徐曉嶺，王蓉華，顧蓓青

(1.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620； 2．上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

串聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的統(tǒng)計(jì)分析

徐曉嶺1，王蓉華2，顧蓓青1

(1.上海對(duì)外經(jīng)貿(mào)大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與信息學(xué)院，上海 201620； 2．上海師范大學(xué) 數(shù)理學(xué)院，上海 200234)

提出了一種新的串聯(lián)系統(tǒng)下的屏蔽數(shù)據(jù)模型，將屏蔽發(fā)生與失效原因及時(shí)間無(wú)關(guān)的基本假定改為與失效原因及時(shí)間相關(guān)，推導(dǎo)了相應(yīng)的似然函數(shù)，分別在全樣本場(chǎng)合和定時(shí)截尾樣本場(chǎng)合下研究了參數(shù)的極大似然估計(jì)，通過(guò)Monte-Carlo模擬算例說(shuō)明方法的可行性。

串聯(lián)系統(tǒng)；屏蔽數(shù)據(jù)；似然函數(shù)；極大似然估計(jì)

在可靠性分析中，人們往往通過(guò)分析系統(tǒng)壽命數(shù)據(jù)估計(jì)該系統(tǒng)中各組成單元壽命分布中的未知參數(shù)。系統(tǒng)壽命試驗(yàn)數(shù)據(jù)包括兩個(gè)方面：一是失效時(shí)間；二是失效原因。理想狀態(tài)下，系統(tǒng)的壽命數(shù)據(jù)應(yīng)該包括系統(tǒng)失效的具體時(shí)間以及由哪個(gè)單元失效導(dǎo)致整個(gè)系統(tǒng)失效的信息。但大多數(shù)時(shí)候，導(dǎo)致系統(tǒng)失效的那個(gè)單元并不能夠被準(zhǔn)確識(shí)別出來(lái)，人們僅能夠把導(dǎo)致系統(tǒng)失效的原因歸結(jié)為某些單元所組成的一個(gè)集合，系統(tǒng)真正失效的原因被屏蔽。在現(xiàn)實(shí)生活中，由于故障診斷和故障檢測(cè)所需的費(fèi)用昂貴，特別是在現(xiàn)代系統(tǒng)中越來(lái)越多地采用模塊化設(shè)計(jì)，引起系統(tǒng)失效的確切單元通常都是未知的。在計(jì)算機(jī)或集成電路等進(jìn)行系統(tǒng)可靠性研究時(shí)，也會(huì)遇到相類似的屏蔽問(wèn)題。導(dǎo)致屏蔽發(fā)生的原因很多，如經(jīng)費(fèi)的不足、時(shí)間的限制、記錄的錯(cuò)誤，診斷工具的缺乏及由某些單元失效所帶來(lái)的一些破壞性的后果等。這使得屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析成為近年來(lái)研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一。關(guān)于屏蔽數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析近年來(lái)一直是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題之一，許多學(xué)者做了很好的工作，并取得了一系列研究成果，國(guó)外成果見(jiàn)文獻(xiàn)[1-17]，國(guó)內(nèi)成果見(jiàn)文獻(xiàn)[18-38]。

本文給出了串聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型，修正了原有的基本假定，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)了相應(yīng)的似然函數(shù)，在全樣本、定時(shí)截尾樣本場(chǎng)合下研究了參數(shù)的極大似然估計(jì)，通過(guò)Monte-Carlo模擬算例說(shuō)明方法的可行性。

1 串聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型

1.1 串聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的基本假定

基本假定1：系統(tǒng)由J(J≥1)個(gè)獨(dú)立單元串聯(lián)而成。

基本假定2：將n個(gè)同樣的系統(tǒng)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)時(shí)間到τ為止，此時(shí)共有r個(gè)系統(tǒng)失效(即所謂的定時(shí)截尾壽命試驗(yàn))。

基本假定3：屏蔽的發(fā)生與失效原因和時(shí)間相關(guān)，當(dāng)屏蔽發(fā)生時(shí)，其對(duì)應(yīng)的失效原因單元(即造成系統(tǒng)失效的單元)被屏蔽的概率(簡(jiǎn)稱為屏蔽概率)為該單元在此時(shí)的累積失效概率即分布函數(shù)，而與失效單元集合中的其他單元無(wú)關(guān)。

值得指出的是以前研究中的基本假定3表述為“屏蔽的發(fā)生與失效原因和時(shí)間無(wú)關(guān)(即獨(dú)立)”，即為通常所言的對(duì)稱性假定，失效原因是指明確由于具體某個(gè)單元失效而導(dǎo)致系統(tǒng)失效。該假定即指所有單元的屏蔽概率相同。但這與實(shí)際情況很不一致，不符合實(shí)際工程應(yīng)用。因?yàn)獒槍?duì)串聯(lián)系統(tǒng)通常來(lái)說(shuō)可靠性差的單元其失效概率自然會(huì)比較高，被屏蔽的失效原因是可靠性差的單元的概率相對(duì)也比較高。在此假定屏蔽概率是該單元此時(shí)的累積失效概率即分布函數(shù)，可靠性越差，失效概率越高，屏蔽概率也越大。這比較符合實(shí)際情況。

