朱 燦, 李 亦

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

矩陣的秩和非零特征值個(gè)數(shù)的關(guān)系研究

朱 燦, 李 亦

(上海理工大學(xué) 理學(xué)院,上海 200093)

矩陣的秩和非零特征值個(gè)數(shù)是矩陣的重要不變量,研究二者關(guān)系也成為線性代數(shù)一個(gè)基本的問題.已有的文獻(xiàn)分別給出了n階矩陣的秩和非零特征值個(gè)數(shù)相等或相差n-1的充要條件.而矩陣指數(shù)又是矩陣的重要不變量,對復(fù)矩陣而言它指矩陣零特征值約當(dāng)塊的最大階數(shù).在已有文獻(xiàn)基礎(chǔ)上,研究了復(fù)數(shù)域上矩陣的秩和非零特征值個(gè)數(shù)二者的差與矩陣指數(shù)的關(guān)系,得到了矩陣的秩和非零特征值個(gè)數(shù)的差用矩陣指數(shù)刻畫的一個(gè)充分必要條件,推廣了已有文獻(xiàn)的結(jié)果.

矩陣的秩; 特征值; 約當(dāng); 矩陣指數(shù)

1 問題的提出

矩陣的秩和非零特征值個(gè)數(shù)(重根按重?cái)?shù)計(jì),下同)是線性代數(shù)中的重要不變量.對非退化矩陣或?qū)崒ΨQ矩陣,這二者總是相等.但如果是矩陣的零特征值有階數(shù)大于1的約當(dāng)塊,那么二者不相等.有很多學(xué)者研究了二者的關(guān)系.文獻(xiàn)[1]給出了二者相等的等價(jià)刻畫.文獻(xiàn)[2]給出了二者的差為n-1的等價(jià)條件.這兩種情形分別是二者差的上下確界.文獻(xiàn)[3-6]討論了二者的差為其他情形的刻畫.而矩陣指數(shù)又是復(fù)矩陣的重要不變量,粗略地講它是指矩陣的零特征值的約當(dāng)塊的最大階數(shù).矩陣指數(shù)在研究秩冪等矩陣中起著關(guān)鍵的作用,見文獻(xiàn)[7-9].本文借助于矩陣的指數(shù)的概念,給出了矩陣的秩、非零特征值個(gè)數(shù)和矩陣指數(shù)三者差的上下確界以及矩陣的秩與非零特征值個(gè)數(shù)差的等價(jià)描述.

符號說明:

Mn()表示復(fù)數(shù)域上的n階方陣全體.rank(A)和μ(A)分別表示矩陣A的秩和非零特征值個(gè)數(shù).設(shè)A∈Mn()的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型為diag(J1,J2,…,Jt,Jt+1,…,Js).其中,J1,…,Jt為零特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊,且它們的階數(shù)分別為n1,…,nt,且滿足n1≥…≥nt.Jt+1,…,Js為非零特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊.N(A)為線性方程組AX=0的解空間.

2 已有結(jié)論及相關(guān)準(zhǔn)備

2.1 零特征值幾何重?cái)?shù)與矩陣的秩的關(guān)系

定理1[3]設(shè)A∈Mn()的秩為rank(A),其零特征值的幾何重?cái)?shù)為t,則rank(A)=n-t.

2.2rank(A)-μ(A)的上下確界

引理2[2]設(shè)A∈Mn(),則rank(A)-μ(A)=n0-t,其中n0=n1+n2+…+nt.

定理2[2]設(shè)A∈Mn(),則0≤rank(A)-μ(A)≤n-1.

2.3rank(A)=μ(A)的充要條件

已經(jīng)知道rank(A)-μ(A)的上下確界:0≤rank(A)-μ(A)≤n-1,從而得知rank(A)和μ(A)未必總是相同.那么需要滿足什么條件,才能使兩者的差達(dá)到上下確界呢？首先回顧以下兩個(gè)定理.

定理3[2]設(shè)A∈Mn(),則以下描述等價(jià):

a.rank(A)=μ(A);

b.A沒有形如xm(m≥2)的初等因子;

c.ind(A)≤1(ind(A)的定義見2.4);

d.rank(A)=rank(A2);

e. 對于任意自然數(shù)m(≥2),都有rank(A)=rank(Am);

f. N(A)=N(A2);

g. 對于任意自然數(shù)m(≥2),都有N(A)=N(Am).

定理4[2]設(shè)A∈Mn(),則以下描述等價(jià):

a.rank(A)-μ(A)=n-1;

c.ind(A)=n;

d.An-1≠0;An=0;

e.rank(Al)=n-l,1≤l≤n-1且rank(Al)=0,0≤l;

f. N(A)?N(A2)?…?N(An-1)?N(An)(作為真子空間的包含);

g. 對于任意1≤k,l≤n,k≠l,則總有rank(Ak)≠rank(Al);

h. 對于任意1≤k,l≤n,k≠l,則總有N(Ak)≠N(Al).

2.4 矩陣的指數(shù)及相關(guān)引理

前文已知rank(A)-μ(A)的上下確界,即0≤rank(A)-μ(A)≤n-1,并給出了二者相等和相差n-1的等價(jià)刻畫,那么是否二者的差還可能有其他情況呢？為了回答這個(gè)問題,本文借助于矩陣的指數(shù)ind(A)的概念.

