王榮峰

眾所周知，學(xué)好數(shù)學(xué)離不開解題，而解題的一個(gè)核心思想就是將遇到的問題合理地轉(zhuǎn)化為我們已經(jīng)熟悉的問題，而對(duì)應(yīng)就是實(shí)現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的重要策略之一，下面就如何利用對(duì)應(yīng)思想解計(jì)數(shù)問題加以盤點(diǎn)，以期能對(duì)大家解題能力的提升有所幫助.

1先分步再對(duì)應(yīng)

評(píng)注該題并不復(fù)雜，可將所有“理想配集”逐個(gè)寫出而獲解，但不如借助分步計(jì)數(shù)原理先計(jì)算出自由元素2，4，6分配方式的種數(shù)再進(jìn)行對(duì)應(yīng)來解決更顯簡(jiǎn)單.

2先分類再對(duì)應(yīng)

例2從集合M=1，2，3，4，…，20中任取4個(gè)不同的元素，使這4個(gè)數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，則不同的等差數(shù)列共有（ ）個(gè).

A.57B.114C.171D.228

評(píng)注該題也可通過分類找規(guī)律的方法來解決，但將集合M按照被3除的余數(shù)分成三類，再巧妙進(jìn)行對(duì)應(yīng)，過程更簡(jiǎn)潔，當(dāng)集合M中元素個(gè)數(shù)較多時(shí)，更看出該方法的優(yōu)越性！

3先構(gòu)建再對(duì)應(yīng)

評(píng)注對(duì)于x1=0，通過在xii≤2≤10上加1可實(shí)現(xiàn)非負(fù)整數(shù)解到正整數(shù)解的轉(zhuǎn)化，這為構(gòu)建“隔板”這種模型創(chuàng)造了條件，再利用對(duì)應(yīng)完成該題就是順理成章的事了.

4先對(duì)應(yīng)再對(duì)應(yīng)

例4如圖2所示的陰影部分由方格紙上3個(gè)小方格組成，我們稱這樣的圖案為“L”形（每次旋轉(zhuǎn)90°仍為L(zhǎng)形圖案），那么在由6×8個(gè)小方格組成的方格紙上可以畫出不同位置的L形圖案的個(gè)數(shù)是（）.

A.35B.48C.140D.980

根據(jù)題意分析可得在一個(gè)“田”字型的方格中，可作出四個(gè)“L”形圖案，即一個(gè)“田”字型方格對(duì)應(yīng)四個(gè)“L”形圖案；而一個(gè)“田”字型方格與網(wǎng)格上“橫著相鄰的三條直線和豎著相鄰的三條直線”是一一對(duì)應(yīng)的，橫著相鄰的三條線有5組，豎著相鄰的三條線有7組，故“田”字型方格共有5×7=35個(gè)， 故可以畫出不同位置的“L”形圖案的總數(shù)是35×4=140.選C.

評(píng)注挖掘到一個(gè)“田”字型方格恰好對(duì)應(yīng)四個(gè)“L”形圖案，進(jìn)而將問題等價(jià)轉(zhuǎn)化成探索網(wǎng)格中“田”字型的個(gè)數(shù)，為再進(jìn)一步借助對(duì)應(yīng)解該題找到了切入點(diǎn).

5先對(duì)應(yīng) 再排列

例5如圖3，坐標(biāo)平面內(nèi)有一質(zhì)點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，目標(biāo)是點(diǎn)M4，3，若質(zhì)點(diǎn)P每次只能沿坐標(biāo)軸移動(dòng)1個(gè)單位，則它到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)M的“最短路徑”共有（）條.

A.7 B.12 C.35D.81

評(píng)注解此題的關(guān)鍵在于要弄清質(zhì)點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)M的“最短路徑”是怎樣構(gòu)成的，這是借助對(duì)應(yīng)思想用排列知識(shí)破解該題的前提條件.

6先對(duì)應(yīng)再插空

評(píng)注該題難度較大，可以應(yīng)用我們熟悉的“隔板法”來求解，但不如上述先對(duì)應(yīng)，再插空，最后再排序獨(dú)辟蹊徑，解題過程令人耳目一新.

7先對(duì)應(yīng)再選取

評(píng)注解該題的關(guān)鍵點(diǎn)是用0，1，2，…，r-1逐個(gè)加到ai1≤i≤r上，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)從“可重組合”到“無重復(fù)組合”的一一對(duì)應(yīng)，為只需從集合B中選取r個(gè)元素就可巧妙解決該題做了重要鋪墊！

“對(duì)應(yīng)”作為一種數(shù)學(xué)思想和方法，在處理較難的計(jì)數(shù)問題中有著十分廣泛的應(yīng)用，用該方法解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造對(duì)應(yīng)關(guān)系，但卻沒有通法可尋，只有平時(shí)勤于積累，善于總結(jié)，才能依據(jù)具體問題的特征進(jìn)行分析，進(jìn)而建模轉(zhuǎn)化、合理對(duì)應(yīng)，使問題順利獲解！