王雪娜, 雍 燕

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

可壓縮流體Navier-Slip邊界條件問題解的存在性研究

王雪娜, 雍 燕

(上海理工大學 理學院,上海 200093)

證明了在有界區(qū)域Ω?3中帶Navier-Slip邊界條件的可壓縮Navier-Stokes方程的解的局部存在性.在證明過程中,首先利用線性化方法將方程轉化為線性方程,再利用Galerkin逼近方法得到線性方程組的弱解,通過能量估計方法,得到關于逼近解的一致先驗估計,取極限得到方程的解的局部存在性.

可壓縮Navier-Stokes方程; Navier-Slip邊界條件; 解的存在性

1 問題的提出

研究可壓縮Navier-Stokes方程在t>0上的初邊值問題的解的存在性已經(jīng)有了很長的歷史,并且劃分了三類解,現(xiàn)將逐一介紹這三類解.

第一類解是光滑小解,最早由Matsumura等[1]提出,這種解的初始值和解在H3(Ω)中都近似等于一個常數(shù).后來,Danchin[2-3]將這個解推廣到齊次Besov空間.具體做法是將方程組線性化,然后對線性方程組進行迭代,得到一組逼近解,證明逼近解的漸近衰減速率,最后將逼近解取極限得到原方程組解的存在性.這類光滑小解是連續(xù)可微的,缺點是不能體現(xiàn)出Navier-Stokes方程組自身的奇性.

第二類解是一般的“大能量”弱解,該解由文獻[4-5]引入,并由Feireisl推廣.這類解的好處是對任意大的初始能量和非負密度都容易證明解的存在性.但是,這一類解的集合比較大,通常還包含了非物理解.由于這類解的光滑性不夠,因此,對解的性質分析起來比較困難.

第三類解是Hoff解.對于Hoff解而言,優(yōu)點是它保持了解的非線性性和物理上關心的一些有意義的特性.另一方面,這類解當初值具有足夠的正則性時,解一般也具有較好的正則性,一般可以根據(jù)相關定理來證明解的唯一性和連續(xù)性.關于全空間的Cauchy問題,Hoff解的研究已經(jīng)非常完備了.但是,對于有界區(qū)域,由于多了邊界,處理起來要相對困難一些.對有界區(qū)域,邊界條件有很多種提法,如Direchlet邊界、No-Slip邊界和Navier-Slip邊界等.

前人關于Navier-Stokes方程組Direchlet邊值問題解的存在性的研究結果比較豐富.例如,對于Direchlet邊界條件,文獻[6]給出了等熵Navier-Stokes方程

(1)

的解的局部存在性.

但是,關于Slip邊值問題的解的局部存在性研究起來更加困難.最近文獻[7]證明了等熵的Navier-Stokes方程組帶有Slip邊值問題的解的局部存在性.而本文研究了非等熵的Navier-Stokes方程組帶有Slip邊值問題的解的局部存在性.因為，非等熵Navier-Stokes方程組比等熵的Navier-Stokes方程組多了一個能量方程,在研究時除了要估計密度和速度,還要估計溫度,而溫度和速度是耦合在一起的,方程組更加復雜,因此,研究起來更加困難.

本文研究了帶有Navier-Slip邊界條件的非等熵Navier-Stokes方程

(2)

初始值條件為

(3)

Navier-Slip邊界條件為

(4)

式中,n(x)為?Ω上的單位外法向量;(·)τ為(·)的切向分量;α為正常數(shù);B為對稱矩陣,并且區(qū)域Ω和矩陣B滿足下列條件：

a.Ω是三維空間中的有界開集,且?Ω∈C3;

b. B在(ρ,u,θ)的鄰域內(nèi)是C1光滑的.

在本文中,如果不加特別說明,用字母C表示常數(shù).為了方便后面的敘述,構造一個函數(shù)空間W.

其中,W是具有H1內(nèi)積的Hilbert空間,參見文獻[7].

現(xiàn)給出解的定義.

a. ρ∈C([0,T]; W1,q(Ω)),(u,θ)∈C([0,T];

H2(Ω))∩L2([0,T];W2,q(Ω))

ρt∈C([0,T]; Lq(Ω)),(ut,θt)∈C([0,T];

L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω))

其中,φ,ψ,φ在Ω×[0,T]上是Lipschitz連續(xù)的.則對于任意t,φ,ψ∈W,有(ρ,u,θ)是式(2)～(4)的解.

