高祥秀

【摘要】 新課標(biāo)的制定與出臺(tái)，是一定的數(shù)學(xué)觀指導(dǎo)下的結(jié)果，反過(guò)來(lái)，又體現(xiàn)了一定的數(shù)學(xué)理念.新課標(biāo)正努力向人們展現(xiàn)數(shù)學(xué)的全部真實(shí)面貌：（1）數(shù)學(xué)并非不變的概念、法則和定理的簡(jiǎn)單匯集，而是人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)；（2）數(shù)學(xué)問(wèn)題是豐富多彩的，不僅數(shù)學(xué)內(nèi)部有，現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題；（3）數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的方法是多樣的；（4）估算也是數(shù)學(xué).新課程理念下的數(shù)學(xué)觀促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育工作者對(duì)一些問(wèn)題的思考：（1）數(shù)學(xué)課程改革需要數(shù)學(xué)觀強(qiáng)有力的指導(dǎo)；（2）教師要形成正確的數(shù)學(xué)觀.

【關(guān)鍵詞】 新課標(biāo)；數(shù)學(xué)觀；教師

數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué).一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)觀就是指人們對(duì)數(shù)學(xué)的總的看法和基本觀點(diǎn)，是關(guān)于“什么是數(shù)學(xué)”問(wèn)題的認(rèn)識(shí).由此可見(jiàn)，數(shù)學(xué)觀是對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行有關(guān)哲學(xué)方面的思考.每個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)數(shù)學(xué)或與數(shù)學(xué)接觸過(guò)的人都有可能對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生看法，形成見(jiàn)解，由于個(gè)體具有不同的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)背景，接受不同的價(jià)值觀念，再加上自身的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，因而在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中逐漸形成自己對(duì)數(shù)學(xué)獨(dú)特的看法，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的整理、描述，即為數(shù)學(xué)觀.

一、新課標(biāo)理念下的數(shù)學(xué)觀

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)采用了描述性定義，指出“數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)”“數(shù)學(xué)與人類發(fā)展和社會(huì)進(jìn)步息息相關(guān)”“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分”，[1]這種數(shù)學(xué)本質(zhì)觀，一方面是對(duì)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)觀的超越，另一方面，這些觀點(diǎn)又反映出新課標(biāo)下的數(shù)學(xué)觀.具體如下：

（一）數(shù)學(xué)是人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)

弗雷登塔爾早就指出，數(shù)學(xué)教學(xué)的核心是學(xué)生的“再創(chuàng)造”.新課標(biāo)也強(qiáng)調(diào)參與綜合實(shí)踐活動(dòng)、積累綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)、技能和方法等解決簡(jiǎn)單問(wèn)題的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).也就是說(shuō)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)必須以“再創(chuàng)造”的方式進(jìn)行，讓學(xué)生根據(jù)自己的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，用自己的思維方式，重新創(chuàng)造有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，使學(xué)生深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)并非不變的概念、法則和定理的簡(jiǎn)單匯集，而是人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng).

例如，“零指數(shù)”的教學(xué)設(shè)計(jì).本實(shí)例希望體現(xiàn)課程目標(biāo)在課堂教學(xué)中的整體落實(shí)——通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)生不僅理解和掌握有關(guān)的知識(shí)和技能，而且初步了解指數(shù)概念是如何擴(kuò)充的，感受零指數(shù)“規(guī)定”的合理性.

