張昆+羅增儒

【摘要】數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵在于依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯線索，偏向于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的心理過程，并需要整合這兩者的優(yōu)勢，與此同時(shí)，對數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的心理過程保持足夠的重視.如此，才有可能最大限度地促進(jìn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的高層次目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，提高作為教育資源的數(shù)學(xué)知識(shí)的育人價(jià)值的基本保證.初職教師只有在這方面下苦功夫，才能獲得嫻熟的教學(xué)技藝.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)高考；解題教學(xué)；教學(xué)設(shè)計(jì)；初職教師

對于高考復(fù)習(xí)解題教學(xué)，新一輪課改以來，受到了多項(xiàng)詬病，特別是將教學(xué)（技術(shù)）手段上的某些弊端無端地與解題教學(xué)價(jià)值及其實(shí)現(xiàn)目標(biāo)混為一談，這其實(shí)有失公平公正.一方面，在數(shù)學(xué)新課程理念的實(shí)施過程中，偏重于利用數(shù)學(xué)的優(yōu)質(zhì)教育資源，培養(yǎng)受教育者的創(chuàng)新能力；另一方面，不管是有意還是無意之中，或者不管我們承認(rèn)還是不承認(rèn)，從某種程度上說，高考也具有數(shù)學(xué)教育教學(xué)目標(biāo)的成分，部分地發(fā)揮教學(xué)指揮棒作用.如此，高考數(shù)學(xué)命題與復(fù)習(xí)解題教學(xué)應(yīng)該有意識(shí)地納入新課程數(shù)學(xué)教育教學(xué)的評價(jià)目標(biāo)之中，而不能游離于數(shù)學(xué)新課程體系結(jié)構(gòu)之外，如此，才能引領(lǐng)課程的實(shí)施的方向[1].本研究基于高師師范生與初職教師教學(xué)的現(xiàn)實(shí)，研究者試圖糾正對數(shù)學(xué)解題教學(xué)落后的手段與教學(xué)目標(biāo)之間混淆與混亂的認(rèn)識(shí)，從而達(dá)到厘清觀念、正本清源的目的.

1教學(xué)的示例

研究者在為高師大四師范生開設(shè)《數(shù)學(xué)教學(xué)論》這門課時(shí)，針對沒有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的大四師范生，總是以現(xiàn)實(shí)中教師使用的課例為主要手段展開課堂討論活動(dòng)，借此幫助大四師范生站穩(wěn)高中數(shù)學(xué)教學(xué)講臺(tái)，其中，高考復(fù)習(xí)解題教學(xué)尤為重要，構(gòu)成了研究者《教學(xué)教學(xué)論》教學(xué)的重中之重，它不僅需要滲入數(shù)學(xué)課程等的理念、目標(biāo)，更為重要的是將其作為大四師范生的數(shù)學(xué)教學(xué)入門向?qū)?因此，本研究通過使用高三教師解題教學(xué)的現(xiàn)場錄像的途徑，只是為了行文表達(dá)的技術(shù)上需要，研究者在不改變授課教師原來設(shè)計(jì)所生成的教學(xué)環(huán)節(jié)及聯(lián)結(jié)這些環(huán)節(jié)中介的基礎(chǔ)上，在極少數(shù)地方作了細(xì)微的改動(dòng).

研究者對這種教學(xué)設(shè)計(jì)的缺陷加以簡要說明這種解法從對在結(jié)論中出現(xiàn)ln1+n的預(yù)期到通過變形所得到的⑥式，再到⑦的產(chǎn)生，這一系列的技術(shù)手段，一般學(xué)生不可能自行地產(chǎn)生，從現(xiàn)實(shí)的教學(xué)活動(dòng)過程來看，都是由教師提供的，學(xué)生思維轉(zhuǎn)承啟合的速度都落在教師提供材料的后面.研究者了解到，出現(xiàn)這種結(jié)果的原因在于，教師基于這道高考題命題者所提供的答案，雖然教師通過自己的教學(xué)設(shè)計(jì)手段，對現(xiàn)成答案加以精心的改造，但是依然沒有達(dá)到啟發(fā)學(xué)生自行萌生這些思想的目標(biāo)，致使教學(xué)活動(dòng)成了教師提供學(xué)生接受的過程.由此可知，教師要仔細(xì)地研究問題，研究者多年解題的經(jīng)驗(yàn)是，我們自己看懂高考題的參考答案，往往花費(fèi)的時(shí)間比獨(dú)立思考解題的時(shí)間還要多.其實(shí)如果教師得到另一種比較簡單的思路，就可以啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立地自己完成解答.

