李 生, 焦賢發(fā)

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230009)

抑制性突觸輸入對神經(jīng)元發(fā)放率響應的影響

李 生, 焦賢發(fā)

(合肥工業(yè)大學 數(shù)學學院,安徽 合肥 230009)

文章基于整合發(fā)放神經(jīng)元模型,研究抑制性突觸輸入和外部周期刺激對神經(jīng)元發(fā)放率的影響。數(shù)值結果表明:在突出輸入等于閾值時,適當頻率的抑制性突觸輸入對神經(jīng)元發(fā)放率具有易化作用,對神經(jīng)元發(fā)放率峰值具有延遲作用;在突出輸入小于閾值時,抑制性突出輸入抑制神經(jīng)元膜電位發(fā)放;在外部刺激作用下,神經(jīng)元發(fā)放率幅值與外部刺激有關,刺激頻率越高,發(fā)放率幅值越小,刺激強度越大,發(fā)放率幅值越大。

突觸輸入;外部刺激;瞬時發(fā)放率;泊松過程;概率流

在神經(jīng)網(wǎng)絡中,神經(jīng)細胞之間通過“突觸”連結,實現(xiàn)神經(jīng)興奮信號的傳遞。對于大多數(shù)神經(jīng)元來說,突觸又是其神經(jīng)信號的輸入重要渠道,神經(jīng)元都通過突觸部位接受所有前級細胞傳遞關于自身興奮性和抑制性狀態(tài)的有關信息。關于突觸部位的研究,突觸輸入如何影響神經(jīng)元膜電位和發(fā)放率一直是研究的熱點課題。神經(jīng)元一般接受興奮性和抑制性突觸輸入,當膜電位達到閾值時,發(fā)放動作電位。通過分析神經(jīng)元發(fā)放率響應研究突觸輸入作用[1]。在興奮性突觸輸入弱或強2種狀態(tài)下,研究發(fā)現(xiàn)神經(jīng)元發(fā)放率和膜電位對突觸輸入電流都比較敏感[2]。為了研究突觸輸入對發(fā)放率的影響,很多學者提出了相關計算方法和理論。在整合發(fā)放模型中,對于高頻低振幅突觸輸入,經(jīng)常描述成泊松過程,并運用擴散近似法簡化神經(jīng)元模型[3-6]。文獻[7]運用的首達時間和膜電位概率密度函數(shù)的Fokker-Planck方程研究分析了發(fā)放率分布；當突觸時間常數(shù)較大,突觸時間很長的情況下,文獻[6]提出研究有突觸過濾作用的整合發(fā)放神經(jīng)元響應性反應的方法,并且估計不同突觸時間常數(shù)的神經(jīng)元發(fā)放率；文獻[8]數(shù)值模擬得到了所有興奮性突觸輸入與抑制性突觸輸入相關時間常數(shù)對應的神經(jīng)元發(fā)放率,分析了相關時間常數(shù)對發(fā)放率的影響。

在神經(jīng)系統(tǒng)中興奮性神經(jīng)元和抑制性神經(jīng)元相互作用,抑制性神經(jīng)元通過釋放抑制性化學遞質(zhì),影響突觸后神經(jīng)元膜電位的發(fā)放,雖然抑制性神經(jīng)元數(shù)目相比興奮性神經(jīng)元只是少數(shù),但它們對神經(jīng)元發(fā)放率動態(tài)演化是極其重要的。突觸抑制性可以影響大腦皮層神經(jīng)元認知功能, 文獻[9]研究了大腦皮層抑制性神經(jīng)元的特殊作用，有助于理解抑制性神經(jīng)元對精神病或者認知混亂的作用。整合發(fā)放神經(jīng)元模型(IF模型)是H-H模型簡化形式,該類模型能夠比較精確地反映單個神經(jīng)元電學特征和外部輸入的響應[10];文獻[11]基于該模型研究發(fā)現(xiàn)抑制性突觸輸入影響神經(jīng)元發(fā)放的閾值,從而影響輸入輸出曲線,抑制性突觸輸入通過減少突觸輸入均值及增加突觸輸入標準方差,增加峰峰間距的可變性。學者們僅研究了突觸抑制性對神經(jīng)元發(fā)放峰峰間距可變性影響,沒有具體研究突觸抑制性對神經(jīng)元發(fā)放率動態(tài)演化的影響。然而,在現(xiàn)實世界中,外部干擾是普遍存在的,許多學者在研究突觸輸入對神經(jīng)元響應性反應影響時,考慮外部周期刺激作用, 文獻[12]運用首達時過程統(tǒng)計和發(fā)放率功率譜密度2種統(tǒng)計方法,分析了突觸噪聲和外部周期刺激之間的相互作用對隨機振蕩現(xiàn)象的影響。本文在IF模型的基礎上,進一步研究外部周期刺激和抑制性突觸輸入作用下,整合發(fā)放神經(jīng)元發(fā)放率的動態(tài)演化。

