張宏梅

[摘 要]

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)具有極強(qiáng)的基礎(chǔ)性，教學(xué)效果的好與差將直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。以《正比例的意義》一課為例，談?wù)勅绾位诮滩?，基于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，挖掘豐富的數(shù)學(xué)素材，讓學(xué)生通過(guò)積極的思維活動(dòng)，去偽存真，提煉概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生有效地建構(gòu)概念的認(rèn)知體系。

[關(guān)鍵詞]

對(duì)比素材；教材素材；游戲素材；有效建構(gòu)

筆者近期聆聽(tīng)了本校一位老師執(zhí)教的《正比例的意義》。課堂上熱熱鬧鬧，但教學(xué)效果不容樂(lè)觀，表現(xiàn)在：一是學(xué)生對(duì)“兩種相關(guān)聯(lián)的量”的概念理解片面，認(rèn)為同向變化的兩種量才是相關(guān)聯(lián)的量，這樣的思維定勢(shì)對(duì)后面的反比例的學(xué)習(xí)極為不利；二是學(xué)生對(duì)“正比例的意義”的抽象描述不能真正理解，只是死記硬背，運(yùn)用這一知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)也只是以葫蘆畫(huà)瓢。究其原因，主要是教師鉆研教材、解讀教材不夠深刻，未能切實(shí)把握好教學(xué)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，導(dǎo)致課堂上素材單一，照本宣科，機(jī)械訓(xùn)練。學(xué)生未能經(jīng)歷在對(duì)比、發(fā)現(xiàn)、辨析、歸納中，逐步抽象概念本質(zhì)的過(guò)程，致使學(xué)生對(duì)概念的理解模糊，教學(xué)的效果大打折扣。

數(shù)學(xué)概念是反映數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)屬性和特征的思維形式。在小學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念教學(xué)具有極強(qiáng)的基礎(chǔ)性，教學(xué)效果的好與差將直接影響著學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。鑒于此，本文擬以《正比例的意義》一課為例，談?wù)勅绾位诮滩模趯W(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)，挖掘豐富的數(shù)學(xué)素材，讓學(xué)生通過(guò)積極的思維活動(dòng)，去偽存真，提煉概念的本質(zhì)屬性，引導(dǎo)學(xué)生有效地建構(gòu)概念的認(rèn)知體系。

一、設(shè)計(jì)對(duì)比素材，在比較中明晰概念本質(zhì)

【教學(xué)片段】認(rèn)識(shí)“兩種相關(guān)聯(lián)的量”

游戲：跟好朋友玩石頭、剪刀、布的游戲，比比誰(shuí)贏的次數(shù)多，時(shí)間為20秒。如果贏一次得5分，在剛才的比賽中你贏了幾次，得多少分？

（生熱情高漲，爭(zhēng)先恐后搶答）

師：為什么他們得的分?jǐn)?shù)不一樣？

生：因?yàn)樗麄冓A的次數(shù)不一樣。

（出示：贏的次數(shù)變化，得分也隨著變化，贏的次數(shù)和得分就是兩種相關(guān)聯(lián)的量。板書(shū)：兩種相關(guān)聯(lián)的量）

出示：這四個(gè)材料中的兩種量是相關(guān)聯(lián)的量嗎？

①64名同學(xué)排隊(duì)做操：

排數(shù)： 2 4 8 …

每排人數(shù)： 32 16 8 …

②小紅澆樹(shù)時(shí)間和澆樹(shù)棵數(shù)：

澆樹(shù)時(shí)間/時(shí)： 1 2 3 …

澆樹(shù)棵數(shù)/棵： 18 30 36 …

③王老師用計(jì)算機(jī)打字：

時(shí)間/分： 1 2 3 …

打字?jǐn)?shù)量/個(gè)：60 120 180 …

④圓周率和圓的周長(zhǎng)：

圓周率： π π π …

圓的周長(zhǎng)： π 2π 3π …

交流匯報(bào)：

生1：我認(rèn)為①、②、③中的兩種量都是相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)榕艛?shù)變化，每排人數(shù)也在變化……

