吳飛飛

[摘 要] 應(yīng)試背景下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，容易讓學(xué)生的思維處于非連貫的狀態(tài). 而基于學(xué)生的思維特點(diǎn)與認(rèn)知習(xí)慣，設(shè)計(jì)問(wèn)題的表述方式與提出順序，可以讓學(xué)生的思維保持良好的連貫性. 長(zhǎng)期進(jìn)行這樣的訓(xùn)練，可以讓學(xué)生形成良好的思維習(xí)慣.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；思維；連貫性

數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是思維的教學(xué)，特別是對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，由于學(xué)生已經(jīng)有了充分的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，而高中數(shù)學(xué)知識(shí)又是以這些知識(shí)作為建構(gòu)基礎(chǔ)的，因此建構(gòu)過(guò)程中的學(xué)生思維就受到高度重視. 但目前面臨的實(shí)際是，由于高考?jí)毫Φ拇嬖?，學(xué)生在數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)中更多的是知識(shí)的積累與習(xí)題的重復(fù)訓(xùn)練，真正基于思維教學(xué)，真正以思維為主線的教學(xué)并不多見（當(dāng)然在此過(guò)程中學(xué)生的思維會(huì)有所發(fā)展，但這種發(fā)展近乎是自然發(fā)生的，教學(xué)所起的作用尚待進(jìn)一步發(fā)掘）. 筆者以為，這樣的教學(xué)取向是有問(wèn)題的. 當(dāng)然，認(rèn)識(shí)到這個(gè)問(wèn)題本身并不難，難的是如何在當(dāng)前應(yīng)試評(píng)價(jià)的前提下，更有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 考慮到當(dāng)前已有的努力，筆者以為在注重思維的基礎(chǔ)上進(jìn)一步注重思維的連貫性，可以讓學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)得到進(jìn)一步的提升.

■為什么要注重思維的連貫性

為什么要注重思維的連貫性？這似乎是一個(gè)不需要問(wèn)的問(wèn)題. 但在教學(xué)實(shí)際中可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生在構(gòu)建很多數(shù)學(xué)概念的時(shí)候，思維其實(shí)都是不連貫的. 舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子，在“圓與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容的教學(xué)中，很多時(shí)候教師都會(huì)提出這樣的一些問(wèn)題：在同一個(gè)平面內(nèi)如果有兩個(gè)圓，那這兩個(gè)圓可能存在哪些關(guān)系？你能舉出這樣的例子嗎？你能用作圖的方法表示你的想法嗎？應(yīng)當(dāng)說(shuō)這些問(wèn)題在這一知識(shí)的教學(xué)中，可能不少教師都問(wèn)過(guò)，但是我們有沒(méi)有注意到在這三個(gè)問(wèn)題的作用下，學(xué)生的思維可能會(huì)是什么樣子的呢.

根據(jù)筆者結(jié)合教學(xué)經(jīng)驗(yàn)去猜想，同時(shí)筆者找了教學(xué)班中不同層次的學(xué)生分別進(jìn)行了調(diào)查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)不同層次的學(xué)生在遇到這三個(gè)問(wèn)題的時(shí)候想法既有相同的地方，也有不同的地方. 先說(shuō)不同的地方，通常情況下，優(yōu)秀的學(xué)生在聽到第一個(gè)問(wèn)題之后，會(huì)自動(dòng)地在大腦中構(gòu)思兩個(gè)圓的位置關(guān)系，并能判斷出相交、相離等關(guān)系. 即使他們窮盡自己的思考而沒(méi)有新的發(fā)現(xiàn)之后，心里仍然存在疑慮：有沒(méi)有自己沒(méi)有考慮到的可能？而中等生需要通過(guò)自己畫圖或者討論的方式去尋找結(jié)果，他們也能夠發(fā)現(xiàn)最基本的位置關(guān)系，但并不能有效地拓展思維. 也就是說(shuō)，當(dāng)他們無(wú)法再發(fā)現(xiàn)新的位置關(guān)系時(shí)，就認(rèn)為自己已經(jīng)找全了圓與圓的位置關(guān)系. 至于學(xué)困生，他們往往是下意識(shí)地去生活中尋找圓的關(guān)系，此過(guò)程中有一個(gè)細(xì)節(jié)值得研究：很多學(xué)困生都能夠想到奧運(yùn)五環(huán)的圖形，也能想到兩個(gè)圓相離的情形，但這個(gè)時(shí)候他們所舉的例子有空中的兩個(gè)氣球等（這種將立體圖形簡(jiǎn)化成平面圖形并獲得認(rèn)知，也是一種有趣的現(xiàn)象）.