1.2 串聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的似然函數(shù)

考慮系統(tǒng)由n個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)構(gòu)成，對(duì)其進(jìn)行壽命試驗(yàn)，每一個(gè)子系統(tǒng)有J個(gè)單元。記Tij表示第i個(gè)子系統(tǒng)的第j個(gè)單元的壽命，是一隨機(jī)變量。其觀察值記為tij，i=1,2,…,n，j=1,2,…,J。于是可得到第i個(gè)子系統(tǒng)的壽命Ti：Ti=min(Ti1,Ti2,…,TiJ)，其觀察值記為ti,i=1,2,…,n。記Si為引起子系統(tǒng)i失效的單元集合，si為Si的實(shí)現(xiàn)。于是，觀察的數(shù)據(jù)data包括(t1,s1),(t2,s2),…,(tn,sn)。如果集合si只含有一個(gè)元素或者說(shuō)由單個(gè)元素組成，則表明引起子系統(tǒng)i失效的單元是確知的。如果集合中si的元素不只一個(gè)，則說(shuō)明引起子系統(tǒng)i失效的單元壽命數(shù)據(jù)被屏蔽。

情形1：si中的元素只有一個(gè)

P(ti≤Ti≤ti+dti,Si=si={j})=

P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)

而P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)表示子系統(tǒng)i的第j個(gè)單元在時(shí)刻ti失效，其他J-1個(gè)單元(除第j個(gè)單元)的壽命大于ti，即

P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

P(ti≤Tij≤ti+dti)P(Ti1>ti,Ti2>ti,…,Tij-1>ti,

情形2：si中的元素不止一個(gè)，此時(shí)子系統(tǒng)i發(fā)生了屏蔽。

P(ti≤Ti≤ti+dti,Si=si)=

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)

當(dāng)j∈si時(shí)，稱P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)為子系統(tǒng)i在失效時(shí)刻ti時(shí)失效原因單元j被屏蔽的概率，簡(jiǎn)稱屏蔽概率。

注意到，屏蔽概率還可寫(xiě)為：

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

P(Si=si≠{j}|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)

考慮子系統(tǒng)i屏蔽發(fā)生，其觀察數(shù)據(jù)為(ti,si),j∈si，于是可以認(rèn)為有：

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)+

而P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)表示子系統(tǒng)i的第j個(gè)單元在時(shí)刻ti失效，其他J-1個(gè)單元(除第j個(gè)單元)的壽命大于ti，即：

P(ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

P(ti≤Tij≤ti+dti)P(Ti1>ti,Ti2>ti,…,Tij-1>ti,

當(dāng)j∈si且si中的元素不只一個(gè)時(shí)，即有屏蔽發(fā)生的情形下，由基本假定3知：當(dāng)屏蔽發(fā)生時(shí)，其對(duì)應(yīng)的具體失效單元的屏蔽概率為該單元在此時(shí)的累積失效概率即分布函數(shù)，而與失效單元集中的其他單元無(wú)關(guān)。于是有：

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

P(Tij≤ti)=Fj(ti)

綜上

P(ti≤Ti≤ti+dti,Si=si)=

P(Si=si|ti≤Ti≤ti+dti,Ki=j)=

1) 全樣本場(chǎng)合下的似然函數(shù)。假設(shè)將n個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，不妨設(shè)在觀察的數(shù)據(jù)(t1,s1),(t2,s2),…,(tn,sn)中，前k個(gè)子系統(tǒng)沒(méi)有屏蔽發(fā)生，即si(i=1,2,…,k)中的元素只有一個(gè)，而后n-k個(gè)子系統(tǒng)有屏蔽發(fā)生，即si(i=k+1,k+2,…,n)中的元素不只一個(gè)。于是似然函數(shù)為

2) 定時(shí)截尾場(chǎng)合下的似然函數(shù)。如果子系統(tǒng)由兩個(gè)單元串聯(lián)而成，即J=2。失效的原因可歸結(jié)為3類：s1={1}，s2={2}，s12={1,2}?，F(xiàn)考慮將n個(gè)由兩個(gè)單元串聯(lián)而成的子系統(tǒng)進(jìn)行定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到時(shí)間τ為止，此時(shí)共有r個(gè)子系統(tǒng)失效。在這r個(gè)失效子系統(tǒng)中，屬s1類的有r1個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為t1,t2,…,tr1；屬s2類的有r2個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為tr1+1,tr1+2,…,tr1+r2；屬s12類的有r3個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為tr1+r2+1,tr1+r2+2,…,tr.其中r1+r2+r3=r.于是該n個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)在定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)下的似然函數(shù)為：

特別當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行定數(shù)截尾壽命試驗(yàn)時(shí)，定數(shù)截尾數(shù)為r，記τr=max(t1,t2,…,tr)。此時(shí)似然函數(shù)為

