郭 慶, 戴習(xí)民

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230009)

區(qū)間值信息系統(tǒng)的多粒度粗糙集及其決策

郭 慶1,2, 戴習(xí)民1

(1.合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230009; 2.合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥 230009)

文章從多粒度視角研究了區(qū)間值信息系統(tǒng)(interval-valued information system，IvIS)，定義了多粒度容差關(guān)系,給出了樂觀和悲觀的2種模型,研究了其性質(zhì)及其與單粒度模型的聯(lián)系與區(qū)別;然后定義了區(qū)間值決策系統(tǒng)(interval-valued decision system，IvDS)的多粒度決策規(guī)則的置信度因子及決策規(guī)則提取方法,并且給出了決策規(guī)則支持定理及其證明;最后通過一個(gè)算例驗(yàn)證了所提理論方法的正確性與有效性。

多粒度;粗糙集;區(qū)間值信息系統(tǒng)(IvIS);決策規(guī)則;置信度因子

粗糙集理論經(jīng)過了30多年的研究與發(fā)展,已在理論和應(yīng)用中取得了長足的進(jìn)展,被廣泛應(yīng)用于數(shù)據(jù)挖掘、知識(shí)獲取等領(lǐng)域中[1-2]。但從粒計(jì)算角度來說,現(xiàn)有的模型都是建立在單粒度基礎(chǔ)上的,稱之為單粒度粗糙集。這種單個(gè)等價(jià)關(guān)系從某種程度上限制了對(duì)數(shù)據(jù)的處理。為此,文獻(xiàn)[3]在此基礎(chǔ)上將單粒度粗糙集模型拓展到多粒度情形。近幾年來多粒度粗糙集吸引了大量的研究學(xué)者,例如文獻(xiàn)[4]研究了悲觀多粒度粗糙集的決策問題；文獻(xiàn)[5]于模糊近似空間建立了模糊粗糙集的多粒度模型并加以應(yīng)用；文獻(xiàn)[6]建立了鄰域信息系統(tǒng)的1-型和2-型多粒度粗糙集模型。

在許多現(xiàn)實(shí)問題中,信息系統(tǒng)中的數(shù)據(jù)由于噪聲、獲取缺損的信息等因素,導(dǎo)致許多數(shù)據(jù)不再是確定的值,而屬于某一范圍即以區(qū)間值形式存在。例如政府信息公開中,各種指標(biāo)的評(píng)價(jià)值往往只是一個(gè)范圍,高校學(xué)生對(duì)教師教學(xué)水平各項(xiàng)指標(biāo)的評(píng)價(jià)值也是一個(gè)范圍等。這種形式的數(shù)據(jù)表稱為區(qū)間值信息系統(tǒng)(interval-valued information system，IvIS)[7]。近年來,IvIS的屬性約簡(jiǎn)理論得到了大量的研究與應(yīng)用,詳細(xì)內(nèi)容可參考文獻(xiàn)[8-10]。

但是現(xiàn)有的多粒度粗糙集模型涉及到IvIS的研究甚少。本文針對(duì)此問題引入多粒度容差關(guān)系,構(gòu)建IvIS的樂觀多粒度粗糙集模型和悲觀多粒度粗糙集模型,對(duì)它們的基本性質(zhì)和單粒度模型之間的區(qū)別及其聯(lián)系進(jìn)行討論,從多粒度視角給出了區(qū)間值決策系統(tǒng)的規(guī)則提取方法與規(guī)則的置信度因子。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 區(qū)間值信息系統(tǒng)(IvIS)

定義2[8]設(shè)T=(U,A)是一個(gè)IvIS,a∈A,λ∈[0,1]。定義T上關(guān)于a的λ-容差關(guān)系如下:

其中，|·|表示集合的基數(shù)。關(guān)于區(qū)間數(shù)的交與并運(yùn)算可參考文獻(xiàn)[7]。樣本x關(guān)于a的λ-容差類定義為：

1.2 多粒度粗糙集

在多粒度粗糙集中,一個(gè)目標(biāo)概念是用一族等價(jià)關(guān)系而非單個(gè)等價(jià)關(guān)系來近似的,根據(jù)近似的要求不同,通常分為樂觀多粒度粗糙集與悲觀多粒度粗糙集2種模型。

其中,[x]Ai={y:(x,y)∈RAi}是由所有與樣本x基于屬性集合Ai導(dǎo)出的等價(jià)類組成的集合。

定義4 設(shè)T=(U,A)表示一個(gè)信息系統(tǒng),Ai?A(i=1,2,…,m)表示m個(gè)屬性子集,對(duì)任意的X?U,關(guān)于Ai的悲觀多粒度下、上近似集分別定義為:

2 IvIS的多粒度粗糙集及其性質(zhì)

2.1IvIS的多粒度粗糙集模型

定義6 設(shè)T=(U,A)是一個(gè)IvIS,Ai?A(i=1,2,…,m)表示m個(gè)屬性子集,λ∈[0,1]。對(duì)任意的目標(biāo)集合X?U,上述容差關(guān)系下的樂觀多粒度下近似集、上近似集及邊界集定義為：

定義7 設(shè)T=(U,A)是一個(gè)IvIS,Ai?A(i=1,2,…,m)表示m個(gè)屬性子集,λ∈[0,1]。對(duì)任意的目標(biāo)集合X?U,上述容差關(guān)系下的悲觀多粒度下近似集、上近似集及邊界集定義為:

2.2 模型相關(guān)性質(zhì)