通過(guò)計(jì)算23÷23提出問(wèn)題：如果應(yīng)用同底數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，可以得到23÷23=23-3=20.那么20有什么意義呢？我們需要對(duì)此做出解釋，數(shù)學(xué)面臨了挑戰(zhàn).首先，我們回顧簡(jiǎn)單的事實(shí)：23÷23=8÷8=1，于是可以自然提出猜想：20=1，然后，采用各種途徑引導(dǎo)學(xué)生感受規(guī)定20=1的合理性.例如，用細(xì)胞分裂作為情境，提出問(wèn)題：一個(gè)細(xì)胞分裂1次變2個(gè)，分裂2次變4個(gè)，分裂3次變8個(gè)……那么，一個(gè)細(xì)胞沒(méi)有分裂時(shí)呢？這樣，在學(xué)生感受“20=1”的合理性的基礎(chǔ)上，做出零指數(shù)冪意義的“規(guī)定”，即a0=1（a≠0）.在規(guī)定的基礎(chǔ)上，再次驗(yàn)證這個(gè)規(guī)定與原有“冪的運(yùn)算性質(zhì)”是無(wú)矛盾的，原有的冪的運(yùn)算性質(zhì)可以擴(kuò)展到零指數(shù)[1].

綜上，學(xué)生在學(xué)習(xí)“零指數(shù)”時(shí)將經(jīng)歷如下的過(guò)程：面對(duì)挑戰(zhàn)進(jìn)行思考—提出“規(guī)定”的猜想—通過(guò)各種途徑說(shuō)明“規(guī)定”的合理性—做出“規(guī)定”—驗(yàn)證這種“規(guī)定”與原有知識(shí)體系無(wú)矛盾—指數(shù)概念和性質(zhì)得到進(jìn)一步擴(kuò)展.

這樣的過(guò)程充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)自身發(fā)展的軌跡，學(xué)生借助學(xué)習(xí)“零指數(shù)”所得經(jīng)驗(yàn)，可以進(jìn)一步嘗試對(duì)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義做出合理的“規(guī)定”，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)是人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng)，有助于發(fā)展學(xué)生的理性思維.

（二）數(shù)學(xué)問(wèn)題是豐富多彩的

數(shù)學(xué)問(wèn)題是豐富多彩的，不僅數(shù)學(xué)內(nèi)部有，現(xiàn)實(shí)生活中也存在著許多與數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題.然而，大多數(shù)學(xué)生并未認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)問(wèn)題的豐富性，因此，有必要幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并形成解決這些問(wèn)題的意識(shí)和能力.

例如，結(jié)合實(shí)例解釋3a.希望學(xué)生理解用字母表示的代數(shù)式是有一般意義的.a可以表示數(shù)量，如，葡萄的價(jià)格是3元/千克，則3a表示買a千克的金額；a也可以表示長(zhǎng)度，如一個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為a，則3a表示這個(gè)三角形的周長(zhǎng)；等等.

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，應(yīng)該力求從實(shí)際出發(fā)，以學(xué)生熟悉或感興趣的問(wèn)題情境引入，并進(jìn)行探究學(xué)習(xí).下面的題目體現(xiàn)了這一點(diǎn).

李阿姨去商店購(gòu)物，帶了100元，她買了兩袋面，每袋30.4元，又買了一塊牛肉，用了19.4元，她還想買一條魚(yú)，大一些的每條25.2元，小一些的每條15.8元.請(qǐng)幫助李阿姨估算一下，她帶的錢夠不夠買小魚(yú)？能不能買大魚(yú)？[1]

這類問(wèn)題在生活中很常見(jiàn).從數(shù)學(xué)上看，第一問(wèn)要判斷100元是否超過(guò)三種物品的價(jià)格總和，適當(dāng)放大；第二問(wèn)要判斷三種物品的價(jià)格總和是否超過(guò)100元，適當(dāng)縮小.

數(shù)學(xué)問(wèn)題不僅包含在數(shù)學(xué)內(nèi)部，也體現(xiàn)在現(xiàn)實(shí)生活中，上述第一個(gè)例子是從數(shù)學(xué)問(wèn)題到生活情境，第二個(gè)例子是從生活情境轉(zhuǎn)向解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.生活中充滿數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)與生活是息息相關(guān)的，數(shù)學(xué)問(wèn)題也是豐富多彩的.