經(jīng)由討論修改后的教學(xué)設(shè)計(jì)

生1：如果獲得不等式的左邊前n項(xiàng)和的一個(gè)表達(dá)式，對問題的解決會(huì)帶來很多好處，可是，我經(jīng)過試探，很難找到這樣的一個(gè)表達(dá)式.

師：生1的這種想法，雖然在技術(shù)上我們難以得到執(zhí)行，但是，我們可以分析生1想法的來源.他可能是這樣想的：對于“不等號(hào)”（“等號(hào)”）也是一樣，它們所聯(lián)結(jié)的兩邊具有一種對等關(guān)系，他發(fā)現(xiàn)不等式①的這種形式不是對等的，加之以在“求簡”的數(shù)學(xué)觀念指令下，想到了求不等式①左邊的一個(gè)表達(dá)式.可惜，我們辦不到.怎么辦？

生2：我們可以倒著想，既然①不能直接相加得到一個(gè)結(jié)果，從而得到一個(gè)與①的右端形成一個(gè)對等的形式，那么，我想把①的右邊轉(zhuǎn)化為一個(gè)n項(xiàng)和的形式.但是，具體技術(shù)性操作我還沒有想好.

師：大家試探生2同學(xué)的這種觀念是否可以實(shí)現(xiàn)？

師：生3同學(xué)為“對等”的數(shù)學(xué)觀念的應(yīng)用提供了現(xiàn)實(shí)性的“支點(diǎn)”，將兩個(gè)數(shù)列前n項(xiàng)和結(jié)果的大小比較可以轉(zhuǎn)化為這兩個(gè)數(shù)列相對應(yīng)的項(xiàng)之間的大小比較，產(chǎn)生了以特殊駕馭一般（以點(diǎn)帶面）的手段，即將證明不等式①轉(zhuǎn)化為證明不等式②.不等式②其實(shí)不止一種想法，生3所選擇的是一種通常的數(shù)學(xué)觀念，也就是生3同學(xué)的想法利用（Ⅰ）、（Ⅱ）這兩問所得到的結(jié)果來證明不等式②成立.以此為基礎(chǔ)，大家可以驗(yàn)證它嗎？

生4：對于函數(shù)f（x）=ax+bx+c（a>0），且b=a-1，c=1-2a，又且當(dāng)a∈12，+∞時(shí)，f（x）≥ln x在1，+∞上恒成立，并且不難得到當(dāng)x>1時(shí)，f（x）>ln x.取a=12，當(dāng)x>1時(shí)，則有x2-12x>ln x③.為了構(gòu)造ln1+1k，可以在③中，取x=k+1k，知k+12k-k2k+1>ln1+1k④.比較不等式②與④，知只要證明k+12k-k2k+1≥12k+12k+1就行了，我們不難算得k+12k-k2k+1=12k+12k+1，從而由④成立得到②成立[3].

這種教學(xué)設(shè)計(jì)通過滲透“對等”的數(shù)學(xué)觀念，形成了“逆向思維”，萌生“求繁意識(shí)”，成功地解決了問題.教師在解答問題時(shí)，出于自己專業(yè)領(lǐng)域與充足時(shí)間思考，對自己解答過程能夠充分反思，解題竅門的發(fā)現(xiàn)、方法的取得、思想的形成對解答新的具有相似的問題具有較大的幫助.教學(xué)中，教師就不能將 “研究”成果，用精煉的幾句話“交給”學(xué)生，而應(yīng)當(dāng)在由自己“千辛萬苦”所得來思路的最為關(guān)鍵之處設(shè)置出合適的問題情境，通過有限時(shí)間，引領(lǐng)學(xué)生自己“身臨其境”地構(gòu)造思路的發(fā)現(xiàn)過程，使學(xué)生形成“情感”的投入，如此，在以后調(diào)用這些“經(jīng)驗(yàn)”的時(shí)候，他們就會(huì)自然由那些“經(jīng)驗(yàn)”氛圍而迅速提取有關(guān)知識(shí).

授課教師講解時(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)

研究者對這種教學(xué)設(shè)計(jì)的缺陷加以簡要說明問題（Ⅱ）思路不等式⑤的獲得只是要構(gòu)造已經(jīng)取得的不等式②是比較好理解的.關(guān)鍵問題在于問題（Ⅲ）中的不等式⑧的取得，就給人以神來之筆的感覺，教學(xué)中就應(yīng)該仔細(xì)研究不等式⑧在學(xué)生心理上是如何發(fā)生的？于是，在教學(xué)設(shè)計(jì)時(shí)，關(guān)鍵環(huán)節(jié)就必須將這種說服他人的邏輯過程，轉(zhuǎn)化成解題思維環(huán)節(jié)中的學(xué)生心理發(fā)生過程，才能實(shí)現(xiàn)利用數(shù)學(xué)知識(shí)促人發(fā)展的價(jià)值.[4]如果從學(xué)生知識(shí)的心理發(fā)生上來審視這道題思路的出現(xiàn)，可以對這種教學(xué)設(shè)計(jì)作如下修正.