由定義6與定義7可得下列性質(zhì)。

性質(zhì)1 設(shè)T=(U,A)是一個(gè)IvIS,Ai?A(i=1,2,…,m)表示m個(gè)屬性子集,λ∈[0,1],X,Y?U,則

證明 此處只證明樂觀的情況,悲觀的情況類似。

性質(zhì)2 設(shè)T=(U,A)是一個(gè)IvIS,Ai?A(i=1,2,…,m)表示m個(gè)屬性子集,λ∈[0,1],X?U,則

證明 只證明每個(gè)性質(zhì)的前半部分,后半部分證明類似。

(2) 證明與(1)類似,從略。

性質(zhì)2揭示了目標(biāo)集合在單個(gè)粒度與多個(gè)粒度下的上下近似之間的等價(jià)關(guān)系。

3 決策規(guī)則

從決策表中導(dǎo)出決策規(guī)則是粗糙集理論最重要的應(yīng)用之一,區(qū)間值決策系統(tǒng)(interval-valued decision system，IvDS)中的決策規(guī)則可由下近似集中的對(duì)象所支持,所得到的決策規(guī)則是確定型規(guī)則;而可能型規(guī)則由邊界域中對(duì)象所支持。本節(jié)給出多粒度背景下IvDS決策規(guī)則的前件的邏輯連接詞是“或”而非“且”的決策規(guī)則。

其中,[x]d表示在決策屬性d下與x同一等級(jí)的對(duì)象。

(2) 證明與(1)的證明類似。

定理1表明在IvDS中的確定性“或”規(guī)則可由樂觀多粒度下近似集中的對(duì)象支持;可能性“或”規(guī)則可由悲觀多粒度邊界集中的對(duì)象支持。

4 算例分析

基于多個(gè)專家評(píng)估的決策系統(tǒng)見表1所列,其中xi表示學(xué)生；ai表示第i個(gè)專家基于本領(lǐng)域的知識(shí)給出的評(píng)價(jià)值?？紤]到評(píng)估的不確定性,

這里都用區(qū)間值來表示,設(shè)Ai={ai},d表示學(xué)生綜合分值,U/D={D1,D2,D3}={(x4),(x1,x3),(x2,x5,x6)}。

取容差水平λ=0.2,由定義2、定義6和定義7可計(jì)算出:

表1 專家評(píng)估決策系統(tǒng)

由定理1可得該決策系統(tǒng)的確定性“或”決策規(guī)則如下:

f(x,a1)∩[1.35,2.12]>0.2∨f(x,a2)∩[1.42,2.09]>0.2∨f(x,a3)∩[3.58,3.93]>0.2∨f(x,a4)∩[1.87,2.62]>0.2→d(x)=1,由樣本x4支持。

f(x,a1)∩[2.17,2.86]>0.2∨f(x,a2)∩[2.45,5.11]>0.2∨f(x,a3)∩[5.32,7.23]>0.2∨f(x,a4)∩[3.21,3.95]>0.2→d(x)=2,由樣本x1支持。

f(x,a1)∩[1.83,2.70]>0.2∨f(x,a2)∩[1.78,2.98]>0.2∨f(x,a3)∩[7.23,10.27]>0.2∨f(x,a4)∩[2.96,4.07]>0.2→d(x)=2,由樣本x3支持。

f(x,a1)∩[3.37,4.75]>0.2∨f(x,a2)∩[3.43,4.85]>0.2∨f(x,a3)∩[7.24,10.47]>0.2∨f(x,a4)∩[4.00,5.77]>0.2→d(x)=3,由樣本x2支持。

f(x,a1)∩[1.00,4.75]>0.2∨f(x,a2)∩[3.37,5.11]>0.2∨f(x,a3)∩[6.37,10.28]>0.2∨f(x,a4)∩[3.76,5.70]>0.2→d(x)=3,由樣本x5支持。

上述結(jié)果表明,多粒度模型能夠從決策系統(tǒng)中導(dǎo)出更為寬松的決策規(guī)則,從而使實(shí)際決策更合理。

5 結(jié) 論

本文研究了IvIS的多粒度粗糙集理論,定義了樂觀和悲觀2種模型,研究了其性質(zhì)以及與單粒度模型之間的關(guān)系,并且給出了多粒度IvDS決策規(guī)則的置信度因子及其決策規(guī)則的獲取方法,最后通過實(shí)例加以驗(yàn)證。作為粗糙集理論的一個(gè)較新的研究方向,多粒度粗糙集為決策問題提供了新的思路與方法,下一步研究工作的重點(diǎn)是在多準(zhǔn)則決策分析方面的應(yīng)用。

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(責(zé)任編輯 朱曉臨)

Multi-granulation rough set and decision in interval-valued information system

GUO Qing1,2, DAI Ximin1

(1.School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China; 2.School of Management, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

Interval-valued information system(IvIS) is investigated from the perspective of multi-granulation. The optimistic model and pessimistic model are proposed by multi-tolerance relation. Then their properties are researched and the differences and relationships compared with single-granulation model are discussed. Moreover, the certainty factor of the decision rule as well as acquisition method of interval-valued decision system(IvDS) is given. The decision rules support theorem is proposed and proved. Finally, a numerical example is given to demonstrate the correctness and effectiveness of the proposed method.

multi-granulation; rough set; interval-valued information system(IvIS); decision rule; certainty factor

2015-08-17；

2015-11-23

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71131002);中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)基金資助項(xiàng)目(2015HGZX0019);安徽省省級(jí)質(zhì)量工程專業(yè)綜合改革試點(diǎn)資助項(xiàng)目(2012zy007)和名師(大師)工作室資助項(xiàng)目(2015msgzs126)

郭 慶(1979-),男,安徽霍邱人,合肥工業(yè)大學(xué)講師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.02.027

O159

A

1003-5060(2017)02-0284-05