潘晶++邢慶丹++陳雪嬌

摘要：這篇文章構(gòu)造了帶參數(shù)的三角Bézier基函數(shù)，并且引入調(diào)節(jié)矩陣，得到帶形狀參數(shù)l的二階三角Bézier曲線。它既保留了 Bézier 曲線的性質(zhì)，又具有形狀可調(diào)性且能精確表示圓錐曲線。曲線拼接的條件簡(jiǎn)單，是[Gn]連續(xù)的。此方法具有一般性，為復(fù)雜曲線的設(shè)計(jì)創(chuàng)造了條件。

關(guān)鍵詞：三角Bézier曲線；形狀參數(shù)；連續(xù)性；曲線拼接；保形

中圖分類(lèi)號(hào)：TP391 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1009-3044（2016）32-0247-04

Order Two Trigonometric Bézier Curves with [Gn] Continuity

PAN Jing， XING Qing-dan， CHEN Xue-jiao

（ School of Mathematics of Liaoning Normal University， Liaoning 116029， China）

Abstract： This paper constructs a series of trigonometric Bézier basis function with the shape parameters，adding adjustment matrix ，and the two order triangular Bézier curves with shape parameter l are obtained. It retains the properties of Bézier curve. It is shape adjustable curves and it can accurately represent ellipse and circle. The curves are [Gn] continuous and the condition of curves blending is simple. This method is general， which creates the conditions for the design of complex curves.

Key words： triangular Bézier curve； shape parameter； continuity； curve blending； conformal

1 引言

在計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)（ CAGD） 中，Bézier 曲線一直占有重要地位。然而其無(wú)法進(jìn)行形狀調(diào)整、不能精確表示橢圓、圓等圖形的不足引起了許多學(xué)者的關(guān)注。文獻(xiàn)[1-5]構(gòu)造了含參數(shù)、性質(zhì)類(lèi)似于Bernstein基函數(shù)的新的基函數(shù)，使得定義曲線在具備Bézier 曲線基本性質(zhì)的同時(shí)，還具有形狀可調(diào)性。文獻(xiàn)[6-7]中定義的三角多項(xiàng)式曲線解決了Bézier 曲線不能精確表示圓錐曲線的問(wèn)題。文獻(xiàn)[1-7]中定義的曲線都可以在不改變控制頂點(diǎn)的情況下，通過(guò)改變形狀參數(shù)的值對(duì)曲線進(jìn)行形狀調(diào)整。文獻(xiàn)[1][5]有別于其他曲線，曲線的2至你l階導(dǎo)失和一階導(dǎo)失一樣，都與首末控制邊平行。這對(duì)拼接時(shí)要求高階光滑性的曲線造型十分方便。

利用二階三角Bézier基函數(shù)，引入形狀參數(shù)，可以通過(guò)調(diào)整參數(shù)對(duì)曲線進(jìn)行局部形狀調(diào)整，并且引入調(diào)節(jié)矩陣，使得曲線切點(diǎn)位于首末控制邊中點(diǎn)，且達(dá)到[Gn]連續(xù)，能精確表示橢圓和圓。

2 [Gn]連續(xù)的二階三角Bézier 基函數(shù)

2.1 基函數(shù)的定義

定義1：對(duì)于自變量[t∈[0，π2]]，稱(chēng)表達(dá)式：

[b0，2（t）=12（1-sint）l+1b1，2（t）=1-12（1-sint）l+1-12（1-cost）l+1b2，2（t）=12（1-cost）l+1] （1）

為切點(diǎn)可調(diào)的連續(xù)的二階三角Bézier多項(xiàng)式基函數(shù)。其中l(wèi)為形狀參數(shù)，， 。

規(guī)定矩陣[1200121120012]為調(diào)節(jié)矩陣，則 （1）式的矩陣表現(xiàn)形式為：

[b0，2（t）b1，2（t）b2，2（t）]=[1200121120012（1-sint）l+11-（1-sint）l+1-（1-cost）l+1（1-cost）l+1]

2.2 基函數(shù)的性質(zhì)

性質(zhì)1：非負(fù)性

當(dāng)[t∈[0，π2]]時(shí)，對(duì)所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）≥0]。

性質(zhì)2：規(guī)范性

[i=02bi，2（t）=1]

性質(zhì)3：對(duì)稱(chēng)性

當(dāng)[t∈[0，π2]]時(shí)，對(duì)所有[i=0，1，2]，有[bi，2（t）=b2-i，2（π2-t）]。

性質(zhì)4：端點(diǎn)函數(shù)值

[b0，2（0）=12] [b1，2（0）=12] [b2，2（0）=0]

[b0，2（π2）=0] [b1，2（π2）=12] [b2，2（π2）=12]

性質(zhì)5：端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)值

當(dāng)時(shí)，有：

[b（j）0，2（0）=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）！] [b（j）0，2（π2）=0]

