滕保麗

(豐縣民族中學,江蘇 徐州 221700)

用波函數(shù)和Excel分析2016年高考物理試題“振動與波”問題幾例

滕保麗

(豐縣民族中學,江蘇 徐州 221700)

關(guān)于“振動與波”的高考題,一般是選擇題,對于選擇題,高考試卷的答案只有結(jié)果沒有過程,而參考書或網(wǎng)上的“解析”,又往往或語焉不詳,或不甚準確．因為關(guān)于“振動與波”的高考題,要講清楚,往往要畫圖像,而徒手畫圖,又欠缺準確性,學生有時懷疑:是這樣的嗎?要畫準確的圖像,可以用Excel作圖．要用Excel作圖,就要先寫出波函數(shù)．本文就是舉例說明用波函數(shù)和Excel研究2016年高考物理試題“振動與波”問題．

1 波函數(shù)的定義

為了定量地描述介質(zhì)中波動的情況,必需求得介質(zhì)中各質(zhì)元的位移與該質(zhì)元所處的平衡位置及時間的定量關(guān)系,這種定量關(guān)系就是波的表達式,也叫做波函數(shù)(wave function)．

2 簡諧波函數(shù)的推導

設(shè)有一波前為平面的簡諧波,在均勻介質(zhì)中沿x軸正方向傳播,波速為v．由于這是一種平面波,所以在與x軸垂直的平面上,各點的振動情況是一樣的．所以只要討論x軸上各點的振動,就可以知道空間中各點的情況．

以O(shè)點為波源,設(shè)該處質(zhì)元做簡諧振動,其位移y與時間t的關(guān)系為

y=Acosωt.

式中A為振幅,ω為角頻率．考察波線Ox上的任一點P,它離O點的距離為x,當波源O的振動傳到P點時,P點的質(zhì)元將重復O點的質(zhì)元的振動,角頻率也相同,但振動的相位要落后于O點．因為O點的振動傳到P點需要時間xv,所以P處質(zhì)元在時刻t的振動相位和O點質(zhì)元在時刻t′=t-xv的振動相位一樣,即其相位為

ωt′=ωt-xv.

由于平面簡諧波傳播時各質(zhì)元的振幅相等,則P處質(zhì)元在時刻t的位移為

y=Acosωt-xv.

這就是平面簡諧波的波函數(shù)．因為ω=2πT,v=λT,所以波函數(shù)也可以寫為

y=Acos2πtT-xλ.

當x取某一確定值時,波函數(shù)便是某質(zhì)點的振動方程.例如x=0,y=Acosωt便是振源O的振動方程．據(jù)此可以畫出該質(zhì)點的振動圖像．

當t取某一確定值時,波函數(shù)便是某時刻的波動方程.例如t=T,y=Acos2πλx便是時刻t=T的波動函數(shù)方程．據(jù)此可以畫出該時刻的波的圖像．

波函數(shù)也可以用正弦函數(shù),與余弦函數(shù)沒有本質(zhì)的區(qū)別．

例1.[2016年高考全國3卷第34(1)題]由波源S形成的簡諧橫波在均勻介質(zhì)中向左、右傳播．波源振動的頻率為20Hz,波速為16m/s．已知介質(zhì)中P、Q兩質(zhì)點位于波源S的兩側(cè),且P、Q和S的平衡位置在一條直線上,P、Q的平衡位置到S的平衡位置之間的距離分別為15.8m、14.6m,P、Q開始振動后,下列判斷正確的是________．

(A)P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相同.

(B)P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相反.

(C) 當S恰好通過平衡位置時,P、Q兩點也正好通過平衡位置.

(D) 當S恰好通過平衡位置向上運動時,P在波峰.

(E) 當S恰好通過平衡位置向下運動時,Q在波峰.

