梁忠民，王旭偉，寧亞偉，王 軍，李彬權，胡義明

(河海大學水文水資源學院，江蘇 南京 210098)

0 引言

馬斯京根法(以下簡稱“馬法”)物理概念明確，已在世界上眾多河流的洪水演算中得到了廣泛應用［1］。馬法誤差的來源包括輸入項誤差(即上斷面及區(qū)間入流誤差)、模型本身誤差(即模型結構及參數(shù)估計誤差)［2-3］。目前對參數(shù)估計誤差的研究較多，一般可通過試錯法、最小二乘法、非線性規(guī)劃法以及一些智能算法等［4-8］，得到模型的最優(yōu)參數(shù)估計值，以提高演算精度，但關于馬法中輸入項誤差的研究相對較少。而水文系統(tǒng)是一個由許多變量組成的復雜的非線性系統(tǒng)，具有時變、空間分布不均和不確定性等特點［9］。盡管采用完整的動力模型描述水文系統(tǒng)存在困難，但這些模型一般存在一系列特解，這就是多年的觀測資料［10］。因此，只要能利用觀測資料求解出與數(shù)值求解相反的問題，就可以反演出能近似描述水文動力系統(tǒng)運動方程的非線性模式［11-12］。

基于上述思想，本文應用系統(tǒng)反演理論，建立馬法中上斷面入流項、區(qū)間輸入項及模型系統(tǒng)本身誤差的非線性反演方程，對各誤差進行校正，從而構建基于系統(tǒng)反演理論的馬法演算誤差校正方法，以提高河道下斷面水文要素的預報精度。將該方法應用于淮河中游潤河集站的洪水預報，取得了較好的預報效果。

1 模型構建

考慮區(qū)間入流的馬法演算方程可表示為

式中，t+Δt為給定預報時刻;It、It+Δt分別為河道上斷面的實測和預報流量;Qt、Qt+Δt為下斷面的實測與預報流量;qt+Δt為區(qū)間預報流量;K為蓄量關系曲線的坡度;X為流量比重系數(shù)。

It+Δt和 qt+Δt一般是通過某種方法預報獲得的，因而不可避免地存在預報誤差。該誤差又會在馬斯京根方程演算過程中傳遞給Qt+Δt，同時馬斯京根法本身也存在誤差;從而使得最終的預報結果會有一定誤差。為了降低最終預報結果的誤差，本文根據(jù)動力系統(tǒng)反演理論構建上述各項誤差的反演方程，分別對其進行校正，以提高“水資源高效開發(fā)利用”研究項目的預報精度。

1.1 動力系統(tǒng)反演理論

狀態(tài)隨時間而變的系統(tǒng)稱之為動力系統(tǒng)，可由特定的方程(如微分方程)表示。動力系統(tǒng)的反演就是由觀測資料反求描述動力系統(tǒng)方程的過程［9］。水文系統(tǒng)的發(fā)展變化受多種因素的影響［13-15］。以一個含有3個水文變量x，y，z的系統(tǒng)為例，構建以下方程組來描述系統(tǒng)的運動。即

若把系統(tǒng)中變量x隨時間的變化作為研究對象，對于上述方程組中的第一個方程，雖然參數(shù)a1，a2，a3，…，a10都是未知的，但可從觀測資料中找到該方程的特解，同時對上述的微分dx/dt取差分形式則可得到在t時刻的反演方程

若觀測數(shù)據(jù)時間序列長度為n，則對每一個時刻都有上述的方程，合并這些方程便可建立下列的反演方程矩陣

式中，M為變量矩陣;A為系數(shù)向量;Δt是時間間隔;n是時間序列的長度。

利用向量的最小二乘估計，即殘差平方和極小化方法［16-17］，可求出系數(shù)向量

具體應用時，一般可剔除A中一些系數(shù)貢獻非常小的項，以相對方差作為剔除依據(jù)［16］。即

對Wk小于某一規(guī)定值的系數(shù)項，予以剔除。

1.2 馬斯京根演算誤差的動力系統(tǒng)反演校正

根據(jù)式(1)，馬法預報結果Qt+Δt的誤差來源可分為三部分:It+Δt的誤差的誤差方程本身的誤差考慮上述三種誤差的馬斯京根方程下斷面預報出流的校正值為

式中，M'為M的轉置矩陣。

因此，根據(jù)t時刻及其之前時刻水文變量的實測值和預報值，按式(1)～式(6)可以構造誤差的反演方程，據(jù)此計算t+Δt時刻相應的誤差值，再由式(7)計算下斷面預報流量的校正值。

