)圓圓心為M（x，y），半徑為R，則由題設(shè)條件可得|MO1|=1+R， |MO2| =9-R，所以|MO1|+|MO2|=10，由橢圓的定義知：M在以O(shè)1、O2為焦點(diǎn)的橢圓上，且a=5，c=3.

∴b2=a2-c2=25-9=16.故動(dòng)圓圓心的軌跡方程為x225+y216=1.

題后反思本題的關(guān)鍵是要借助于動(dòng)圓的半徑反映出兩圓的位置關(guān)系，再依托橢圓的定義得到動(dòng)圓圓心的軌跡是橢圓.

六、方程問題

例6如圖3，已知雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1、F2分別為左、右焦點(diǎn)，雙曲線的右支上有一點(diǎn)P，∠F1PF2=π3，且△PF1F2的面積為23，雙曲線的離心率為2，求該雙曲線的方程.圖3

解設(shè)雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1（a>0，b>0），F(xiàn)1（-c，0），F(xiàn)2（c，0），P（x0，y0）.在△PF1F2中，由余弦定理，得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cosπ3=（|PF1|-|PF2|）2+|PF1|·|PF2|，即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|，又因?yàn)镾△PF1F2=23，所以12|PF1|·|PF2|sinπ3=23，所以|PF1|·|PF2|=8，所以4c2=4a2+8即b2=2，又因?yàn)閑=ca=2，所以a2=23.故所求雙曲線方程為3x22-y22=1.

題后反思如果在△PF1F2中僅知一個(gè)角，我們經(jīng)常要聯(lián)想到余弦定理解決問題，表達(dá)式的變形過程中使用雙曲線的定義，根據(jù)條件建立基本量的方程，從而求出雙曲線的方程.

七、最值、范圍問題

例7已知點(diǎn)F是橢圓x225+y29 =1的右焦點(diǎn)，M是這橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（2，2）是一個(gè)定點(diǎn)，求|MA|+|MF|的最小值.

解設(shè)F′為橢圓的左焦點(diǎn)，則|MF|+|MF′|=2a=10.要使|MA|+|MF|最小，

由A（2，2）可知，點(diǎn)A在橢圓的內(nèi)部，故有|MA|+|MF|=|MA|+（2a-|MF′|）=2a-（|MF′|-|MA|）.

∵|MF′|-|MA|

≤|AF′|=（2+4）2+（2-0）2=210，

即|MF′|-|MA|的最大值為210，

∴|MA|+|MF|的最小值為2a-210=10-210

題后反思本題的關(guān)鍵是利用定義將不可求最值的表達(dá)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，類似于這種距離之和最?。ɑ騼删嚯x之差最大）的問題，常利用“兩點(diǎn)間以直線為最短”或三角形中“兩邊之和大于第三邊（兩邊之差小于第三邊）的極值等.

圓錐曲線的定義是圓錐曲線一章的根本，在學(xué)習(xí)過程中必須深刻理解其內(nèi)涵，不斷總結(jié)和積累應(yīng)用圓錐曲線的定義解題的經(jīng)驗(yàn)，以提高靈活應(yīng)用定義解題的能力.

（收稿日期：2016-10-24）