[b（j）1，2（0）=（-1）j+1（l+1）！2（l-j+1）！] [b（j）0，2（π2）=-（l+1）！2（l-j+1）！]

[b（j）2，2（0）=0] [b（j）0，2（π2）=（l+1）！2（l-j+1）！]

3 [Gn]連續(xù)的二階三角Bézier 曲線

3.1 曲線的定義

定義2 給定3個(gè)控制頂點(diǎn)[Pi∈?2或?3]，[t∈[0，π2]]，稱(chēng)：

[p（t）=i=02Pibi，2（t） ] （2）

為[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier曲線。其中，[i=0，1，2]，[l=0，1，2，...，n] 2.2曲線的性質(zhì)。

3.2 曲線的性質(zhì)

性質(zhì)1： 凸包性

由[Gn]連續(xù)二階三角Bézier基的非負(fù)性和規(guī)范性即可得到。

性質(zhì)2：對(duì)稱(chēng)性

由控制多邊形[P0P1P2]和[P2P1P0]所生成的曲線是相同的，只是定向相反。

性質(zhì)3：幾何不變性

[Gn]連續(xù)二階三角Bézier多項(xiàng)式基函數(shù)具有規(guī)范性，因此[Gn]連續(xù)二階三角Bézier曲線具有幾何不變性。

性質(zhì)4：端點(diǎn)性質(zhì)

[p（0）=12P0+12P1=12（P0+P1）]

[p（π2）=12P1+12P2=12（P1+P2）]

[p（j）（0）=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）！P0+（-1）j+1（l+1）！2（l-j+1）！P1]

[p（j）（π2）=-（l+1）！2（l-j+1）！P1+（l+1）！2（l-j+1）！P2]

3.3 參數(shù)的幾何意義

由[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier曲線的端點(diǎn)性質(zhì)：

[p（0）=12P0+12P1=12（P0+P1）] [p（π2）=12P1+12P2=12（P1+P2）]

可知，調(diào)節(jié)矩陣將切點(diǎn)位置控制在[P0P1、] [P1P2]的中點(diǎn)，不同于切點(diǎn)在首末控制點(diǎn)的其他帶參數(shù)三角Bézier曲線，為優(yōu)化曲線拼接提供了條件。

l調(diào)節(jié)曲線的連續(xù)階數(shù)，l越大，曲線越接近控制多邊形，使曲線具有保形性。

4 曲線拼接

本節(jié)討論[Gn]連續(xù)二階三角Bézier曲線的光滑拼接條件，首先給出 一個(gè)引理。

引理1：設(shè)[t∈[0，π2]]，假設(shè)兩條曲線[f（t）]與[g（t）]在[f（1）=g（0）]處相連，如果當(dāng)1時(shí)， [f（j）（1）=Fj（Vb-Va）g（j）（0）=（-1）j-1Gj（Vb-Va）] （3）

式中，和是與j有關(guān)的常數(shù)，并且，則兩條曲線在連接點(diǎn)處[Gn]連續(xù)。

證明：為了使兩條曲線在公共連接點(diǎn)處達(dá)到[Gn]連續(xù)，

[g（0）g′（0）g″（0）g?（0）g（4）（0）?g（l）（0）=Bf（1）f′（1）f″（1）f?（1）f（4）（1）?f（l）（1）] （4）

式（4）中的關(guān)聯(lián)矩陣為：

式中，[β1>0]。將式（3）代入式（4）并約掉等式兩邊的公共部分[Vb-Va]，得到：

[G1-G2G3-G4?（-1）l-1Gl=BF1F2F3F4?Fl] （5）

顯然由式（5）可以求出[βi（1≤i≤l）]的唯一解，并且[β1=G1F1>0]，因此證明兩條曲線可達(dá)到[Gl]連續(xù)。

證畢。

設(shè)兩條相鄰的帶形狀參數(shù)的二階三角Bézier曲線的表達(dá)式分別為

[p1（t）=i=02Pibi，2（t）]，[t∈[0，π2]] [p2（t）=i=02Qibi，2（t）]， [t∈[0，π2]]

其中[P0P1P2]和[Q0Q1Q2]分別為[p1（t）]和[p2（t）]的控制多邊，曲線[p1（t）]和[p2（t）]中基函數(shù)分別為[l1，l2]且[l1，l2∈N+]。

定理1：當(dāng)且僅當(dāng)[P1P2]與[Q0Q1]重合，即[P1=Q0，P2=Q1] 時(shí)，曲線[p1（t）]和[p2（t）]之間達(dá)到[Gn]連續(xù)，調(diào)節(jié)矩陣將切點(diǎn)控制在首末控制邊中點(diǎn)位置。

證明：由曲線的端點(diǎn)性質(zhì)可知

[p1（π2）=12P1+12P2] [p2（0）=12Q0+12Q1]

