丁國(guó)成

（浙江省余杭雙溪小學(xué)）

一、一道數(shù)學(xué)題的啟示

一套衣服，上衣每件48元，褲子每條36元，用1000元錢買這樣的12套衣服夠嗎？（請(qǐng)作圖表示你的解決方法）

這是四年級(jí)的一道數(shù)學(xué)題。括號(hào)中“請(qǐng)作圖表示你的解決方法”這個(gè)小小的要求，對(duì)學(xué)生造成了很大的困擾。

1. 無(wú)從下手

抽取四年級(jí)100名學(xué)生的題目進(jìn)行調(diào)查分析，發(fā)現(xiàn)：畫圖31% ；列表 16%；算式對(duì)，不畫圖47%。這31%的畫圖的學(xué)生中，完全能用圖形或符號(hào)描述和分析問題的只有三分之一左右。更多的學(xué)生，面對(duì)“請(qǐng)作圖表示你的解決方法”無(wú)從下手。

2. 圖不表意

像這樣畫一件衣服和褲子的學(xué)生不在少數(shù)，學(xué)生只是單純地為“作圖”而“作圖”，這樣的圖沒有起到描述數(shù)學(xué)問題的作用。

究其原因是學(xué)生沒有借助圖形理解、分析問題的意識(shí)，缺乏相應(yīng)的畫圖能力，沒有形成幾何直觀的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

二、立足課標(biāo)，“幾何直觀”之內(nèi)涵解讀

課程標(biāo)準(zhǔn)明確提出“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要的作用”?？梢岳斫鉃?，借助圖形描述，把抽象的問題直觀化，利用圖形尋找解決問題的途徑和方法，最后能直觀地理解抽象問題。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)讓“幾何直觀”成為思維習(xí)慣之策略研究

研讀課標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)，幾何直觀是一種意識(shí)，也是一種技能與能力，更是一種思維方式。在我們的實(shí)踐過程中，從以下幾方面入手。

（一）突顯價(jià)值，逐步形成以形助思的意識(shí)

“幾何直觀”的意識(shí)指在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生面對(duì)數(shù)學(xué)問題，能感受到可以通過實(shí)物、圖形、符號(hào)等直觀形式分析和解決問題。要讓學(xué)生感受到幾何直觀的價(jià)值，學(xué)生才會(huì)有意識(shí)地去往幾何直觀靠近。

1. 感受其形象化

用圖形描述數(shù)學(xué)問題，用圖形說話的能力，這是幾何直觀的內(nèi)涵之一。學(xué)生要形成“幾何直觀”的意識(shí)，逐步學(xué)會(huì)從問題到圖形的描述，要從一年級(jí)開始。

這類問題對(duì)于一年級(jí)的學(xué)生來(lái)說，常常是不知所措。教師在教室里模擬，學(xué)生也是排隊(duì)的時(shí)候清楚，回到題目又迷霧重重，這時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生畫圖。

學(xué)生經(jīng)過嘗試、交流，可以得到這樣的兩幅圖：

在這里，學(xué)生用不同的圖形表示主題圖中“我”和其他同學(xué)，并用大括號(hào)準(zhǔn)確地表示出了兩幅圖中“9”和“5”兩個(gè)數(shù)字所包含的學(xué)生，準(zhǔn)確地表達(dá)出了“幾”和“第幾”的不同。學(xué)生要形成幾何直觀的意識(shí)，首先需要在日常的學(xué)習(xí)中多加運(yùn)用，學(xué)會(huì)從問題到圖像。

2. 經(jīng)歷其抽象化

低年級(jí)學(xué)生喜歡用簡(jiǎn)單的圖形去表示數(shù)學(xué)問題中的具體事物，從而理解其中的關(guān)系。在學(xué)生掌握一定的畫“示意圖”的技能后，適時(shí)引入“線段圖”，讓學(xué)生經(jīng)歷“文字—符號(hào)—圖形”的過程。

案例：求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少？

出示：7只蝸牛，瓢蟲的只數(shù)是蝸牛的3倍

教師：你會(huì)畫出瓢蟲的只數(shù)嗎？

展示反饋：

第一種：畫了兩只后，就用圈圈代替。

第二種：直接用三角形代替。

第三種：直接用線段圖表示了蝸牛和瓢蟲的數(shù)量。

教師：比較剛才的三種方法，你比較贊同哪一種？說說你的原因。

學(xué)生：第二種，又簡(jiǎn)單，又清楚。

學(xué)生：第三種的線段圖，我覺得也沒問題，我們都能看出來(lái)什么意思。

教師：現(xiàn)在蝸牛的總數(shù)有500只，你會(huì)選擇用什么方法來(lái)表示？

課件演示，用直條覆蓋原先的圈圈，形成一幅直條圖，把直條進(jìn)行壓縮變形，形成線段圖。

7 只 7 只

在這個(gè)過程中，教師抓住契機(jī)，從直條圖過渡到線段圖，讓學(xué)生體驗(yàn)從形象到抽象的過程，經(jīng)歷“幾何直觀”的思維活動(dòng)方式。