經(jīng)由討論修改后的教學(xué)設(shè)計(jì)針對問題（Ⅲ）中不等式⑧，構(gòu)成了解決這道題的教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵環(huán)節(jié).處理好它就是審視問題的整體結(jié)構(gòu)，在數(shù)學(xué)歸納法的“遞推步”中，如何處理a1b1a2b2…akbkak+1bk+1⑨就成了關(guān)鍵的問題，我們希望運(yùn)用（Ⅱ）的結(jié)論不等式①這一知識(shí)框架來套用它，結(jié)合歸納條件，將式⑨寫成a1b1a2b2…akbkak+1bk+1⑩，將式⑩括號(hào)內(nèi)的a1b1a2b2…akbk看出一個(gè)因式，即不等式①中的a1b1，則ak+1bk+1就是不等式①中的a2b2，由b1+b2=1，因此，我們首先給a1b1a2b2…akbk賦予一個(gè)指數(shù)1-bk+1，從而構(gòu)成了bk+1+（1-bk+1）=1，于是，構(gòu)造出了所需要的條件.下面，根據(jù)冪的乘方法則，可以得到a1b1a2b2…akbkak+1bk+1=a1b11-bk+1a2b21-bk+1…akbk1-bk+11-bk+1ak+1bk+1⑧，我們就是如此引導(dǎo)學(xué)生從心理上構(gòu)造出了等式⑧，如此，就將⑩轉(zhuǎn)化成了等式⑧的右端，它就適應(yīng)了知識(shí)框架不等式①.

研究者通過對式⑩的結(jié)構(gòu)分析，將式⑩化歸成不等式①，就必然要構(gòu)造出不等式①的重要條件特征b1+b2=1.在此觀念的指導(dǎo)下行動(dòng)，進(jìn)行了一系列的構(gòu)造，完成了從解題過程中數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性的發(fā)生轉(zhuǎn)化成了學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)心理過程的發(fā)生.

2簡要的結(jié)論

從這兩個(gè)例子中發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的關(guān)鍵之處，在于依據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的邏輯線索，偏向于學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的心理過程，并需要整合這兩者的優(yōu)勢，與此同時(shí)，對數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生的心理過程保持足夠的重視.[5]如此，才有可能最大限度地促進(jìn)數(shù)學(xué)教育教學(xué)的高層次目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)，提高作為教育資源的數(shù)學(xué)知識(shí)的育人價(jià)值的基本保證.對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者而言，這種對解題關(guān)鍵環(huán)節(jié)的解釋極有意義，他要從自己的意識(shí)結(jié)構(gòu)機(jī)能出發(fā)，通過艱苦的探究活動(dòng)，生成了觀念，即心理意義的解釋自然流暢，觀念的形成就使這種邏輯過程轉(zhuǎn)化為意識(shí)機(jī)能中的一個(gè)項(xiàng)目，為“觀念的再生”創(chuàng)造了條件，于是，它變成了干預(yù)新的客觀數(shù)學(xué)活動(dòng)（設(shè)計(jì)操作程序）的因素.這種從心理上探求解題思路來源，實(shí)現(xiàn)了“能產(chǎn)性思考”[6].對此，我們高師數(shù)學(xué)師范生與初職數(shù)學(xué)教師應(yīng)該思之再思，慎之又慎！

參考文獻(xiàn)

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[2]張昆，張乃達(dá).集中條件：數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵——教學(xué)設(shè)計(jì)的視角[J].中學(xué)數(shù)學(xué)（高中），2016（2）：10.

[3]張昆.數(shù)學(xué)解題教學(xué)設(shè)計(jì)的創(chuàng)新實(shí)踐——基于“美學(xué)”的視點(diǎn)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)學(xué)報(bào)，2015（5）：41-45.

[4]張昆.滲透數(shù)學(xué)觀念促進(jìn)深度遷移——基于發(fā)掘蘊(yùn)藏于知識(shí)中的教育價(jià)值探討[J].中國數(shù)學(xué)教育（高中版），2012（5）：6-9.

[5]張昆.整合數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)的取向——基于知識(shí)發(fā)生的邏輯取向與心理取向的研究[J].中國教育學(xué)刊，2011（6）：52-55.

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