生2：是因?yàn)榕艛?shù)的變化，每排人數(shù)才發(fā)生變化的，②、③中也是這樣。

師：是呀，都是因?yàn)榈谝环N量的變化引起第二種量的變化。

生2：（迫不及待）我發(fā)現(xiàn)了①、②、③中的兩種量雖然都是相關(guān)聯(lián)的量，但它們變化不一樣。①中的排數(shù)在增加，但每排人數(shù)在減少，而②、③中的兩種量都是一種量增加，另一種量也增加。

生3：②、③中兩種量的變化也有不同，③中王老師每小時(shí)打字的個(gè)數(shù)都是60個(gè)，而②中小紅每小時(shí)澆樹(shù)的棵數(shù)不相同。

生4：④中的圓周率和圓的周長(zhǎng)不是兩種相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)閳A周率是固定不變的量。

生5：我同意，前面3個(gè)材料中的兩種相關(guān)聯(lián)的量都是變化的。

師：你還能根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)，列舉出兩種量，它們也是相關(guān)聯(lián)的嗎？

生6：這幾天我正在看一本書(shū)，已看頁(yè)數(shù)和還剩頁(yè)數(shù)應(yīng)該是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生7：我的年齡和媽媽的年齡也是兩種相關(guān)聯(lián)的量，因?yàn)槲业哪挲g變化，媽媽的年齡也在變化。

……

師：你們現(xiàn)在覺(jué)得怎樣的兩種量是相關(guān)聯(lián)的量呢？

師相機(jī)出示：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化。

課始，教師采用學(xué)生熟悉的“石頭、剪刀、布”的游戲，緊扣學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)，讓每位學(xué)生都參與到游戲中，既充分激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，又使學(xué)生在潛移默化中感知贏的次數(shù)變化，得分也隨著變化，從而為學(xué)生學(xué)習(xí)“兩種相關(guān)聯(lián)的量”進(jìn)行了有效的思維預(yù)熱。

著名教育家烏申斯基說(shuō)：“比較是一切理解和思維的基礎(chǔ)，促成了我們對(duì)世界的了解?！苯虒W(xué)中，注重運(yùn)用比較策略，有利于學(xué)生把握區(qū)別，深化認(rèn)識(shí)。上述片段中，為了凸顯“兩種相關(guān)聯(lián)的量”的概念本質(zhì)，教師精心選擇了4個(gè)對(duì)比性學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)生判斷每個(gè)材料中的兩種量是否相關(guān)聯(lián)，學(xué)生在比較、反思、舉例中逐步發(fā)現(xiàn)：相關(guān)聯(lián)的兩種量首先是兩種變量，它們的變化可以是同向的，也可以是反向的，可以是相除、相乘、相加、相減關(guān)系的兩種量……學(xué)生依托教師提供的對(duì)比素材，主動(dòng)感知，層層剝離，實(shí)現(xiàn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的改組與重建，明晰兩種相關(guān)聯(lián)的量的概念本質(zhì)，即一種量變化，另一種量也隨著變化。這樣的設(shè)計(jì)遵循了學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的內(nèi)化，充實(shí)飽滿(mǎn)，意味深長(zhǎng)。

二、巧用教材素材，在類(lèi)比中建構(gòu)概念模型

【教學(xué)片段】理解“正比例的意義”

出示例題：一輛汽車(chē)在公路上行駛，行駛時(shí)間和路程如下表：

[時(shí)間/時(shí)＼&1＼&2＼&3＼&4＼&5＼&6＼&…＼&路程/千米＼&80＼&160＼&240＼&320＼&400＼&480＼&…＼&]

認(rèn)真觀察表中路程和時(shí)間的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

（學(xué)生獨(dú)立思考、小組交流后全班匯報(bào)）

生1：我發(fā)現(xiàn)了時(shí)間增加，路程也隨著增加，路程和時(shí)間是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