由此可以看出，不同層次的學(xué)生在思考相同的問(wèn)題的時(shí)候，思路是不一樣的，尤其是思維的出發(fā)點(diǎn)是不一樣的. 當(dāng)然，這個(gè)過(guò)程中也有相同的地方，根據(jù)筆者的研究，不同層次的學(xué)生盡管形象思維或抽象思維出現(xiàn)的順序不同，但都不約而同地用到了形象思維，都能有意識(shí)地去生活中尋找圓的原型. 這也說(shuō)明了即使是高中學(xué)生，即使抽象思維能力已經(jīng)有了充足的發(fā)展，但是形象思維仍然是他們慣用的思維方式.

更重要的是，上面三個(gè)問(wèn)題的提出，實(shí)際上無(wú)法讓不同層次的學(xué)生的思維處于一種連貫的狀態(tài)，這也說(shuō)明在提出問(wèn)題的時(shí)候，要注意問(wèn)題的方式與提出順序. 只有這樣，才能讓學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)的構(gòu)建更為順利.

■怎樣實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的連貫性

事實(shí)上，在實(shí)際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，像上面這樣的例子并不少見，因此可以不夸張地講，很多情況下學(xué)生思維其實(shí)都處于不連貫的狀態(tài)，這對(duì)于學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)不是什么好的現(xiàn)象. 那么，學(xué)生思維不連貫的原因到底在哪里呢？又如何讓學(xué)生的思維在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中更好地處于連貫的狀態(tài)呢？筆者做出了這樣的解釋：

第一個(gè)問(wèn)題. 筆者以為學(xué)生的思維不連貫更多的是由教師的“啟發(fā)”引起的. 這里所說(shuō)的啟發(fā)既指教師有意識(shí)的問(wèn)題的提出，也指教師在教學(xué)中可能的無(wú)意識(shí)的影響. 因?yàn)榻處煂?duì)于問(wèn)題的設(shè)計(jì)，往往都是基于自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的，比如說(shuō)在上面的“圓與圓的位置關(guān)系”這一內(nèi)容的教學(xué)中，包括筆者在內(nèi)，都是從需要教學(xué)的內(nèi)容倒推出來(lái)的問(wèn)題：既然要學(xué)圓與圓的位置關(guān)系，那就問(wèn)學(xué)生圓與圓可能存在什么樣的關(guān)系；既然需要強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，那就讓學(xué)生到生活中尋找這樣的例子；既然要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，那就讓學(xué)生自己去舉例. 問(wèn)題在于，學(xué)生的思維習(xí)慣或者說(shuō)順序，并不由教師所決定，因此問(wèn)題提問(wèn)不當(dāng)或順序不當(dāng)，學(xué)生的思維自然就極有可能處于不連貫的狀態(tài).

在上面分析的基礎(chǔ)上回答第二個(gè)問(wèn)題，就會(huì)發(fā)現(xiàn)保證學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上思維連貫性的關(guān)鍵，在于教師基于對(duì)學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的把握，去認(rèn)真設(shè)計(jì)問(wèn)題的表述方式與提出順序等. 仍然以“圓與圓的位置關(guān)系”為例，考慮到學(xué)生構(gòu)建這一知識(shí)時(shí)表現(xiàn)出的對(duì)形象思維的需要，筆者以為第一個(gè)問(wèn)題或許應(yīng)當(dāng)這樣提出：在生活中總會(huì)有一個(gè)面上出現(xiàn)兩個(gè)圓的情形，大家先想想這些情形都有哪些具體的例子. 在學(xué)生尋找到生活中自行車輪圈、奧運(yùn)五環(huán)、同心圓（此時(shí)非指數(shù)學(xué)意義上的同心圓圖形，而是學(xué)生在生活中形成的同心圓認(rèn)知）等例子之后，再提出第二個(gè)問(wèn)題：如果給你一大一小兩個(gè)圓圈，你會(huì)如何構(gòu)建出不同類型的圓與圓的位置關(guān)系？這是一個(gè)讓學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)及動(dòng)腦思考的過(guò)程. 在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)圓與圓的位置關(guān)系可能不是很清晰，但一定可以在體驗(yàn)的過(guò)程中不斷有新的發(fā)現(xiàn)，而每一個(gè)新的發(fā)現(xiàn)其實(shí)又是在前面思考的基礎(chǔ)上，經(jīng)過(guò)邏輯思考形成的. 這個(gè)過(guò)程中的思維非常充分. 最后提出問(wèn)題：如果讓你用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述自己的體驗(yàn)、收獲與所舉的例子，你能發(fā)現(xiàn)圓與圓之間存在著哪些關(guān)系呢？