對式(8)中誤差的微分用差分格式代替，則有

將式(9)代入式(8)得

根據(jù)式(10)即可得到上斷面入流項的誤差校正結果;同理，亦可建立區(qū)間入流項及馬法模型本身誤差的反演方程。但區(qū)間流域往往缺乏實測洪水數(shù)據(jù)，這時可以將該兩項誤差合成(記為ε't+Δt)，統(tǒng)一進行系統(tǒng)反演。由式(1)可知

根據(jù)歷史場次洪水數(shù)據(jù)以及相應的區(qū)間預報值，得到誤差 ε't+Δt時間序列，參照式(10)建立其反演方程

求得式(10)的系數(shù)向量A和式(12)的系數(shù)向量A'后，即可計算出誤差再根據(jù)式(7) 進行下斷面預報值的修正，從而實現(xiàn)馬法的動力系統(tǒng)反演校正預報。

2 應用研究

2.1 研究區(qū)概況

選用淮河流域潤河集站為研究站點，對本文方法進行應用檢驗。淮河潤河集站位于淮河中游，控制流域面積40 360 km2。潤河集站斷面的洪水來源分為五部分:淮河干流王家壩、官沙湖分洪道釤崗、洪河分洪道地理城、史河蔣家集以及上述入流斷面與潤合集之間的區(qū)間流域入流。流域水系概化如圖1所示。

圖1 淮河潤河集站控制斷面流域水系概化

2.2 方法應用

根據(jù)淮河流域2004年至2010年的觀測數(shù)據(jù)，采用“先合后演”的馬法對潤河集站進流量預報，即根據(jù)新安江模型預報潤合集上游4個站的入流(限于篇幅預報結果略，下同)，再合成作為上游河道的總入流;區(qū)間入流亦采用新安江模型進行預報，并作為旁側入流加入馬法演算，從而得到潤合集斷面流量過程(見表1～3);其中，根據(jù)河道洪水傳播特性，預報時間步長Δt取10 h。

根據(jù)已有研究成果［18］，確定采用的馬法參數(shù)為:x=0.087;K=50.7;C0=0.012;C1=0.183;C2=0.805。選用6場洪水資料對反演方程的參數(shù)進行率定和檢驗，其中3場用于反演方程參數(shù)向量A和A'的率定，3場進行驗證。參數(shù)A和A'的率定結果分別見表1和表2，校正前后場次洪水精度統(tǒng)計結果見表3，其中兩場洪水校正前后過程線對比如圖2所示。

表1 反演方程系數(shù)向量A的率定結果

表2 反演方程系數(shù)向量A'的率定結果

表3 淮河潤河集站場次洪水馬法演算及校正結果

圖2 淮河潤河集站洪水馬法演算校正前后對比

從表3及圖2以看出，馬斯京根法較適合于研究區(qū)河道的洪水演算，6場洪水校正前的峰/量誤差都在15%以內，確定性系數(shù)平均達0.80以上;但經(jīng)過動力系統(tǒng)誤差反演校正后，精度可進一步提升，其中峰、量誤差均在10%以內，確定性系數(shù)在0.90以上。另外，校正前后洪峰滯時差異不甚明顯，綜合比較而言，校正后的預報精度有較明顯提高。

3 結論

本文提出了一種基于動力系統(tǒng)反演的馬法河道洪水演算校正新方法，并以淮河干流潤河集站為例進行了研究，主要結論如下:

(1)馬法河道洪水演算中可能存在三類誤差。即，上斷面入流項I(t+Δt)的預報誤差、區(qū)間入流項q(t+Δt)的預報誤差以及馬法本身模型的誤差;動力系統(tǒng)反演作為一種從特解去歸納出系統(tǒng)方程的方法，可用以構建馬法誤差項的反演方程，實現(xiàn)各項誤差的實時校正，從而提高洪水預報精度。

(2)對淮河干流潤合集站的應用結果表明，按系統(tǒng)反演技術建立的誤差校正模型，可有效降低洪水演算誤差，峰量相對誤差在10%以內，確定性系數(shù)達0.90以上，預報精度有較明顯提升。

(3)本文以馬法為例構建了基于系統(tǒng)反演的預報校正方法，但方法的思路亦可應用于其他水文預報的實時修正問題。

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