設(shè)A∈Mn(),則可定義線性變換A:n→n,z→Az,Im(A)為線性變換A的象空間.

定義1[10]設(shè)A,A如上,定義Ind(A)=inf {k| Im(Ak)=Im(Ak+1)},ind(A)=inf {k| rank(Ak)=rank(Ak+1)}.

定理5Ind(A)=ind(A)=n1.

其次,取e1,e2,…,en為線性空間n的一組基,其中ei=(0,0,…,1,…,0)′(第i個(gè)分量為1).則線性變換A在這組基下的矩陣為A.令p=n1+…+nt,V1=span(ep+1,…,en).則V1為A-不變子空間,且A在V1上的限制在基ep+1,…,en下的矩陣為,記作J≠0.顯然,矩陣J≠0非退化.記矩陣為J=0.而容易知道當(dāng)k≥max{n1,n2,…,nt}=n1時(shí),,所以Im(Ak)=V1=Im(Ak+1).接下來,考慮當(dāng)k

定義2 設(shè)矩陣A如上,稱n1為矩陣A的指數(shù),記做ind(A).

3 主要結(jié)果

由定理2rank(A)-μ(A)的上下確界已知,且有

b.rank(A)-μ(A)=n-1?ind(A)=n.

對非奇異矩陣,rank(A)=μ(A)且ind(A)=0,所以rank(A)-μ(A)=ind(A).

如果僅考慮奇異矩陣的情況,有以下總結(jié):

rank(A)-μ(A)=0?ind(A)=1;

rank(A)-μ(A)=n-1?ind(A)=n.

因此,自然要問:對于奇異矩陣,是否恒有rank(A)-μ(A)=ind(A)-1？為此來看一個(gè)例子:

rank(A)=2,μ(A)=0,ind(A)=2,不滿足rank(A)-μ(A)=ind(A)-1.

定理6 rank(A)-μ(A)=ind(A)-1的充要條件是在矩陣A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中,n2=n3=…=nt=1(即只有約當(dāng)塊J1可以是高階的,其余零特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊均為一階).

證明 由引理2,rank(A)-μ(A)=n1+n2+…+nt-t.從而有,rank(A)-μ(A)=ind(A)-1?n2+…+nt=t-1.

因?yàn)閚i≥1,所以n2+…+nt≥t-1,且等號成立當(dāng)且僅當(dāng)n2=n3=…=nt=1.

所以rank(A)-μ(A)=ind(A)-1?n2=n3=…=nt=1,即J2,…,Jt均為1階約當(dāng)塊.即A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型中,只有約當(dāng)塊J1可以是高階的,其余零特征值對應(yīng)的約當(dāng)塊均為一階.

證明 由引理2可求得i=rank(A)-μ(A)-ind(A)=n2+…+nt-t.

先求最小值:因?yàn)閚i≥1,所以n2+…+nt≥t-1,所以i=rank(A)-μ(A)-ind(A)≥-1,且只能在n2=n3=…=nt=1時(shí)可取到-1,所以mini=-1.

以下例子說明上確界可達(dá),令

其中,

4 結(jié) 論

本文在參考文獻(xiàn)[1-2]的基礎(chǔ)上對復(fù)矩陣的秩與非零特征值個(gè)數(shù)的關(guān)系作了進(jìn)一步的分析,完善和擴(kuò)展了已有文獻(xiàn)對矩陣的秩與非零特征值個(gè)數(shù)關(guān)系的研究.其主要結(jié)果概括如下:借助于矩陣指數(shù)的概念,給出了矩陣的秩、非零特征值個(gè)數(shù)和矩陣指數(shù)這三者差的取值范圍以及上下確界,推廣了已有文獻(xiàn)僅對rank(A)-μ(A)=0和rank(A)-μ(A)=n-1的研究.

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(編輯:丁紅藝)

Discussions on the Relationship Between Ranks and Numbers of Non-zero Eigenvalues of Matrices

ZHU Can, LI Yi

(CollegeofScience,UniversityofShanghaiforScienceandTechnology,Shanghai200093,China)

The rank and the number of non-zero eigenvalues of a matrix are two important invariants and the relation between these two values is a basic problem in the linear algebra.Some authors have described the necessary and sufficient conditions for that the rank and the number of non-zero eigenvalues are equal or have a gap ofn-1.On the other side,the index of matrix is another important invariant,which,roughly speaking,is the maximal size of the zero eigenvalues in the canonical form of a complex matrix.Based on the existing research results,the relation of the gap between the rank and the number of non-zero eigenvalues with the index of matrix was investigated,and the necessary and sufficient conditions for these invariants were obtained,which is a generalization of some known results.

rankofmatrix;eigenvalue;canonicalform;indexofmatrix

1007-6735(2017)01-0012-03

10.13255/j.cnki.jusst.2017.01.003

2016-07-22

上海理工大學(xué)教師教學(xué)發(fā)展研究項(xiàng)目(CFTD17016Z)

朱燦(1981-),男,博士研究生.研究方向:代數(shù)學(xué).E-mail:czhu@usst.edu.cn

O 151.21

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