1 數(shù)學模型

在神經(jīng)系統(tǒng)里,神經(jīng)元接受突觸輸入既有興奮性也有抑制性,同時會受到外部刺激作用,本文考慮神經(jīng)元集群中某個神經(jīng)元膜電位V(t)動態(tài)演化方程,即

(1)

其中,V(t)為神經(jīng)元的膜電位;τ為膜時間常數(shù);Je、Ji分別為興奮性和抑制性突觸后膜電位的振幅;A為外部周期刺激強度;w為外部周期刺激頻率;tk(k=1,2,…)、tj(j=1,2,…)分別為第k個興奮性突觸脈沖輸入時間和第j個抑制性突觸脈沖輸入時間;δ(t-tk)、δ(t-tj)分別為2個相互獨立的脈沖序列。設ve、vi分別表示興奮性突觸輸入頻率和抑制性突觸輸入頻率。

在單個神經(jīng)元突觸部位接受高頻的突觸輸入情況下,(1)式中脈沖時間序列擴散近似表示為:

(2)

(3)

把(2)式代入(1)式中,得到神經(jīng)元膜電位的簡化方程為:

(4)

其中,η(t)為高斯白噪聲隨機過程,〈η(t)η(t′)〉=δ(t-t′);μ為突觸輸入之和;σ為噪聲強度;τ為膜時間常數(shù)。

相應于方程(4)的Fokker-Planck方程為:

(5)

方程(5)也可以寫成：

(6)

其中,J(V,t)為概率流,概率流J(V,t)的本構方程為:

(7)

當膜電位達到閾值時,對應的概率流量是神經(jīng)元瞬時發(fā)放率,即

(8)

為了得到方程(8)的數(shù)值解,考慮吸收邊界條件:

(9)

由(7)～(9)式得出神經(jīng)元瞬時發(fā)放率為:

(10)

由(10)式得到神經(jīng)元瞬時發(fā)放率為:

(11)

2 數(shù)值模擬

由于當μτ>Vth時,在沒有噪聲項ση(t)和外部周期刺激Acos(wt)的影響下,突觸輸入足以使神經(jīng)元膜電位到達閾值,發(fā)放動作電位[11,13]。本文主要研究在μτ≈Vth和μτ

2.1μτ≈Vth情況下的數(shù)值模擬分析

(1) 當參數(shù)τ=10,V0=3,Vth=18,Je=0.000 9,Ji=0.000 015時,突觸抑制性輸入對神經(jīng)元發(fā)放率的影響如圖1所示。

圖1 突觸抑制性輸入對神經(jīng)元發(fā)放率的影響

從圖1可以看出,當無抑制性突觸輸入情況下(Ji=0),神經(jīng)元發(fā)放率迅速增大到峰值后再逐漸衰減。當接受抑制性突觸輸入時,神經(jīng)元發(fā)放率峰值有明顯延遲。這表明突觸抑制性對神經(jīng)元發(fā)放率峰值具有延遲作用。

其他參數(shù)不變,當無外部刺激作用時,在不同抑制性突觸輸入頻率下,神經(jīng)元發(fā)放率隨時間演化過程如圖2所示。

圖2 不同抑制性突觸輸入頻率 對神經(jīng)元發(fā)放率的影響(μτ≈Vth)

從圖2可以看出,當抑制性突觸輸入頻率越大,神經(jīng)發(fā)放率峰值延遲時間就越長。當抑制性突觸輸入頻率增大,達到穩(wěn)定狀態(tài)的神經(jīng)元發(fā)放率增大。這說明在突出輸入近似等于閾值情況下,適當?shù)囊种菩酝挥|輸入頻率對神經(jīng)元發(fā)放率具有易化作用。

(2) 當參數(shù)τ=10,Je=0.000 9,V0=3,Vth=18，Ji=0.000 015,ve=2 000,vi=100時,對應于不同外部刺激強度的神經(jīng)元發(fā)放率隨時間的變化如圖3所示。

圖3 不同強度刺激對神經(jīng)元發(fā)放率的影響(μτ≈Vth)

從圖3可以看出,外部刺激改變了神經(jīng)元發(fā)放幅值,隨著外部刺激強度增大,神經(jīng)元發(fā)放率幅值增大。這表明外部刺激加強了神經(jīng)元發(fā)放活動。神經(jīng)元發(fā)放率迅速達到峰值,隨著時間增加,神經(jīng)元發(fā)放率出現(xiàn)振蕩衰減模式,神經(jīng)元發(fā)放率逐漸達到平穩(wěn)振蕩。表明隨著時間增加,外部刺激作用明顯增強。