現(xiàn)介紹本文的主要結果(定理1).

定理1 令q∈(3,6],且q是常數(shù),如果初始值(ρ0,u0,θ0)以及h,f滿足下列條件:

和相容性條件:

則存在時間T*>0和唯一解(ρ,u,θ)滿足帶有條件式(3)和式(4)的初邊值問題,使得

u,θ滿足邊界條件(4).

2 幾個重要引理[8]

對于u∈H1(Ω),有

(6)

引理2 對于p∈[2,6],u∈H1(Ω),存在一個常數(shù)C=C(Ω),使得

(7)

引理3 對于u∈H1(Ω),存在常數(shù)C=C(Ω),使得

(8)

3 Lame算子和它的譜理論[9]

討論Lame算子L和特征函數(shù)的正則性.設式(2)和式(4)成立,

(9)

式中:β為常數(shù);g為已知函數(shù).

問題等價為：存在u∈W,使得對所有w∈W,有

S(w)+λdivudivw+βuw]dx

由Lax-Milgram定理,存在有界解算子Sβ∶L2(Ω)→W,使得對所有w∈W,滿足

(10)

引理4 設Ω?3是有界開集,?Ω∈C3(Ω),μ>0,2μ+3λ>0,B∈L(?Ω),且B是對稱矩陣,則對足夠大的β,存在緊自伴算子Sβ∶L2(Ω)→L2(Ω),Sβ∈W,使得式(10)成立.對所有g∈L2(Ω)和w∈W,存在一組標準正交基{wk}k∈L2(Ω),且L2(Ω)?W∩C(Ω),使得Sβwk=λk-1wk,λk→.

引理5 設μ>0,2μ+3λ≥0,m≥0,Ω是有界開集,?Ω∈Cm+1(Ω),B∈Cm+1(Ω),其中,Cm=C(μ,λ,Ω,B,m)依賴于μ,λ,Ω,B,m.若u是式(9)的解,β,g∈Hm(Ω),則u∈Hm+2(Ω),且

(11)

(12)

對所有φ∈H1(Ω),γ足夠大且與κ,α,Ω有關.

(13)

4 先驗估計

現(xiàn)推導式(2)的解的先驗估計,在本文中假設存在常數(shù)c0,使得

(14)

然后作如下先驗假設：存在c1和T*,使得

(15)

其中,1≤c0≤c1,0

本文中如果不加說明,C是依賴于μ,λ,κ,α,B,Ω以及f和h的范數(shù)的正常數(shù).

4.1 密度的估計

關于密度ρ的存在唯一性,Diperna等[10]得到式(16).

(17)

的解.

由式(16)可知,

首先在方程(2)的第2個等式兩邊同乘以ρq-1,并在Ω上積分,有

(18)

聯(lián)合式(18)和式(19),利用Gronwall不等式,有

(21)

4.2 熱能估計

用θ乘以方程(2)的第3個等式,在Ω上積分,有

由引理1可知,

用θt乘以方程(2)的第3個等式,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

對方程(2)的第3個等式關于t求偏導,乘以θt,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

由上面2個式子,并且利用Gronwall不等式,有

4.3 速度估計

用u來乘以方程(2)的第2個等式,在Ω上積分,有

用ut乘以方程(2)的第2個等式,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

對方程(2)的第2個等式關于t求導,乘以ut,在Ω上積分,有

根據(jù)引理1,可得

由式(54)和式(55)可知,對0≤t≤min (T*,T5),利用Gronwall不等式,有

由Cauchy不等式可得

同時,有

由前面的推異過程可得先驗估計.

5 線性化方程組的解的存在性

考慮方程(2)的線性化方程組

(56)

現(xiàn)證明該線性化方程組在Navier-Slip邊界條件下解的局部存在性.

引理8 令q∈(3,6],設v∈L([0,T];H2(Ω))∩L2([0,T];W2,q(Ω)),Ω是R3中的有界區(qū)域,vt∈L([0,T];L2(Ω))∩L2([0,T];H1(Ω)),(ρ0,u0,θ0),f,h是已知函數(shù),且滿足正則條件:

邊界條件為

則帶有條件式(3)和式(4)的初邊值問題(56)存在唯一解(ρ,u,θ),使得

其中,(u,θ)滿足邊界條件式(4).

