陳明

[摘 要]

本研究以《角平分線》一課為研究載體，探索了幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)、特別是新知拓展環(huán)節(jié)中應(yīng)用的具體操作性的策略，并揭示了幾何畫板在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、以及教學(xué)效率等方面的重要的作用。

[關(guān)鍵詞]

幾何畫板；新知拓展；課例研究

一、問題的提出

2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“數(shù)學(xué)課程的設(shè)計與實施要充分考慮信息技術(shù)對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容和方式的影響，開發(fā)并向?qū)W生提供豐富的學(xué)習(xí)資源，把現(xiàn)代信息技術(shù)作為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和解決問題的有力工具，有效地改進(jìn)教與學(xué)的方式，使學(xué)生樂意并有可能投入到現(xiàn)實的、探索性的數(shù)學(xué)活動中去。”[1]幾何畫板以它的功能強(qiáng)大，動態(tài)表現(xiàn)對象之間的關(guān)系等優(yōu)點(diǎn)，已經(jīng)廣泛地應(yīng)用在數(shù)學(xué)教學(xué)中。從數(shù)學(xué)知識呈現(xiàn)的角度來看，幾何畫板可使抽象的概念具體化、形象化，充分揭示數(shù)學(xué)概念的形成與發(fā)展，數(shù)學(xué)思維的發(fā)展過程和數(shù)學(xué)實質(zhì)，展示數(shù)學(xué)思維的形成過程，使數(shù)學(xué)教學(xué)收到事半功倍的效果。從學(xué)生的能力培養(yǎng)來看，幾何畫板的使用能夠開闊解決數(shù)學(xué)問題的思路，培養(yǎng)思維能力改善課堂教學(xué)方式、學(xué)生參與和認(rèn)知方式等。

數(shù)學(xué)課堂教學(xué)通常由情境導(dǎo)入環(huán)節(jié)、新知講授環(huán)節(jié)、新知拓展環(huán)節(jié)、小結(jié)環(huán)節(jié)和布置作業(yè)構(gòu)成。新知拓展環(huán)節(jié)是課堂教學(xué)效果的升華部分，在本環(huán)節(jié)中教師對本節(jié)知識進(jìn)行變式訓(xùn)練，意在促進(jìn)學(xué)生對知識更加全面、深入地理解，是學(xué)生思維水平和數(shù)學(xué)能力提升的階段?？梢?，新知拓展環(huán)節(jié)在學(xué)生能力培養(yǎng)中的重要作用，但是，對于幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用，大多數(shù)的教師更愿意關(guān)注情境導(dǎo)入和新知講授環(huán)節(jié)中幾何畫板的應(yīng)用，而對于新知拓展環(huán)節(jié)通常是做點(diǎn)練習(xí)練練就結(jié)束了。這種做法對于幾何畫板與數(shù)學(xué)教學(xué)的深度融合是不利的，對于學(xué)生的能力培養(yǎng)也是不利的。因此，該研究以“角平分線”為例，通過課例研究的方式，揭示了幾何畫板在新知拓展環(huán)節(jié)中的具體操作性策略，以及其在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和教學(xué)效率等方面的重要的作用。

二、課例的選擇

該研究選擇的是北京師范大學(xué)出版義務(wù)教育教科書八年級下冊第一章第四節(jié)第二課時——角平分線這一課的內(nèi)容。本課內(nèi)容是在學(xué)習(xí)角平分線性質(zhì)及其逆定理后的第二課時，新知拓展環(huán)節(jié)所選習(xí)題，目的是讓學(xué)生明確“到角兩邊距離相等的點(diǎn)”和“到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)”的區(qū)別，和三角形內(nèi)角平分線與三角形外角平分線交點(diǎn)問題。授課教師是研究者本人授課。