生2：我發(fā)現(xiàn)了每一組的路程除以時(shí)間的商相等。

生3：這輛汽車(chē)每小時(shí)行駛的速度都是80千米。

生4：時(shí)間每增加1小時(shí)，路程就增加80千米。

生5：時(shí)間擴(kuò)大幾倍，路程也擴(kuò)大幾倍。

生6：任意選兩組對(duì)應(yīng)的時(shí)間和路程，能組成比例。

……

師：剛才同學(xué)們通過(guò)觀察、計(jì)算、討論、交流發(fā)現(xiàn)了路程和時(shí)間的變化蘊(yùn)藏著這么多規(guī)律。有了這樣的變化規(guī)律，路程和時(shí)間就成正比例關(guān)系，路程和時(shí)間是成正比例的量。（板書(shū)：正比例）

出示“試一試”：購(gòu)買(mǎi)一種鉛筆的數(shù)量和總價(jià)如下表：

[數(shù)量/支 ＼&1 ＼&2 ＼&3 ＼&4 ＼&5 ＼&6 ＼&…＼&總價(jià)/元 ＼&0.4 ＼&0.8 ＼&1.2 ＼&1.6 ＼&2.0 ＼&2.4 ＼&…＼&]

數(shù)量和總價(jià)也成正比例關(guān)系嗎？（學(xué)生從例題的研究受到啟發(fā)，自主進(jìn)行探究）

匯報(bào)交流： ……

引導(dǎo)回顧：通過(guò)剛才的探究，你覺(jué)得成正比例的量都有哪些共同的特點(diǎn)？

生：成正比例的兩種量是兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量增加，另一種量也隨著增加，一種量擴(kuò)大或縮小幾倍，另一種量也擴(kuò)大或縮小幾倍，任意兩組對(duì)應(yīng)的數(shù)量能組成比例，每一組兩種量的商或者比值是一定的。

師：說(shuō)得真完整！數(shù)學(xué)家們又是怎樣概括正比例的意義的呢？能不能再簡(jiǎn)潔些呢？

（生深思片刻）

生1：我覺(jué)得“正”字表示的就是這兩種量的變化方向是相同的，因此“一種量增加，另一種量也增加”可以省去。

生2：兩種量的比值一定時(shí)，商也是一定的，所以只要留一個(gè)。

生3：（恍然大悟）根據(jù)比的基本性質(zhì)，當(dāng)兩種量的比值一定時(shí)，這兩種量必然是同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，當(dāng)然相對(duì)應(yīng)的兩組數(shù)據(jù)也可以組成比例。所以把“一種量擴(kuò)大或縮小幾倍，另一種量也擴(kuò)大或縮小幾倍，任意兩組對(duì)應(yīng)的數(shù)量能組成比例”也可省去。

生4：（迫不及待）原來(lái)成正比例的兩種量特點(diǎn)就是：相關(guān)聯(lián)，比值一定。

師：你真有眼光，你們的想法和數(shù)學(xué)家是一樣的?。ǔ鍪菊壤囊饬x）

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)當(dāng)是一個(gè)生動(dòng)活潑的、主動(dòng)地和富有個(gè)性的過(guò)程。”這里的富有個(gè)性是指學(xué)生在掌握知識(shí)的過(guò)程中，依靠自身理解，結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，從不同角度對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行探索與詮釋。上述教學(xué)活動(dòng)中，教師先出示例題，拋出開(kāi)放性問(wèn)題“認(rèn)真觀察表中路程和時(shí)間的變化，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？”有了前面學(xué)習(xí)活動(dòng)作鋪墊，學(xué)生的回答異彩紛呈，展示了自己多樣的認(rèn)知表達(dá)，對(duì)正比例有了初步的、個(gè)性化的理解。此時(shí)，教師沒(méi)有急于揭示正比例的意義，而是趁熱打鐵，再讓學(xué)生嘗試判斷“數(shù)量”和“總價(jià)”這兩種量是否成正比例，在判斷過(guò)程中學(xué)生對(duì)正比例的各個(gè)零散的特點(diǎn)自覺(jué)地進(jìn)行整合，在師生交流、生生互動(dòng)中初步總結(jié)出了正比例的意義?！皵?shù)學(xué)家們又是怎樣概括正比例的意義的呢？能不能再簡(jiǎn)潔些呢？”最后，教師適時(shí)提出這一問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生的深思，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，在與其他學(xué)生的思維碰撞中，抽絲剝繭，一步步觸及概念的本質(zhì)，真正建構(gòu)起概念模型。此時(shí)，正比例意義的揭示便水到渠成了。