其他參數(shù)不變,在不同外部刺激頻率下,神經(jīng)元發(fā)放率隨時間演化的過程如圖4所示。

圖4 不同頻率刺激對神經(jīng)元發(fā)放率的影響(μτ≈Vth)

從圖4可以看出,刺激頻率改變了神經(jīng)元發(fā)放率幅值,增大外部刺激頻率,神經(jīng)元發(fā)放率幅值會變小。然而,在高頻外部刺激下,神經(jīng)元發(fā)放率幅值極小,這表明外部刺激頻率是影響神經(jīng)元發(fā)放率幅值的重要因素之一。

2.2μτ

(1) 當參數(shù)τ=10,Je=0.05,Ji=0.36,V0=7,Vth=20時,無外部刺激作用時,對應于不同抑制性突觸輸入頻率的神經(jīng)元發(fā)放率隨時間的演化過程如圖5所示。

圖5 不同抑制性突觸輸入頻率 對神經(jīng)元發(fā)放率的影響(μτ

從圖5可以看出,神經(jīng)元發(fā)放率先迅速達到峰值,然后不斷衰減。當抑制性突觸輸入頻率變大,神經(jīng)元發(fā)放率的峰值變小。這表明當突觸輸入低于閾值時,在抑制性突觸輸入的作用下,興奮性神經(jīng)元膜電位發(fā)放受到抑制。

(2) 當參數(shù)τ=10,ve=8 500,vi=1 200,Je=0.05,Ji=0.36,V0=7,Vth=20時,在不同的外部刺激強度下神經(jīng)元發(fā)放率隨時間的變化如圖6所示。

圖6 不同強度刺激下對神經(jīng)元發(fā)放率的影響(μτ

從圖6可以看出,神經(jīng)元發(fā)放率幅值與外部刺激強度有關,外部刺激強度增大,神經(jīng)元發(fā)放率的幅值隨之增大。

其他參數(shù)不變，不同頻率刺激對神經(jīng)元發(fā)放率的影響如圖7所示。

圖7 不同頻率刺激對神經(jīng)元發(fā)放率的影響(μτ

從圖7可以看出，在外部刺激作用下,神經(jīng)元發(fā)放率發(fā)生明顯的改變,神經(jīng)元發(fā)放率迅速達到峰值,隨著時間增加,神經(jīng)元發(fā)放率幅值越來越小。這表明隨著時間增加,外部刺激作用不斷減弱。神經(jīng)元發(fā)放率幅值與外部刺激頻率相關,外部刺激頻率越大,神經(jīng)元發(fā)放率幅值越小。

3 結 論

外部刺激對神經(jīng)元發(fā)放率幅值的影響依賴于刺激頻率、刺激強度。增大外部刺激頻率,會減小神經(jīng)元發(fā)放率振蕩幅值,增大外部刺激強度,會增大神經(jīng)元發(fā)放率振蕩幅值。抑制性突觸輸入對神經(jīng)元發(fā)放率有影響,在突觸輸入等于閾值的情況下,適當頻率的抑制性突觸輸入對神經(jīng)元發(fā)放率有易化作用,對神經(jīng)元發(fā)放率峰值有延遲作用;在突觸輸入低于閾值情況下,抑制性突觸輸入抑制神經(jīng)元膜電位的發(fā)放。

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(責任編輯 張 镅)

Impact of synaptic inhibition on firing-rate response of neurons

LI Sheng, JIAO Xianfa

(School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

In this paper, the integrate-and-fire model is applied to studying the effect of synaptic inhibition and periodic external stimulus on neuron firing-rate. The numerical results show that when synaptic input is equal to the threshold, the appropriate frequency of synaptic inhibition has facilitation effect on neuron firing-rate and causes a delay to the peak of firing-rate. When synaptic input is less than the threshold, synaptic inhibition restrains neuron membrane potential. Under the effect of external stimulus, the amplitude of firing-rate is related to external stimulus. When the stimulus frequency becomes higher, the amplitude of firing-rate will become lower, when the stimulus amplitude becomes higher, the amplitude of firing-rate will become higher.Key words:synaptic input; external stimulus; instantaneous spiking rate; Poisson process; probability flux

2015-10-26；

2016-01-13

國家自然科學基金資助項目(11172086;11232005)

李 生(1989-),男,安徽阜陽人,合肥工業(yè)大學碩士生; 焦賢發(fā)(1965-),男,安徽安慶人,博士, 合肥工業(yè)大學教授,碩士生導師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2017.02.025

O29

A

1003-5060(2017)02-0272-05