3. 體驗(yàn)其簡(jiǎn)明化

數(shù)學(xué)文字的抽象、數(shù)量關(guān)系的復(fù)雜給學(xué)生分析理解問題帶來(lái)一定的困難。通過幾何直觀把抽象的數(shù)學(xué)問題與直觀的圖像表達(dá)結(jié)合起來(lái)，使得題目中的數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)單明了，突破理解上的難點(diǎn)。如經(jīng)典案例“打電話”：

學(xué)校合唱隊(duì)有15人，暑假有緊急演出，老師要盡快通知每個(gè)隊(duì)員，用打電話的方式，每分鐘通知1人，至少需要多少分鐘？

類似這樣類型的題目，在比賽的場(chǎng)次等數(shù)學(xué)廣角的領(lǐng)域比較多。在課堂教學(xué)小結(jié)中，應(yīng)該問一問：沒有圖能說清楚嗎？真切感受圖形給學(xué)生的幫助，加深對(duì)應(yīng)用畫圖策略的價(jià)值的直觀體驗(yàn)。

（二） 重視畫圖，培養(yǎng)學(xué)生用圖說話的能力

幾何直觀需要用圖形把數(shù)學(xué)問題形象直觀地展現(xiàn)出來(lái)，要形成對(duì)數(shù)學(xué)問題與圖像之間相互轉(zhuǎn)化的能力，就需要在教學(xué)中對(duì)學(xué)生進(jìn)行畫圖策略的指導(dǎo)。

1. 積累“圖”的經(jīng)驗(yàn)

當(dāng)前，我們使用的人教版教材中采用了大量的主題圖，幾何直觀的內(nèi)容俯拾皆是。在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中教材大量采用了小棒、方塊等對(duì)應(yīng)的幾何模型。用好這些主題圖，可以使學(xué)生積累豐富的圖式經(jīng)驗(yàn)，提升其幾何直觀能力。

板塊____________內(nèi)容_教材呈現(xiàn)數(shù)的認(rèn)識(shí)1～5各數(shù)的認(rèn)識(shí)

案例：5的分合

1. 屏幕依次出現(xiàn)5個(gè)蘋果，最后形成一個(gè)“5”字。接著又出現(xiàn)了兩個(gè)袋子。

師：猜猜每個(gè)袋子里可能會(huì)有幾個(gè)蘋果？

2.如果用“○”表示蘋果，你還會(huì)研究嗎？

學(xué)生使用以下的學(xué)習(xí)材料獨(dú)立研究，教師巡視。

幾何直觀可以追溯到“5以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”，分析主題圖，可以發(fā)現(xiàn)，教材以現(xiàn)實(shí)情境為起點(diǎn)，幫助學(xué)生形成了數(shù)大小的表象。到了“5的分合”就讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)物直觀，發(fā)展到符號(hào)直觀，并為今后的圖形直觀開始積累經(jīng)驗(yàn)。

2. 拓寬“圖”的理解

圖的內(nèi)容：幾何直觀中的幾何指圖形，主要指點(diǎn)、線、面、體以及以上四要素組成的其他幾何圖形。但是作為幾何直觀中的“圖形”并非局限于此，只要能讓學(xué)生借助用于“描述、分析問題”的圖都屬于這個(gè)范疇。

如“倒推策略”：小明原來(lái)有一些郵票，今年又收集了24張。送給小軍30張，還剩52張。小明原來(lái)有多少?gòu)堗]票？

在這里，對(duì)于解決問題中的倒退策略的運(yùn)用，教師退回到起點(diǎn)，順著思維把數(shù)量變化的過程表達(dá)清楚，再進(jìn)行倒推，這樣才有依據(jù)。這時(shí)，可以指導(dǎo)學(xué)生用箭頭圖描述數(shù)量變化的過程。

3. 重視“圖”的過程

課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容不僅包括數(shù)學(xué)的結(jié)果，也包括數(shù)學(xué)結(jié)果形成過程和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法。因此教學(xué)中，既要重視結(jié)果，又要重視獲取知識(shí)過程。想象、畫圖是學(xué)生思維的載體，突顯思維的痕跡。

如：求不規(guī)則圖形周長(zhǎng)

不規(guī)則圖形的計(jì)算中無(wú)論是周長(zhǎng)計(jì)算還是面積計(jì)算，基本思路可以分為剪拼和轉(zhuǎn)化。特別是轉(zhuǎn)化的過程，語(yǔ)言表達(dá)是不及畫圖準(zhǔn)確的?！扒蟛灰?guī)則圖形周長(zhǎng)”根據(jù)每條邊的長(zhǎng)度來(lái)計(jì)算的思路是行不通的。利用轉(zhuǎn)化的策略把它變成一個(gè)新的圖形就可以了。在交流的過程中，運(yùn)用課件動(dòng)態(tài)演示轉(zhuǎn)化的過程，有效地在學(xué)生的頭腦中建立平移轉(zhuǎn)化的表象。

（三）內(nèi)化思維，形成下意識(shí)的思維習(xí)慣

通過從低年級(jí)開始的用圖形表達(dá)自己的意識(shí)，逐步學(xué)會(huì)運(yùn)用幾何直觀分析數(shù)學(xué)問題，最終把幾何直觀內(nèi)化為一種下意識(shí)的、主動(dòng)的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣。