（三）數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法是多樣的

心理學(xué)研究表明，每名學(xué)生所處的文化環(huán)境、家庭背景和自身思維方式的不同，導(dǎo)致不同的學(xué)生有不同的思維方式和解決問(wèn)題的策略.學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)的和富有個(gè)性的過(guò)程[2].新課標(biāo)中對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的呈現(xiàn)，注意采用不同的表達(dá)方式，體現(xiàn)解法、證法的多樣化，以滿足學(xué)生多樣化的學(xué)習(xí)需求.

例如，4條腿的椅子和3條腿的凳子共16個(gè)，椅子腿數(shù)和凳子腿數(shù)共60條，問(wèn)幾個(gè)椅子幾個(gè)凳子[1]？事實(shí)上，這個(gè)問(wèn)題可以用三種方法建立模型：四則運(yùn)算、一元一次方程、二元一次方程組.啟發(fā)學(xué)生從不同的角度思考同一個(gè)問(wèn)題，有利于學(xué)生進(jìn)行比較，加深對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解.

利用四則運(yùn)算時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用嘗試的辦法探索規(guī)律，椅子數(shù)為16、凳子數(shù)為0，腿的總數(shù)為64；椅子數(shù)為15、凳子數(shù)為1，腿的總數(shù)為63；椅子數(shù)為14、凳子數(shù)為2，腿的總數(shù)為62……繼續(xù)計(jì)算下去，可以得到椅子數(shù)為12、凳子數(shù)為4時(shí)，腿數(shù)恰好為60.利用一元一次方程解決此問(wèn)題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體列表的方式找出規(guī)律、建立方程，這樣有利于學(xué)生理解方程的意義、體會(huì)建模的過(guò)程.假設(shè)椅子數(shù)為a，則凳子數(shù)為（16-a），列一元一次方程4a+3（16-a）=60，可以解方程求出椅子數(shù)a，再用（16-a）求出凳子數(shù).利用二元一次方程組可以直接列方程組.假設(shè)椅子數(shù)為a，凳子數(shù)為b，可以得到兩個(gè)方程a+b=16和4a+3b=60，代入法求解.

從上面的討論可以看到，用四則運(yùn)算方法，思考最困難，但是結(jié)果最直接；用二元一次方程組的方法，思考最簡(jiǎn)潔，但是計(jì)算較煩瑣.采用不同的解決方法，體現(xiàn)數(shù)學(xué)求解的多樣化，以滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求.數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決方法是多樣的，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中不應(yīng)局限于一種解題方法，應(yīng)拓寬思路，發(fā)散學(xué)生思維.

（四）估算也是數(shù)學(xué)

估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，它是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑.新課標(biāo)明確指出：“在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注意發(fā)展學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想[1].”數(shù)感主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟.數(shù)感主要表現(xiàn)在：理解數(shù)的意義；能用多種方法來(lái)表示數(shù)；能在具體的情境中把握數(shù)的相對(duì)大小關(guān)系；能用數(shù)來(lái)表達(dá)和交流信息；能為解決問(wèn)題而選擇恰當(dāng)?shù)乃惴?；能估?jì)運(yùn)算的結(jié)果，并對(duì)結(jié)果的合理性做出解釋[2].建立數(shù)感有助于學(xué)生理解現(xiàn)實(shí)生活中數(shù)的意義，理解或表述具體情境中的數(shù)量關(guān)系.

例如，“公園有多寬”？某地開(kāi)辟了一塊長(zhǎng)方形的荒地，新建一個(gè)以環(huán)保為主題的公園.已知這塊荒地的長(zhǎng)是寬的2倍，它的面積為400 000 m2.（1）公園的寬大約是多少？它有1 000 m嗎？（2）如果要求誤差小于10 m，它的寬大約是多少？與同伴交流.（3）該公園中心有一個(gè)圓形花圃，它的面積是800 m2，你能估計(jì)它的半徑嗎？（誤差小于1 m）[3]

“公園有多寬”這一問(wèn)題，讓學(xué)生用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無(wú)理數(shù)的范圍，或比較無(wú)理數(shù)的大小，或檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性.通過(guò)估算，使學(xué)生感受和理解數(shù)的意義，同時(shí)，感受到并不是精確的計(jì)算才是數(shù)學(xué)，估算也是數(shù)學(xué).