證明 可由文獻[8]中的定理4得到方程(56)的第1個等式的唯一解的存在性和正則性,現(xiàn)在用v代u,類似于式(20),可得到唯一解ρ，并且

線性動量方程和能量方程可以寫成如下形式：

現(xiàn)用Galerkin方法得到式(57)中(θ,u)的存在性.令

則對θ,φ∈H1(Ω),u,ψ∈W,式(57)和式(58)的弱形式為

取um(·,0)∈Wm,θm(·,0)∈Vm,則有引理9.

其中,M1與B,L和Ω有關.

類似于引理9的證明,可以證明引理10.

(62)

其中,常數(shù)M2與κ,α和Ω有關.

(63)

其中,(,)是L2(Ω)的內(nèi)積,將θm(t)和um(t)代入式(59),則式(63)轉為如下線性常微分方程組：

(64)

現(xiàn)通過迭代方法構造初邊值問題(2)～(4)的近似解.

a. 定義u0=0;

b. 設uk-1,k≥1,則(ρk,uk,θk)是下面的初邊值問題：

的解,且滿足初始條件和邊界條件：

6 定理1的證明

由引理8可知強解(ρk,uk,θk)的整體解的存在性.

由前面估計可知,

其中,C是僅依賴于α,μ,κ,B,Ω和f,h的范數(shù)的正常數(shù).由Aubin-Lions引理可得

因此,可得

類似于文獻[8]中的連續(xù)性討論,可證u∈C([0,T*];H1(Ω))∩C([0,T*];H2(Ω)),并由標準嵌入定理可得,ρ∈C([0,T*];W1,q(Ω)).定理1證畢.

[1]MATSUMURAA,NISHIDAT.Initialboundaryvalueproblemsfortheequationsofmotionofcompressibleviscousandheat-conductivefluids[J].CommunicationsinMathematicalPhysics,1983,89(4):445-446.

[2]DANCHINR.GlobalexistenceincriticalspacesforcompressibleNavier-Stokesequations[J].InventionesMathematicae,2000,141(3):579-614.

[3]DANCHINR.Globalexistenceincriticalspacesforflowsofcompressibleviscousandheat-conductivegases[J].ArchiveforRationalMechanicsandAnalysis,2001,160(1):1-39.

[4]HOFFD.Existenceofsolutionstoamodelforsparse,one-dimensionalfluids[J].JournalofDifferentialEquations,2011,250(132):1083-1113.

[5]HOFFD,SERRED.ThefailureofcontinuousdependenceoninitialdatafortheNavier-Stokesequationsofcompressibleflow[J].SIAMJournalonAppliedMathematics,1991,51(4):887-898.

[6]HOFFD.LocalsolutionsofacompressibleflowproblemwithNavierboundaryconditionsingeneralthree-dimensionaldomains[J].SIAMJournalonMathematicalAnalysis,2012,44(2):633-650.

[7]CHOYG,CHOEHJ,KIMH.Uniquesolvabilityoftheinitialboundaryvalueproblemsforcompressibleviscousfluids[J].JournaldeMathématiquesPuresetAppliquées,2004,83(2):243-275.[8]EVANSLC.Partialdifferentialequations[M].2nded.Providence,RI:AmericanMathematicalSociety,2010.

[9] 劉炳初.泛函分析[M].2版.北京:科學出版社,2004.

[10]DIPERNARJ,LIONSPL.Ordinarydifferentialequations,transporttheoryandSobolevspaces[J].InventionesMathematicae,1989,98(3):511-547.

(編輯:石 瑛)

Local Solutions of a Compressible Flow Problem with Navier-Slip Boundary Conditions

WANG Xuena, YONG Yan

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The study shows that there exist local-in-time solutions of the compressible Navier-Stoke equations with Navier-Slip boundary conditions in a bounded domainΩ?3.To this end,the linearization approach,Galerkin method,standard energy method,aprior estimates and uniform convergence theorem have been used.

compressibleNavier-Stokesequations;Navier-Slipboundaryconditions;solutionsexistence

1007-6735(2017)01-0015-10

10.13255/j.cnki.jusst.2017.01.004

2016-12-10

王雪娜(1990-),女,碩士研究生.研究方向：偏微分方程.E-mail：2423948351@qq.com

雍 燕(1982-),女,講師.研究方向：偏微分方程.E-mail：yongyan_math@126.com

O 175.25

A