2 串聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的統(tǒng)計(jì)分析

2.1 全樣本和定時(shí)截尾場(chǎng)合下的統(tǒng)計(jì)分析

1) 全樣本場(chǎng)合下的統(tǒng)計(jì)分析。如果子系統(tǒng)由兩個(gè)單元串聯(lián)而成，即J=2。失效的原因可歸結(jié)為3類：s1={1}，s2={2}，s12={1,2}?，F(xiàn)考慮將n個(gè)由兩個(gè)單元串聯(lián)而成的子系統(tǒng)進(jìn)行壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到全部失效為止，即此時(shí)共有n個(gè)子系統(tǒng)失效。在這n個(gè)失效子系統(tǒng)中，屬s1類的有r1個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為t1,t2,…,tr1；屬s2類的有r2個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為tr1+1,tr1+2,…,tr1+r2；屬s12類的有r3個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為tr1+r2+1,tr1+r2+2,…,tn.其中r1+r2+r3=n.于是該n個(gè)串聯(lián)子系統(tǒng)在壽命試驗(yàn)下的似然函數(shù)為：

特別兩個(gè)單元的失效率同為參數(shù)時(shí)，即α1=α2=α，此時(shí)，

例1：取樣本容量n=10,r1=3,r2=4，兩個(gè)單元的失效率都取為α=0.5，通過(guò)Monte Carlo模擬產(chǎn)生如表1所示的隨機(jī)數(shù)：

表1 n=10,r1=3,r2=4,α=0.5的隨機(jī)數(shù)

2) 定時(shí)截尾下的統(tǒng)計(jì)分析。如果子系統(tǒng)由兩個(gè)單元串聯(lián)而成，即J=2。失效的原因可歸結(jié)為3類：s1={1}，s2={2}，s12={1,2}?，F(xiàn)考慮將n個(gè)由兩個(gè)單元串聯(lián)而成的子系統(tǒng)進(jìn)行定時(shí)截尾壽命試驗(yàn)，試驗(yàn)持續(xù)到時(shí)間τ為止，此時(shí)共有r個(gè)子系統(tǒng)失效。在這r個(gè)失效子系統(tǒng)中，屬s1類的有r1個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為t1,t2,…,tr1；屬s2類的有r2個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為tr1+1,tr1+2,…,tr1+r2；屬s12類的有r3個(gè)，其失效時(shí)間不妨設(shè)為tr1+r2+1,tr1+r2+2,…,tr.其中r1+r2+r3=r。如果設(shè)單元1的壽命為X，其失效率為常數(shù)α1，單元2的壽命為Y，其失效率為常數(shù)α2，X,Y相互獨(dú)立，串聯(lián)系統(tǒng)的壽命記為T，T=min(X,Y)。對(duì)t≥0，有下式成立：

P(T≤t)==1-P(X>t)P(Y>t)=1-e-(α1+α2)t，

P(T>t)=e-(α1+α2)t

似然函數(shù)為

(n-r)τ=0

(n-r)τ=0

例2：取樣本容量n=20,r=18,r1=5,r2=10，兩個(gè)單元的失效率都取為α=0.2，通過(guò)Monte-Carlo模擬如表2所示的隨機(jī)數(shù)：

例3：取樣本容量n=20,r=18,r1=5,r2=10，兩個(gè)單元的失效率分別取為α1=0.01,α2=0.02，通過(guò)Monte-Carlo模擬如表3所示的隨機(jī)數(shù)：

表2 n=20,r=18,r1=5,r2=10,α=0.2的隨機(jī)數(shù)

表3 n=20,r=18,r1=5,r2=10,α1=0.01,α2=0.02的隨機(jī)數(shù)

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(責(zé)任編輯 楊繼森)

Statistical Analysis of New Model for Masked Data Under Series System

XU Xiao-ling1, WANG Rong-hua2, GU Bei-qing1

(1.School of Statistics and Information, Shanghai University of International Business and Economics,Shanghai 201620, China; 2.Mathematics and Science College, Shanghai Normal University, Shanghai 200234, China)

The model of masked data under series system was proposed. The basic assumption that masked occurrence is independent of failure reason and time is modified to the assumption that masked occurrence is related to failure reason and time. The corresponding likelihood function was derived. The maximum likelihood estimates of parameters were respectively studied under full sample and type-II censored sample. The examples were illustrated to the feasibility of this method by Monte-Carlo simulations.

series system; masked data; likelihood function; maximum likelihood estimate

2016-08-25；

2016-10-15

上海市教育委員會(huì)科研創(chuàng)新重點(diǎn)項(xiàng)目(14ZZ155)；上海市教育委員會(huì)科研創(chuàng)新一般項(xiàng)目(14YZ080)

徐曉嶺(1965—)，男，博士，教授，主要從事可靠性統(tǒng)計(jì)研究。

10.11809/scbgxb2017.02.038

徐曉嶺，王蓉華，顧蓓青.串聯(lián)系統(tǒng)下屏蔽數(shù)據(jù)新模型的統(tǒng)計(jì)分析[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(2):172-176.

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2096-2304(2017)02-0172-05