以上同樣是三個(gè)問(wèn)題，但是這樣的提出順序是符合學(xué)生認(rèn)知邏輯與思維習(xí)慣的，是可以滿足學(xué)生思維的連貫性的，因?yàn)閺纳钪袑ふ沂吕侨w學(xué)生的思維起點(diǎn)，而讓學(xué)生動(dòng)手體驗(yàn)同是全體學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的基本習(xí)慣. 這兩個(gè)環(huán)節(jié)可以保證所有學(xué)生都有一個(gè)良好的圓與圓的位置關(guān)系的構(gòu)建基礎(chǔ)，同時(shí)也能激活學(xué)生的原有思維. 只有到了第三個(gè)環(huán)節(jié)，也就是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述體驗(yàn)的時(shí)候，尤其是將數(shù)學(xué)符號(hào)表示不同的圓與圓的位置關(guān)系的時(shí)候，學(xué)生才有可能因?yàn)槟芰Σ町愐约皵?shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)的不同而出現(xiàn)水平的高低. 這種情況某種程度上講是不可避免的，而這樣的問(wèn)題與提出順序，實(shí)際上將千萬(wàn)學(xué)生學(xué)習(xí)困難的影響降低到了最小，應(yīng)當(dāng)說(shuō)是一種較好的保證學(xué)生思維連貫性的策略.

■如何判斷學(xué)生思維的連貫性

這里還有另外的一個(gè)重要問(wèn)題，那就是教師在課堂上如何判斷學(xué)生的思維是不是連貫的. 畢竟，在教學(xué)之前根據(jù)自己的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)去設(shè)計(jì)教學(xué)，并預(yù)設(shè)學(xué)生思維可能的情形是簡(jiǎn)單的；而到了實(shí)際的課堂上，學(xué)生的思維是不是真的連貫，那就很難判斷了，畢竟思維是學(xué)生內(nèi)在的東西，不是一個(gè)可以直接觀測(cè)的對(duì)象. 根據(jù)筆者的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，學(xué)生思維在高中數(shù)學(xué)課堂上是不是保持連貫，可以從這樣的兩個(gè)角度來(lái)判斷.

一是學(xué)生在課堂上的上課表情. 必須承認(rèn)，如果教師能夠讓學(xué)生的思維集中到學(xué)習(xí)上來(lái)，那不同層次的學(xué)生在遇到同一個(gè)問(wèn)題時(shí)，同一個(gè)學(xué)生在遇到不同難度的問(wèn)題或者說(shuō)知識(shí)建構(gòu)的過(guò)程時(shí)，表現(xiàn)一定會(huì)有所不同. 這種不同是可以通過(guò)學(xué)生的學(xué)習(xí)表情來(lái)判斷的：如果說(shuō)學(xué)生在構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的時(shí)候，表情比較輕松，常常有微笑或會(huì)心一笑或得意一笑的時(shí)候，就說(shuō)明學(xué)生的思維是處于連貫狀態(tài)的；如果說(shuō)學(xué)生在上課的時(shí)候愁眉緊鎖，那么自然就是思維遇到了障礙.

二是學(xué)生與同伴討論的情形. 當(dāng)前提倡自主合作探究的學(xué)習(xí)方式，高中數(shù)學(xué)通過(guò)合作學(xué)習(xí)來(lái)促進(jìn)不同層次的學(xué)生之間互通學(xué)習(xí)收獲，現(xiàn)已經(jīng)成為一種新常態(tài). 在學(xué)生討論的過(guò)程中，教師要深入到各個(gè)小組，聽聽不同層次的學(xué)生是怎么說(shuō)的. 具體一點(diǎn)說(shuō)，優(yōu)秀的學(xué)生在講某個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候思路是不是清晰，邏輯是不是合理（這可是高中數(shù)學(xué)最重視的兩個(gè)內(nèi)容）；而在聽課時(shí)學(xué)生是不是真的聽得懂，尤其是在聽的過(guò)程中是完全被動(dòng)地接受，還是有問(wèn)題提出. 這些不同表現(xiàn)的背后，往往就反映著學(xué)生思維的差異，而思維的連貫與否就可以在此過(guò)程中判斷出來(lái).

當(dāng)然，這兩點(diǎn)只是筆者的經(jīng)驗(yàn)之談，而注重此話題的同行也一定有新的視角. 在這里筆者還有一點(diǎn)想強(qiáng)調(diào)一下，那就是學(xué)生思維的連貫性在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中是存在積極的遷移作用的，也就是說(shuō)一旦學(xué)生的思維能夠真正連貫起來(lái)，可以保證他們?cè)谄渌麛?shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)中會(huì)有一個(gè)更好的思維習(xí)慣，而這對(duì)于當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)來(lái)說(shuō)，顯然是一個(gè)不小的福音.