1. 溝通一種聯(lián)系——抽象與直觀

學(xué)生借助圖形直觀進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，首先需要把研究的“對(duì)象”抽象成為“圖形”，把“對(duì)象之間的關(guān)系”轉(zhuǎn)化成“圖形之間的關(guān)系”，這樣就把要解決的具體情境問題轉(zhuǎn)化為具體的圖形的數(shù)量或位置關(guān)系的問題，可以讓學(xué)生把握問題的本質(zhì)。

學(xué)生在想象、操作、直觀表征數(shù)學(xué)問題的過程中，要逐步建立抽象與直觀之間的聯(lián)系，掌握文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖形語(yǔ)言之間相互轉(zhuǎn)化的能力。

如“乘法分配率”的教學(xué)中：

運(yùn)算律 文字語(yǔ)言 _符號(hào)語(yǔ)言_________________圖形語(yǔ)言乘法分配率兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別和這兩個(gè)數(shù)相乘，再把乘得的兩個(gè)積_______相加。_________________________________（a+b)×c=a×c+b×c

在這里，通過歸納整理，用直觀的方式建立符號(hào)意識(shí)，讓學(xué)生充分感受符號(hào)與圖形的使用是進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的重要方式。

2. 建立一種觀念——空間觀念

在幾何圖形這一領(lǐng)域內(nèi)部也需要幾何直觀進(jìn)行理解分析。這就要求學(xué)生具有很好的空間想象能力，能根據(jù)物體特征想象出幾何圖形，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中要參與各種幾何活動(dòng)，注重引導(dǎo)學(xué)生將活動(dòng)過程中對(duì)圖形的感受與有關(guān)知識(shí)建立聯(lián)系。

如“直線、射線和線段”的教學(xué)中，可以通過一系列的圖片，在視覺上給學(xué)生們以直觀的認(rèn)識(shí)，從而引出“直線”的概念，使學(xué)生輕易發(fā)現(xiàn)直線的特點(diǎn)。其實(shí)直線是一個(gè)理想化的概念，凸顯幾何直觀地感受顯得尤為重要。引導(dǎo)學(xué)生通過親身觸摸、觀察、想象、制作和實(shí)驗(yàn)，把視覺、聽覺和觸覺等協(xié)同起來(lái)，從而掌握?qǐng)D像特征，建立空間觀念。

在學(xué)習(xí)中，學(xué)生的操作以及運(yùn)用畫圖表示幾何內(nèi)容的空間形式與位置關(guān)系等活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)越豐富，空間觀念的建立越厚實(shí)，幾何直觀的水平就會(huì)越高。

3. 形成一種視角——數(shù)形結(jié)合

數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)缺少形時(shí)少直觀，形缺少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合是對(duì)知識(shí)、能力的貫通式的理解與認(rèn)識(shí)。

學(xué)生常規(guī)的做法是通過通分進(jìn)行計(jì)算。借助這一直觀圖就可以把復(fù)雜的計(jì)算轉(zhuǎn)化成簡(jiǎn)單的計(jì)算：

像這樣的例子不勝枚舉，在這里就要用好教材，挖掘教材，在循序漸進(jìn)中，通過學(xué)習(xí)，逐步形成一種對(duì)數(shù)與形之間的化歸與轉(zhuǎn)化的意識(shí)和解決數(shù)學(xué)問題的視角。

四、讓幾何直觀成為數(shù)學(xué)思維習(xí)慣之研究收獲

通過借助幾何直觀助力數(shù)學(xué)理解，循序漸進(jìn)，逐步提升學(xué)生幾何直觀數(shù)學(xué)思維習(xí)慣的形成的策略研究，我們驚喜地發(fā)現(xiàn)：學(xué)生畫圖意識(shí)提高了，會(huì)主動(dòng)運(yùn)用圖形理解題目的意思，借助示意圖，分析數(shù)量關(guān)系，學(xué)生對(duì)圖形之間的溝通能力提高了。

學(xué)生課堂作業(yè)

1.增強(qiáng)畫圖意識(shí)

在課題實(shí)施過程中，我們可以發(fā)現(xiàn)，學(xué)生只埋頭苦思的想象少了，知道想一想、畫一畫的過程中，體驗(yàn)到了畫圖的樂趣。

我們選擇了五年級(jí)的一個(gè)班級(jí)，進(jìn)行了測(cè)試，收齊草稿紙時(shí)，發(fā)現(xiàn)，草稿紙上留下畫圖痕跡的學(xué)生比例明顯提高。

2.提升思維能力

從實(shí)驗(yàn)班與對(duì)比班課堂檢測(cè)情況分析顯示，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生示意圖的描述、分析問題的切合度都明顯優(yōu)于對(duì)比班。從實(shí)驗(yàn)班與對(duì)比班期末測(cè)試成績(jī)的數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)：實(shí)驗(yàn)班的各項(xiàng)優(yōu)秀率均高于對(duì)比班，并且隨著年級(jí)的升高差距明顯。