三、課例研究的過程

（一）第一次教學(xué)過程及專家評價

1.常規(guī)教學(xué)過程描述

教師：請同學(xué)們完成如下習(xí)題。

習(xí)題內(nèi)容：三條交叉的公路a，b，c。現(xiàn)要建一個加油站P，使點(diǎn)P到直線a，b，c的距離相等，那么，點(diǎn)P有幾個位置可供選擇？你是如何發(fā)現(xiàn)的？（圖見5-1）

（學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)過的知識思考、交流）

學(xué)生1：有一處可選，在直線a，b，c圍成的三角形中，做△ABC三條角平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P所在。根據(jù)“三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三條邊距離相等”可知，點(diǎn)P到直線a，b，c距離相等，剛好符合題目要求。

學(xué)生2：有四處可選（同學(xué)們都非常吃驚）。除三角形的內(nèi)角外，我在三角形外部還找到三點(diǎn)，分別是△ABC外角平分線的交點(diǎn)。點(diǎn)P、P1、P2、P3為所求。

教師：哪位同學(xué)可以說明到角兩邊距離相等的點(diǎn)集中在哪里？到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)集中在哪里？

學(xué)生3：到角兩邊距離相等的點(diǎn)集中在這個角的平分線上；到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)……

（學(xué)生心中認(rèn)為兩個問題的答案是一樣的，但又感覺不對。）

學(xué)生4：兩條相交直線形成四個角，所以到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)在四個角的平分線上。

（有些學(xué)生恍然大悟，有些學(xué)生仍然沒有理解。）

教師：那么如圖所示到三條相交的公路距離相等的點(diǎn)在什么位置呢？

學(xué)生5：應(yīng)該在3個內(nèi)角，6個外角和3個內(nèi)角的對頂角的平分線上。

（少數(shù)學(xué)生經(jīng)過思考，認(rèn)同學(xué)生5的觀點(diǎn)，其余學(xué)生顯然沒有參與題目的思考。）

教師：哪位同學(xué)可以幫老師畫出來？

學(xué)生6：在黑板上利用尺規(guī)作圖，畫出學(xué)生5的猜想。

（學(xué)生6繪制結(jié)果見圖5-2）

（在作角平分線時，無論怎樣準(zhǔn)確都或多或少存在誤差。因此總是不能得到學(xué)生2的結(jié)論，思維就更加混亂。學(xué)生開始懷疑自己的猜想，腦中原本形成的大致思路已經(jīng)被打亂。最后，學(xué)生無措地注視著老師。）

教師：在黑板上畫圖

（即使稍有誤差，有教師的權(quán)威也可以將問題講述清楚。）

學(xué)生：只能就題論題，無法全面準(zhǔn)確地認(rèn)識問題的本質(zhì)，在圖形都不準(zhǔn)確的情況下，更無法自行探究并獨(dú)立證明。

（直到題目講解結(jié)束，學(xué)生沒有完全領(lǐng)會新知拓展環(huán)節(jié)的目的。）

【設(shè)計意圖】在新知拓展環(huán)節(jié)選擇此題意在將“到角兩邊距離相等的點(diǎn)”這一定理拓展到“到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)”的層面上來，同時考察學(xué)生對新知講授環(huán)節(jié)中例題的理解和掌握程度。教師首先引導(dǎo)學(xué)生辨析“到角兩邊距離相等的點(diǎn)”這一定理拓展到“到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)”的不同，再用習(xí)題將知識遷移到到三條相交之間距離相等的點(diǎn)上，要求學(xué)生動手繪制圖形，可以增強(qiáng)學(xué)生的課堂參與程度加深印象。

2.專家評價

在常規(guī)的新知拓展環(huán)節(jié)中，教師用言語啟發(fā)學(xué)生的想象能力，可以明確“到角兩邊距離相等的點(diǎn)”與“到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)”的區(qū)別，但是當(dāng)涉及到交點(diǎn)數(shù)量時，課堂上就會出現(xiàn)許多的質(zhì)疑，究其原因有以下幾個：