原題解析：根據(jù)題意信息T=1f=0.05s,v=16m/s,根據(jù)v=λT=λf,得波長為λ=vT=0.8m,找P點關(guān)于S點的對稱點P′,根據(jù)對稱性可知P′和P的振動情況完全相同,P′、Q兩點相距Δx=32λ,為半波長的整數(shù)倍,所以兩點為反相點,故P′、Q兩點振動方向始終相反,則P、Q兩點振動方向始終相反,選項(A)錯誤，(B)正確;P點距離S點xp=1934λ,當S恰好通過平衡位置向上振動時,P點在波峰,Q點相距S點xQ=1814λ,當S恰好通過平衡位置向下振動時,Q點在波峰,選項(D)、(E)正確．

易錯點：P、Q的平衡位置之間的距離為15.8 m+14.6 m=20.4m,為20.40.8=2512個波長,所以P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相反,則選項(B)正確,選項(A)錯誤．錯誤原因是P、Q在波源的兩側(cè)而不是同側(cè)．

用波函數(shù)和圖像分析.

當S恰好通過平衡位置向上運動時,波函數(shù)為

y=sin[2π×(x+1.6)/0.8] (-1.6≤x<0)，

y=-sin(2π×x/0.8) (0≤x≤1.6).

波的圖像如圖1.

圖1

從圖像可以看出,P設(shè)x=1.4,134λ位置與xp=1934λ相同 在波峰．

當S恰好通過平衡位置向下運動時,波函數(shù)為

y=-sin[2π×(x+1.6)/0.8](-1.6≤x<0),

y=sin(2π×x/0.8) (0≤x≤1.6).

波的圖像如圖2.

圖2

從圖像可以看出,Q設(shè)x=-1,因為114λ位置與xQ=1814λ同相 在波峰．

從以上兩個圖像都可以看出,P、Q兩質(zhì)點運動的方向始終相反而不是相同,選項(A)錯誤,(B)正確，并且當S恰好通過平衡位置時,P、Q兩點都不通過平衡位置,選項(C)錯誤．故正確選項為(B)、(D)、(E).

例2.(上海物理卷第20題)甲、乙兩列橫波在同一介質(zhì)中分別從波源M、N兩點沿x軸相向傳播,波速為2m/s,振幅相同;某時刻的圖像如圖3所示．則

圖3

(A) 甲、乙兩波的起振方向相反.

(B) 甲、乙兩波的頻率之比為3∶2.

(C) 再經(jīng)過3s,平衡位置在x=7m處的質(zhì)點振動方向向下.

(D) 再經(jīng)過3s,兩波源間(不含波源)有5個質(zhì)點位移為0.

原題解析： 據(jù)題意,甲波向右傳播,乙波向左傳播,甲波起振方向都向下，乙波起振方向都向上,選項(A)正確;從圖可以看出,λ甲=4m,λ乙=6m;根據(jù)v=λf得f甲=0.5Hz,f乙=13Hz,所以甲、乙兩波的頻率之比為3∶2,選項(B)正確;再經(jīng)過3s,甲波波谷到達x=7m處,乙波是平衡位置與波峰之間某振動到達x=7m處,所以,該質(zhì)點應(yīng)該向上振動,選項(C)錯誤;此時,除了波源還有x=9m,x=6-7m,x=6m,x=5-6m,x=2-3m處質(zhì)點位移為0,選項(D)正確．正確選項為(A)、(B)、(D).

用波函數(shù)和圖像分析.

再經(jīng)過3s時的波函數(shù)(M-N之間即0-12之間)為:

y甲=sin(2π×x/4).(0≤x≤8)

y乙=sin(2π×x/6).(0≤x≤12)

y=y甲+y乙.(0≤x≤12)

再經(jīng)過3s時的波形圖像(M-N之間即0-12之間)如圖4所示.