上述教學(xué)過(guò)程，教師充分遵循兒童的認(rèn)知特點(diǎn)，巧用教材中的例題和試一試素材組織教學(xué)，由表及里、層層深入，讓學(xué)生展開(kāi)充分地思考、表達(dá)。雖然花時(shí)較多，但學(xué)生在學(xué)習(xí)中一直處于積極的思維狀態(tài)，學(xué)生的學(xué)習(xí)潛能得到充分發(fā)揮，回顧、分析、反思，去除“正比例的意義”的外殼，抽取概念本質(zhì)，學(xué)生在生動(dòng)活潑、富有個(gè)性化的自主學(xué)習(xí)活動(dòng)中有效建構(gòu)起數(shù)學(xué)概念模型。

三、改編游戲素材，在應(yīng)用中強(qiáng)化概念理解

【教學(xué)片段】利用新知，解決問(wèn)題

（播放“最強(qiáng)大腦”視頻）

師：想不想運(yùn)用我們今天剛學(xué)習(xí)的正比例的意義的知識(shí)也來(lái)玩玩這個(gè)游戲？

生：想！

課件出示：最強(qiáng)大腦在哪里？

生：在這里！（生熱情高漲，躍躍欲試）

（伴隨著“最強(qiáng)大腦”的背景音樂(lè)，先出示第一組數(shù)據(jù)1、15，數(shù)據(jù)停留在屏幕上的時(shí)間為2秒，接著出示第二組、第三組……）

張師傅生產(chǎn)零件的情況如下表：

[時(shí)間/時(shí)＼&1 ＼&2 ＼&4 ＼&6 ＼&8＼&… ＼&生產(chǎn)零件數(shù)量/個(gè)＼&25＼&40 ＼&60＼&180＼&200＼&… ＼&]

（學(xué)生們屏著呼吸，目不轉(zhuǎn)睛地盯著屏幕，嘴里輕輕地念叨，口算著每一組數(shù)據(jù)的比值）

師：表中列出的兩種量成正比例關(guān)系嗎？

生（異口同聲）：不成正比例！因?yàn)闀r(shí)間和生產(chǎn)數(shù)量雖然是兩種相關(guān)聯(lián)的量，但比值不相等！

師：看來(lái)，判斷兩種量是否成正比例關(guān)系，關(guān)鍵看什么？

生1：比值是不是相等。

生2：首先要看是不是兩種相關(guān)聯(lián)的量。

師：（豎起大拇指）你是“最強(qiáng)大腦”，還想再玩嗎！

（課件出示：做同一種服裝，做的套數(shù)和用布米數(shù)如下表。）

（幾個(gè)學(xué)生非常激動(dòng)地舉起了手）

生：老師，現(xiàn)在我就能判斷了！我從“做同一種服裝”上看出了：做的套數(shù)和用布米數(shù)是兩種相關(guān)聯(lián)的量，用布米數(shù)和做的套數(shù)的比值就是每套用布的米數(shù)的比值是一定的。

（師投去贊賞的目光，生紛紛點(diǎn)頭同意）

師：咦，看來(lái)，你們還能抓住關(guān)鍵詞句來(lái)判斷，“超強(qiáng)大腦”非你們莫屬！

師出示數(shù)據(jù)驗(yàn)證：

[服裝數(shù)量/套＼&1 ＼&2 ＼&3＼&4 ＼&5＼&…＼&用布數(shù)量/米＼&2.2＼&4.4 ＼&6.6＼&8.8＼&11＼&…＼&]