其一，學(xué)生思維局限性。八年級的學(xué)生所接觸的幾何知識較為簡單具體，面對復(fù)雜的、需要在思維層面上高度想象的學(xué)習(xí)任務(wù)，學(xué)生的能力就略顯不足。這一點(diǎn)從回答教師提問的學(xué)生數(shù)學(xué)變少可以得到驗證。

其二，誤差問題。通過課堂觀察，可以看到學(xué)生要在短時間內(nèi)完成6條角平分線的繪制，在作圖過程中不可避免地會存在一定的誤差，這樣交點(diǎn)數(shù)量就會發(fā)生變化。學(xué)生的注意力被繪圖吸引，耗時耗力，最后無法或無時間獨(dú)立完成對結(jié)論的證明。

其三，課堂進(jìn)度。本環(huán)節(jié)為新知拓展環(huán)節(jié)，課堂時間應(yīng)控制在10～15分鐘。學(xué)生在繪圖環(huán)節(jié)若花費(fèi)較長時間，那么后續(xù)的猜想、證明及驗證過程就無法正常完成，學(xué)生對本題的結(jié)論存在質(zhì)疑，本題的條件認(rèn)識不清，那么新知拓展環(huán)節(jié)的教學(xué)任務(wù)就沒有完成。在規(guī)定的教學(xué)時間內(nèi)，沒有取得最優(yōu)的教學(xué)效果。

在專家的建議之下，上課教師將幾何畫板應(yīng)用到新知拓展環(huán)節(jié)中，并進(jìn)行了第二次教學(xué)。

（二）第二次教學(xué)過程及專家評價

在第二次教學(xué)中，教師在新知拓展環(huán)節(jié)利用幾何畫板，與學(xué)生一同深化“三角形三個內(nèi)角的平分線交于一點(diǎn)”這一性質(zhì)的理解。具體的教學(xué)過程如下文所描述。

1.幾何畫板整合的教學(xué)過程描述

教師：請同學(xué)們完成如下習(xí)題。

習(xí)題如內(nèi)容：三條交叉的公路a，b，c。現(xiàn)要建一個加油站P，使點(diǎn)P到直線a，b，c的距離相等，那么，點(diǎn)P有幾個位置可供選擇？你是如何發(fā)現(xiàn)的？（見圖5-3）

（學(xué)生利用已學(xué)過的知識思考、交流。）

學(xué)生1：有一處可選，在直線a，b，c圍成的三角形中，做△ABC三條角平分線，交點(diǎn)即為點(diǎn)P所在。根據(jù)”三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，且這點(diǎn)到三條邊距離相等“可知，點(diǎn)P到直線a，b，c距離相等，剛好符合題目要求。

學(xué)生2：有四處可選（同學(xué)們都非常吃驚）。除三角形的內(nèi)角外，我在三角形外部還找到三點(diǎn)，分別是△ABC外角平分線的交點(diǎn)。如圖，點(diǎn)P、P1、P2、P3為所求。

教師：哪位同學(xué)可以說明到角兩邊距離相等的點(diǎn)集中在哪里？到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)集中在哪里？

學(xué)生3：到角兩邊距離相等的點(diǎn)集中在這個角的平分線上；到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)……（學(xué)生心中認(rèn)為兩個問題的答案是一樣的，但又感覺不對。）

學(xué)生4：兩條相交直線形成四個角，所以到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)在四個角的平分線上。

教師：那么如圖所示到三條相交的公路距離相等的點(diǎn)在什么位置呢？

學(xué)生5：應(yīng)該在3個內(nèi)角，6個外角和3個內(nèi)角的對頂角的平分線上。

教師：哪位同學(xué)可以幫老師畫出來？

學(xué)生6：利用幾何畫板在屏幕上完成圖形的繪制（學(xué)生6繪制圖形見圖5-4），并明確地發(fā)現(xiàn)這些角平分線的交點(diǎn)只有4個。