將[P1=Q0，P2=Q1]代入（4）中，即可證明曲線[p1（t）]和[p2（t）]達(dá)到[G0]連續(xù)。

當(dāng) ，

[p（j）1（π2）=-（l+1）！2（l-j+1）！P1+（l+1）！2（l-j+1）！P2=（l+1）！2（l-j+1）?。≒2-P1）]

[p（j）2（π2）=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）！P1+（-1）j+1（l+1）！2（l-j+1）！P2=（-1）j（l+1）！2（l-j+1）?。≒1-P2）]

由引理1可證明曲線[p1（t）]和[p2（t）]達(dá)到[Gn]連續(xù)。

證畢。

5 精確表示橢圓、圓

下面給出切點(diǎn)可調(diào)的[Gn]連續(xù)二階三角Bézier曲線精確表示橢圓、圓的條件。

定理2 當(dāng)l=0時(shí)，曲線[Gn]連續(xù)，如果給定的控制頂點(diǎn)[P0]、[P1]、[P2]，滿(mǎn)足點(diǎn)[P0]、[P2]的橫（縱）坐標(biāo)相等且[P1]為線段[P0P2]垂直平分線上的一點(diǎn)，那么切點(diǎn)可調(diào)的帶形狀參數(shù)的二階三角Bézier曲線[p（t）]可精確表示橢圓弧。

證明：

[x（t）=b0，2（t）x0+b1，2（t）x1+b2，2（t）x2=x2+12（1-sint）l+1（x0-x1）+12（1-cost）l+1（x0-x2）]

當(dāng)l=0時(shí)，

[x（t）=b0，2（t）x0+b1，2（t）x1+b2，2（t）x2=（12x0+12x2）+12sint（x1-x0）+12cost（x1-x2）]

同理，

[y（t）=b0，2（t）y0+b1，2（t）y1+b2，2（t）y2=（12y0+12y2）+12sint（y1-y0）+12cost（y1-y2）]

為使曲線精準(zhǔn)表示橢圓弧，控制點(diǎn)應(yīng)該滿(mǎn)足如下條件在：

[x1-x0=x1-x2y1-y0=y2-y1或x0-x1=x1-x2y0-y1=y2-y1]

解得之：

[x0=x2y1=12（y0+y2）或y0=y2x1=12（x0+x2）]

只有當(dāng)控制點(diǎn)滿(mǎn)足以上條件，曲線可以精確表示橢圓弧。

證畢。

推論1 若滿(mǎn)足[P0P1⊥P1P2]，則曲線[p（t）]精可確表示圓弧。

6 數(shù)值例子

例1：圖1中曲線右下至上分別取[l=0，1，2]，顯然，l越大，曲線越接近控制多邊形。

圖1 參數(shù)l對(duì)曲線的與影響

例2：圖2中取l=0，[P0（4，0）]、[P1（0，3）]、[P2（4，6）]（ [P0，P2]橫坐標(biāo)相同）為控制點(diǎn)生成第一段橢圓??；[P1（0，3）]、[P2（4，6）]、[P3（8，3）]（ [P1，P3]縱坐標(biāo)相同）生成第二段橢圓弧； [P2（4，6）]、[P3（8，3）] 、[P0（4，0）] （[P2，P4]橫坐標(biāo)相同） 生成第三段橢圓弧； [P3（8，3）] 、[P0（4，0）]、[P1（0，3）] （[P1，P3]縱坐標(biāo)相同）生成第四段橢圓弧。通過(guò)此方法可精確表示整個(gè)橢圓，且在連接點(diǎn)達(dá)到[Gn]連續(xù)。

[P0（4，0）]、[P1（0，4）]、[P2（4，8）]、 [P3（8，4）]為頂頂點(diǎn)的封閉正方形，分別生成四段圓弧，精確表示整圓，如圖3，且在連接點(diǎn)達(dá)到連續(xù)。

7 結(jié)論

該方法以三角函數(shù)為工具，得到了一組新的基函數(shù)，進(jìn)而構(gòu)造出[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier曲線。它既保留了 Bézier 曲線的端點(diǎn)性質(zhì)、幾何不變性與對(duì)稱(chēng)性等好的性質(zhì)，又具有形狀可調(diào)性并且可以精確表示橢圓、圓。它不僅解決了類(lèi)Bézier 曲線的擴(kuò)展問(wèn)題，還解決了 Bézier 曲線不能精確表示除拋物線外的圓錐曲線的問(wèn)題。且與傳統(tǒng)拼接方法相比，該方法只要滿(mǎn)足前一條曲線的末控制邊與后一條曲線的首控制邊重合，即可使曲線達(dá)到[Gn]連續(xù)，不必增加輔助控制點(diǎn)，且連接點(diǎn)的位置可以通過(guò)位置參數(shù)進(jìn)行調(diào)整。

[Gn]連續(xù)的二階三角Bézier 曲線的研究為復(fù)雜曲線的設(shè)計(jì)提供了方便，特別是對(duì)光滑度要求較高的場(chǎng)合，本文的方法更能體現(xiàn)其優(yōu)勢(shì)。

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