李彬

問題1以下二元二次方程在平面直角坐標系中所對應(yīng)的是什么類型的二次曲線？

x2-2y2+4xy-6x+16y-7=0.（1）

此問題對于高中生來說是比較棘手的，中學(xué)階段接觸到的二次曲線通常是不含交叉項的，如果（1）中去掉4xy，只需分別對x，y配方不難判斷其所對應(yīng)的曲線類型.

容易發(fā)現(xiàn)，（7，0）、（-1，0）均為（1）所對應(yīng)的二次曲線上的點. 由于二次方程所對應(yīng)的曲線（若存在）有且僅有圓、橢圓、雙曲線、拋物線、一個點及兩條（相交或平行或重合）直線這幾種類型[1]. 圓與點的情形可排除，為了判斷該曲線是余下哪種類型之一，我們可考慮其與如下一族平行直線的交點情況：

問題2（1）中所對應(yīng)的二次曲線離心率是多少？試求出其焦點坐標及準線方程.

問題1中我們給出了對二次曲線類型做定性判斷的方法，但要進行精確的定量計算還需另辟蹊徑.

注在高等代數(shù)（大學(xué)課程）中對此問題常規(guī)的處理方法是對二次型所對應(yīng)的實對稱矩陣做正交相似變換從而消掉交叉項再行配方，正交相似變換的本質(zhì)即為旋轉(zhuǎn)（或反射）坐標軸，與我們所采取的上述辦法是殊途同歸的. 另外，對更一般的二次曲線ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0，判斷其類型甚至作定量計算都可采取上述方法，并且利用此法我們能證明（圖象存在的）二次曲線確實有且僅有上文提到過的圓、橢圓、雙曲線、拋物線、點和兩條（相交或平行或重合）直線這幾種類型.

下面我們將嘗試利用待定系數(shù)法求解問題2. 若（1）的方程可寫為如下形式：

注當(dāng)含有交叉項的二次曲線ax2+by2+cxy+dx+ey+f=0為橢圓、雙曲線、拋物線、兩條相交或重合直線時均可寫為類似（11）或（13）的如下形式用待定系數(shù)法求解：

其中k≥0且A，B不全為0. 當(dāng)k=0時顯然為兩條重合直線. 當(dāng)k>0時將（16）改寫作

參考文獻

[1]陳志杰.高等代數(shù)與解析幾何（下）[M].北京：高等教育出版社，2005.