二、幾點(diǎn)思考

數(shù)學(xué)觀是人們從哲學(xué)層面對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行的概括認(rèn)識(shí).新課標(biāo)中蘊(yùn)含多種數(shù)學(xué)觀，對(duì)新課標(biāo)中數(shù)學(xué)觀的不同解讀也影響著課程的設(shè)計(jì)及教師的數(shù)學(xué)觀，進(jìn)而影響著數(shù)學(xué)課程教學(xué)的實(shí)施.這里要明確：數(shù)學(xué)觀沒(méi)有好壞之分，只有合理與否.

（一）數(shù)學(xué)課程改革需要數(shù)學(xué)觀強(qiáng)有力的指導(dǎo)

從數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史進(jìn)程來(lái)看，數(shù)學(xué)最初被看作不變的、絕對(duì)真理的集合.再者，邏輯主義、直覺(jué)主義、形式主義等不同基礎(chǔ)主義流派著眼于數(shù)學(xué)成果本身，把數(shù)學(xué)看成是從某個(gè)靜止的基礎(chǔ)演繹而來(lái)的，導(dǎo)致“新數(shù)運(yùn)動(dòng)”的失敗.隨著數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展進(jìn)步以及人們認(rèn)識(shí)的逐步深入，數(shù)學(xué)更多地被看作是人類的創(chuàng)造性活動(dòng)，建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀流行開(kāi)來(lái).建構(gòu)主義數(shù)學(xué)觀強(qiáng)調(diào)，數(shù)學(xué)是在活動(dòng)中根據(jù)主體需要建構(gòu)起來(lái)的，是擬經(jīng)驗(yàn)的、可誤的.

我國(guó)新一輪課程改革強(qiáng)調(diào)促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧地發(fā)展，為實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)需要數(shù)學(xué)觀強(qiáng)有力的指導(dǎo)，數(shù)學(xué)課程改革要求必須更新數(shù)學(xué)觀，為改革奠定堅(jiān)實(shí)的思想基礎(chǔ)，保證改革穩(wěn)定地向前發(fā)展.

（二）教師要形成正確的數(shù)學(xué)觀

英國(guó)學(xué)者P.Ernest認(rèn)為，教師所具有的數(shù)學(xué)觀大致可分為3類：（1）動(dòng)態(tài)的、易謬的數(shù)學(xué)觀[4].這是指把數(shù)學(xué)看成人類的一種創(chuàng)造性活動(dòng).從而，數(shù)學(xué)主要地就是一種探索的活動(dòng)，并一定包含有錯(cuò)誤、嘗試與改進(jìn)的過(guò)程，更必然地處于不斷的發(fā)展和變化之中.（2）靜態(tài)的、絕對(duì)主義的數(shù)學(xué)觀.這是指把數(shù)學(xué)看成無(wú)可懷疑的真理的集合，是一個(gè)高度統(tǒng)一且十分嚴(yán)密的邏輯體系.（3）工具主義的數(shù)學(xué)觀.這是指把數(shù)學(xué)看成適用于各種不同場(chǎng)合的事實(shí)性結(jié)論、方法和技巧的匯集，數(shù)學(xué)不能被看成一個(gè)高度統(tǒng)一的整體[5].

新課標(biāo)指出有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者.教師在學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中應(yīng)適當(dāng)?shù)丶右砸龑?dǎo)，注重啟發(fā)和因材施教，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和自覺(jué)性，實(shí)現(xiàn)交往互動(dòng)，共同發(fā)展.因此，必須加強(qiáng)教師教育，尤其是數(shù)學(xué)觀念的教育，為此，可以開(kāi)設(shè)數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)教育哲學(xué)、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想發(fā)展史、數(shù)學(xué)方法論等有關(guān)學(xué)科，以幫助教師形成正確的數(shù)學(xué)觀.

【參考文獻(xiàn)】

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