師：還敢接受挑戰(zhàn)嗎？

生：（信心滿(mǎn)滿(mǎn)）想！

課件出示：（1）圓的直徑和周長(zhǎng)。（2）小紅的年齡和身高。

生： ……

師：還想繼續(xù)嗎？

出示： x和y成正比例關(guān)系，空格處應(yīng)填幾？

生1：我知道空格處應(yīng)填7.2，因?yàn)?擴(kuò)大3倍是6，所以將2.4擴(kuò)3倍就是空格處的數(shù)據(jù)了。

生2：我用的是解比例的方法，列出的比例式是[22.4=][6y]。

生3：我是先求比值：2.4∶2=1.2，那么y∶6=1.2，y=1.2×6=7.2。

……

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的最終目的是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題，在應(yīng)用中加深對(duì)知識(shí)的深層理解，提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)的能力。上述片段中，教師將教材中的練習(xí)鞏固巧妙地進(jìn)行改編，使用學(xué)生非常喜愛(ài)的“最強(qiáng)大腦”游戲形式，在頗具神秘感的“最強(qiáng)大腦”的背景音樂(lè)中，數(shù)據(jù)短時(shí)出現(xiàn)、消失，再出現(xiàn)、再消失，營(yíng)造了緊張而有趣的練習(xí)氛圍，此時(shí)的學(xué)生必然會(huì)抓住概念中最本質(zhì)的特點(diǎn)，利用兩種相關(guān)聯(lián)的量的比值是否一定，進(jìn)行快速判斷。因而，材料2中學(xué)生根據(jù)“做同一種服裝”這一關(guān)鍵句直接判斷服裝數(shù)量和用布數(shù)量成正比例關(guān)系，貌似“出乎意料”，實(shí)則“順理成章”。后面的純文字表述在前面的層層鋪墊下，學(xué)生的正確判斷也已不再是難點(diǎn)。在最后一道練習(xí)題中，正因?yàn)閷W(xué)生在探究中對(duì)正比例的特點(diǎn)有了豐富的認(rèn)識(shí)，學(xué)生在解題時(shí)便能靈活地運(yùn)用，出現(xiàn)多種不同的解題方法。學(xué)生在游戲中身臨其境的體驗(yàn)勝過(guò)教師的千言萬(wàn)語(yǔ)，在循序漸進(jìn)式的練習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生變“認(rèn)真聽(tīng)”為“主動(dòng)想”，變“死記硬背”為“經(jīng)驗(yàn)積累”，學(xué)生對(duì)概念的理解在這樣的應(yīng)用、交流和積累中逐步深入、強(qiáng)化。

筆者認(rèn)為，概念教學(xué)應(yīng)摒棄讓學(xué)生簡(jiǎn)單復(fù)述、死記硬背的做法，杜絕教師越俎代庖式的簡(jiǎn)單歸納，重視在豐富的數(shù)學(xué)素材中，引領(lǐng)學(xué)生走近概念、主動(dòng)思索、智慧發(fā)現(xiàn)、明晰本質(zhì)、升華認(rèn)知。上述三個(gè)教學(xué)片段，教師沒(méi)有拘泥于教材，而是充分利用學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗(yàn)，用心打造豐富的教學(xué)素材，給學(xué)生提供了自主發(fā)現(xiàn)的突破口，促使學(xué)生主動(dòng)建立起對(duì)概念的整體認(rèn)知。學(xué)生能透過(guò)抽象的概念，在腦海中映射出多樣的、豐富的、個(gè)性化的理解，這樣的概念建構(gòu)是有生命力的、無(wú)痕的，學(xué)生對(duì)概念的理解也是深刻的、有效的。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]閆天靈.小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)策略的研究[J].天津師范大學(xué)，2010（3）.

（責(zé)任編輯：李雪虹）