圖4

從圖像可以看出,再經(jīng)過3s,平衡位置在x=7m處的質(zhì)點在平衡位置以下．

從以上圖像還可以看出,再經(jīng)過3s,兩波源間(不含波源)有5個質(zhì)點位移為0(y與x軸的交點),分別為x=9m,x=7-7.5m,x=6m,x=4.5-5m,x=2-2.5m處,(有2處與“解析”不同),所以選項(D)正確．

為了進一步理解x=7處質(zhì)點的運動趨勢,筆者作出再過0.5s后的波形圖像,先寫出波函數(shù)．

因為Δx=vΔt=2×0.5m=1m,所以甲波向右傳播1m,乙波向左傳播1m,因此

y甲=sin[2π×(x-1)/4].(0≤x≤9)

y乙=sin[2π×(x+1)/6],(0≤x≤12)

再過0.5s后的波形圖像如圖5所示.

圖5

兩個圖像對比可以得到,在t=3s時,平衡位置為x=7的質(zhì)點是向上運動的．這里需要指出的是,在兩個波合成的波中,不能像一個波那樣,按照“上坡下行,下坡上行”的土辦法判斷質(zhì)點的運動方向了．正確選項為(A)、(B)、(D).

圖6

例3.(天津理綜物理第12題)在均勻介質(zhì)中坐標原點O處有一波源做簡諧運動,其表達式為y=5sinπ2t,它在介質(zhì)中形成的簡諧橫波沿x軸正方向傳播,某時刻波剛好傳播到x=12m處,波形圖像如圖6所示,則

(A) 此后再經(jīng)過6s該波傳播到x=24m處.

(B)M點在此后第3s末的振動方向沿y軸正方向.

(C) 波源開始振動時的運動方向沿y軸負方向.

(D) 此后M點第一次到達y=-3m處所需時間是2s.

原題解析： 波的周期T=2πω=2ππ2s=4s,波長λ=8m,波速v=λT=2m/s,則再經(jīng)過6s,波傳播的距離為x=vt=12m,故該波傳到x=24m處,選項(A)正確;M點在此時振動方向向下,則第3s末,即經(jīng)過了0.75T,該點的振動方向沿y軸正向,選項(B)正確;因波傳到x=12m處時,(波前)質(zhì)點向y軸正向振動,故波源開始振動時的運動方向沿y軸正向,選項(C)錯;M點第一次到達y=-3cm位置時,振動的時間為T4=1s,選項(D)錯誤，故正確選項為(A)、(B).

用波函數(shù)和圖像分析.

某時刻(t=0)的波函數(shù)為

y0=5×sin(π×x/4),(0≤x≤12)

t=3s時刻的波函數(shù)為

y3=5×sin[(π×2×(x/8-3/4)].(0≤x≤24)

t=0(實線)和t=3s(虛線)的波形圖如圖7所示.

圖7

從圖像可以看出,M點在此后第3s末的位置約在y=4m處,其振動方向沿y軸正方向(下坡上行).

M點的振動方程為

y=5sin2πT(t+t0)=5sinπ2(t+t0).

因為當t=0時,y0=3,所以sinπ2t0=35,π2t0=37°或143°,即0.65π或0.79π,則t0=1.3s或1.58s.

所以振動方程為

y=5×sin[2π×(t+1.3)/4]或

y=5×sin[2π×(t+1.6)/4].

M點的振動圖像分別如圖8、9所示.

圖8

從圖8可以看出,此后M點第一次到達y=-3m處所需時間約是2s,但是此圖像表明,在t=0s時刻,M點是向上運動的,而原題,M點是向下運動的(見題目圖6波形圖)，所以此種情況不符合題意．

圖9

從圖9可以看出,t=0時，M點是向下運動的,此后M點第1次到達y=-3m處所需時間約是0.8s,而不是2s.

如果M點從y=3(t=0)開始不是向y軸負方向運動,而是向y軸正方向運動，則結(jié)果是2s到達y=-3 m．看來,所謂錯誤選項不是隨意設(shè)置的,是根據(jù)考生的易錯點設(shè)置的．正確選項為(A)、(B).

2016-08-18)