杜啟忠

摘 要：以高中不等式部分為例，探討三種類型的易錯(cuò)題目，并歸納這些易錯(cuò)題型的解題技巧，力求對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)提供有益的理論借鑒。

關(guān)鍵詞：不等式；易錯(cuò)題型；解題技巧

易錯(cuò)題型及解題技巧歸納可以使高中生在解題過程中降低同類型題目的錯(cuò)誤率，輔助學(xué)生排除不同知識(shí)模塊之間的遷移干擾，輔助學(xué)生構(gòu)建起完整的高中數(shù)學(xué)知識(shí)體系，使高中生數(shù)學(xué)解題能力得到綜合提高。因此，高中數(shù)學(xué)教師要加強(qiáng)對(duì)易錯(cuò)題型及解題技巧的歸納教學(xué)。本文以高中不等式部分為例，探討三種類型的易錯(cuò)題目，并歸納這些易錯(cuò)題型的解題技巧，力求對(duì)高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)提供有益的理論借鑒。

一、線性規(guī)劃類易錯(cuò)題型和解題技巧

高中數(shù)學(xué)教師在開展易錯(cuò)題型及解題技巧歸納教學(xué)時(shí)，要針對(duì)線性規(guī)劃類題目作出重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)。線性規(guī)劃與不等式相結(jié)合的題目類型，往往都會(huì)要求學(xué)生通過計(jì)算求得最大值或最小值。線性規(guī)劃與不等式相結(jié)合的題目基本解題思路是：明確不等式的定義域或者涉及的面積范圍，從而直接求出結(jié)果。線性規(guī)劃類題目的解題技巧即是應(yīng)用線性規(guī)劃和不等式之間的性質(zhì)關(guān)系，在具體的解題過程中將二者以題目中已知的線索有機(jī)聯(lián)系起來，從而快速得到正確答案。

例：現(xiàn)在有b>0，還知道以下三個(gè)條件：（1）x大于且等于1；（2）x+y小于且等于3；（3）y大于且等于b（x-3）。假設(shè)t=2x+y，它的最小值是1。請(qǐng)求出b的值是多少？學(xué)生在解這道題時(shí)，很容易在求三條直線所圍成的三角形面積時(shí)出錯(cuò)，而且這道題是常見題型的變式題目，是在已知最值的情況下，要求對(duì)題目指定直線的位置變量進(jìn)行求解。解題技巧如下：定位當(dāng)前目標(biāo)函數(shù)t=2x+y，假設(shè)目標(biāo)函數(shù)在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)，該點(diǎn)為B，這時(shí)不等式的最小值按照題干可知為1，這樣就可以確定B點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，-2b），接下來代入原目標(biāo)函數(shù)可得1=2-2b，又因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)經(jīng)過B點(diǎn)，進(jìn)而可以進(jìn)一步得出b點(diǎn)的確定值，最后解得b=。接下來高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)針對(duì)該類型題目的解題技巧進(jìn)行歸納：第一，要引導(dǎo)學(xué)生明確函數(shù)最值是解決該問題的關(guān)鍵，培養(yǎng)學(xué)生能夠根據(jù)題干中給出的不等式定位可行域的范圍，這樣便可以順理成章地解得固定值。在這道題的解題過程中，因?yàn)轭}干已經(jīng)明確說明了b>0，那么也就意味著y=b（x-3）必然只能限制在一、三象限內(nèi)，三角形的可行域范圍由此可以輕而易舉地圈定出來。

二、參數(shù)不等式類易錯(cuò)題型和解題技巧

參數(shù)不等式是不等式題目中較難的一個(gè)類型，但是參數(shù)不等式的解題思路非常明確，解決參數(shù)不等式題目的關(guān)鍵就是要對(duì)不等式中的未知參數(shù)展開具體分析。高中數(shù)學(xué)教師在解題教學(xué)中尤其要針對(duì)參數(shù)的范圍重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)，引導(dǎo)學(xué)生形成分類討論的數(shù)學(xué)思維。在分類討論過程中，高中數(shù)學(xué)教師要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)討論結(jié)果必須涵蓋所有可能性，不能缺失，也不能重復(fù)。

例：現(xiàn)在有不等式（x-e）（x-1）<0，請(qǐng)求出該不等式的解。

分類討論思路為：對(duì)參數(shù)e展開分類討論，確定其取值范圍。具體解法如下：

當(dāng)e<1時(shí)，可以求得e0時(shí)，可以求得1

三、高次不等式類易錯(cuò)題型和解題技巧

高次不等式類型題目也是高中不等式解題中學(xué)生常常出錯(cuò)的集中區(qū)域，在高中不等式解題教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師不能忽視高次不等式類易錯(cuò)題型和解題技巧的歸納。針對(duì)高次不等式的解題，學(xué)生往往將相關(guān)區(qū)域搞混，尤其是涉及特殊區(qū)域或者相關(guān)特殊點(diǎn)的確定時(shí)，大部分學(xué)生感到十分困惑。高中數(shù)學(xué)教師在教學(xué)高次不等式時(shí)，首先要針對(duì)學(xué)生的畏難心理進(jìn)行疏導(dǎo)，在教學(xué)中使學(xué)生清晰地看到隱藏在高次不等式復(fù)雜性中的規(guī)律性，從而準(zhǔn)確解出題目。

例，假設(shè)由題干可知，高次不等式（t-1）（t-2）（t-3）>0，問題是：求該高次不等式的解。學(xué)生在最初看到這個(gè)題目時(shí)，常常會(huì)感到無從下手，這時(shí)高中數(shù)學(xué)教師要適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生：同學(xué)們，解這個(gè)高次不等式，必須先確定不等式的根，因此，我們首先可以在草紙上畫出草圖，然后再運(yùn)用我們學(xué)過的穿根法求得該高次不等式的解。在高中數(shù)學(xué)教師的引導(dǎo)下，高中生開始動(dòng)手畫出草圖，并在數(shù)軸上確定了這個(gè)高次不等式的四個(gè)區(qū)間，然后高中數(shù)學(xué)教師要引導(dǎo)學(xué)生在草圖上標(biāo)注好代表不等式大于零的區(qū)域以及代表不等式小于零的區(qū)域，可以通過正負(fù)號(hào)表示出來。這時(shí)，高中數(shù)學(xué)教師再引導(dǎo)學(xué)生回歸題干，展開具體講解：（t-1）（t-2）（t-3）>0這個(gè)不等式求解可以根據(jù)草圖中13這兩個(gè)范圍區(qū)間進(jìn)行確定，因?yàn)檫@兩個(gè)區(qū)間能夠滿足高次不等式t的已知條件。所以高次不等式的解題技巧就是要通過畫圖來確定高次不等式根的取值范圍，再將題干與圖形串聯(lián)起來。

高中數(shù)學(xué)不等式部分的教學(xué)十分重要并且具有一定難度，因此，高中不等式易錯(cuò)題型及解題技巧歸納可以輔助學(xué)生梳理解題思路，使學(xué)生形成嚴(yán)密的數(shù)學(xué)思維能力。高中數(shù)學(xué)教師要在實(shí)踐教學(xué)過程中不斷總結(jié)經(jīng)驗(yàn)，反思教訓(xùn)，提高高中不等式易錯(cuò)題型及解題技巧教學(xué)的水平。

參考文獻(xiàn)：

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