（沒有機(jī)會利用幾何畫板的學(xué)生在完成自己的圖形繪制后，觀察屏幕上已有的圖形，可以對自己的圖形進(jìn)行檢查和修改。）

學(xué)生6：老師我覺得屏幕上的圖形繪制是具有特殊性的，如果改變?nèi)切蜛BC的形狀，那么交點(diǎn)的數(shù)量會發(fā)生改變的。

教師：利用幾何畫板改變?nèi)切蔚男螤睿ㄗ冃魏笕切我妶D5-5），請學(xué)生觀察、討論。3個內(nèi)角，6個外角和3個內(nèi)角的對頂角的平分線所在的直線共有幾條？這些直線共有幾個交點(diǎn)？哪位同學(xué)可以證明你的結(jié)論？

學(xué)生7：利用平角知識證明三點(diǎn)共線，得出所有角平分線所在的直線共有6條；利用角平分線逆定理證明6條角平分線交點(diǎn)有4個。

【設(shè)計意圖】在新知拓展環(huán)節(jié)選擇此題意在將“到角兩邊距離相等的點(diǎn)”這一定理拓展到“到兩條相交直線距離相等的點(diǎn)”的層面上來，同時考察學(xué)生對新知講授環(huán)節(jié)中例題的理解和掌握程度。教師選擇利用幾何畫板引領(lǐng)學(xué)生繪制圖形，其目的在于提高課堂效率，有效降低不必要誤差率，把更多的課堂時間留給學(xué)生思考，驗證，證明。而選擇利用幾何畫板引領(lǐng)學(xué)生繪制圖形，并不是用幾何畫板替代學(xué)生繪制圖形，是由于幾何畫板可以提升學(xué)生的思維品質(zhì)，卻不能也不應(yīng)該用其來代替學(xué)生的思考。

2.專家評價

在幾何畫板優(yōu)化新知拓展環(huán)節(jié)中，教師安排一名學(xué)生使用幾何畫板完成作圖，其余學(xué)生動手繪制。在大屏幕上正確范例的影響下，手繪的同學(xué)可以及時發(fā)現(xiàn)些問題的關(guān)鍵點(diǎn)：角平分線交點(diǎn)的數(shù)量。

在正確的圖形影響下，學(xué)生們先自己動手作圖驗證，即使所作圖形與大屏幕不同，學(xué)生們也不會將精力全部集中在作圖上，有些同學(xué)會改變方式，借鑒上例的經(jīng)驗用幾何推理來證明交點(diǎn)的個數(shù)。這樣做即解決了學(xué)生思維局限性問題，又解決了誤差問題。還提高了課堂的效率。在課堂時間不變的情況下，留給學(xué)生更多的思考時間，也可以改變?nèi)龡l路的相對位置，交點(diǎn)數(shù)量是否發(fā)生改變，加深學(xué)生對知識理解的深度。在科學(xué)規(guī)定的課堂教學(xué)時間內(nèi)，在學(xué)生思維水平不變的情況下，能夠取得最優(yōu)的教學(xué)效果。

在新知拓展環(huán)節(jié)引入幾何畫板的目的是為了優(yōu)化幾何課堂教學(xué)，而不是為了炫耀幾何畫板的功能。因此，在利用幾何畫板前，應(yīng)客觀判斷其使用的必要性。針對本節(jié)課教師可以利用幾何畫板提高學(xué)生作圖效率和準(zhǔn)確率，但是不能忽視交點(diǎn)數(shù)量的證明過程。

四、結(jié)束語

通過幾何畫板在數(shù)學(xué)新知拓展環(huán)節(jié)應(yīng)用的課例研究，研究者探索了幾何畫板在數(shù)學(xué)教學(xué)、特別是新知拓展環(huán)節(jié)中應(yīng)用的具體操作性的策略，并揭示了幾何畫板在學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性、以及教學(xué)效率等方面的重要的作用。

[參 考 文 獻(xiàn)]

[1]義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）.中華人民共和國教育部[S].北京師范大學(xué)出版社，2012.

（責(zé)任編輯：張華偉）