陳益松， 翟麗娜， 鮑秋赟

(東華大學 a． 服裝與藝術設計學院； b． 現(xiàn)代服裝設計與技術教育部重點實驗室，上海 200051)

相位法輪廓測量中光柵近心投射的非線性誤差校正算法

陳益松a， b， 翟麗娜a， 鮑秋赟a

(東華大學 a． 服裝與藝術設計學院； b． 現(xiàn)代服裝設計與技術教育部重點實驗室，上海 200051)

針對相位法光學測量交叉光軸系統(tǒng)中普遍存在的投影光柵在參考平面非線性變化引起的非線性誤差的問題，提出了將非線性問題轉換為線性問題的基本邏輯．通過光路的幾何關系分別在3種交叉光軸系統(tǒng)條件下推導出光柵相位分布表達式，消除了非線性誤差項對解算物點空間坐標的影響，從而使該類問題在理論上得到根本的解決.這對于提高系統(tǒng)測量精度、簡化系統(tǒng)標定和后期處理具有重要的意義，使得條紋投影法測量三維物體輪廓更加簡便和有效．

三維測量； 輪廓術； 交叉光軸系統(tǒng)； 光柵投影； 非線性相位

在光學非接觸三維測量中，有直接三角法[1]和間接三角法兩種基本形式．相位測量輪廓術(PMP, phase measuring profilometry)屬于間接三角法，其包括傅里葉變換輪廓術[2](FTP， Fourier transform profilometry)和相移法[3-4](PSM, phase shifting method )，兩者都可使用正弦光柵進行投射，利用光柵在物體表面相對于參考平面上的相位變化來解算物體表面的三維數(shù)據(jù)．在相位測量法中，光柵投射有兩種基本形式：一種是平行光軸投射方式，該投射方式不存在光柵節(jié)距在參考平面變化的問題，但測量區(qū)域范圍小，需要配合移軸等技術來擴大有效測量區(qū)域[5-6]；另一種是交叉光軸投射，該方式利用投影鏡頭和攝像鏡頭的視角在測量區(qū)域的交叉重疊來取得較大的有效測量區(qū)域，但光柵傾斜投射(或攝像機傾斜拍攝)會造成攝像機所拍參考平面上的光柵節(jié)距發(fā)生非線性變化，給測量帶來系統(tǒng)誤差．針對這一問題，文獻[4]在提出相移法之初便指出需要建立相位與高度的映射關系表，以查表的方式對該誤差進行修正．文獻[7]提出了一種誤差外部補償算法，此方法需要測量多個角度，計算繁瑣并會引入新的誤差．文獻[8]根據(jù)幾何關系求得投影光柵條紋周期和參考平面光柵條紋周期間的數(shù)學表達式，并對其積分表示出相位，再通過最小二乘法確定出相位冪級數(shù)展開式中的未知系數(shù)，來估算參考平面上的非線性相位．文獻[9]在兩個坐標系下求出物體高度和相位之間的關系，并通過定標試驗計算出測量系統(tǒng)的誤差．文獻[10]提出編寫一幅特殊的周期不均勻的校正光柵，使得傾斜投影時投射到參考平面上的條紋恰好周期均勻，但實質上其周期校正功能是基于編寫的校正光柵實現(xiàn)的．文獻[11]也是采用上述方法編寫了校正光柵，以此避免參考平面上周期展寬引起的非線性誤差．上述方法各異，總體而言屬于外部補償或實測校正，未從理論上直接解決問題，更有許多研究對這種非線性問題予以忽視，直接按遠心平行光路以線性方法來解算，這必然會使測量結果不準確[12-13]．因此，尋求消除這種非線性誤差的根本解決方法，是該領域學者一直關注的問題．

本文系統(tǒng)闡述了在典型的傾斜投影垂直拍攝或垂直投影傾斜拍攝以及更具一般性的交叉光軸系統(tǒng)條件下，針對光柵非線性變化所引起的測量非線性誤差問題，依據(jù)非線性相位分布的線性解邏輯，推導出3種系統(tǒng)條件下的參考平面坐標值與攝像機共軛像面非線性相位的映射關系，并根據(jù)測量系統(tǒng)參數(shù)和攝像機像面的相位變化來求接觸物點的坐標，具有普遍適用性．

1 交叉光軸下的條紋周期變化

圖1為典型的傾斜投影交叉光軸系統(tǒng)，投影光軸SO和攝像機光軸EO相交于參考平面R于點O，SO相對于參考平面R的傾斜角為α，投影儀到參考平面的垂直距離為l，兩光心連線SE與參考平面平行且長度為d，R1為投影儀的共軛像面．

當投影儀傾斜投影時，因為投影儀光軸垂直于共軛像面R1，所以，當采用周期均勻的朗奇(Ronchi)或正弦光柵近心投射時，R1上的光柵圖案也是等節(jié)距分布的，而參考平面R(x)上的條紋是非均勻分布的，即參考平面上的光柵條紋周期發(fā)生改變，頻率也發(fā)生改變，且越遠離投影儀則條紋周期越大.傾斜投影下變周期的朗奇光柵如圖2所示．

圖2 傾斜投影下變周期光柵Fig．2 The grating with non-uniform period in tilt grating projection

由相位法解算物體輪廓的基本原理可知，物體輪廓點(簡稱“物點”)相對于參考平面R(x)的高度值,依賴于其存在時攝像機所拍攝到的相位相對于參考平面R(x)上無物體時的光柵條紋的相位變化來解算的[2-4]．因此在相位解調時，若忽略參考平面上光柵條紋本身的周期變化，測量結果必將產生誤差．本文通過幾何解算出各種交叉光軸下的非線性誤差項，并直接給出了光柵在參考平面上相位分布的數(shù)學表達式，從理論上根本解決交叉光軸條件下的非線性測量誤差問題．

2 非線性相位差的線性解

以相位法輪廓測量的基本坐標系為基礎(參見圖1)，當正弦光柵條紋投射在被測物體表面時，物體的高度對光柵條紋進行了調制，光柵發(fā)生變形，相位發(fā)生變化．

設投影光柵在R1平面上的光柵周期為P．若采用遠心投影，那么平行光束投射在參考平面R(x)上的光柵空間周期為P0=P/sinα，空間頻率為f0=sinα/P，則參考平面上任意點的相位為

φ0(x)=2πf0x

(1)

若采用近心投射發(fā)散光束時，參考平面R(x)上光柵周期P1逐漸變大，即頻率f1逐漸變小，則R(x)上任意點的相位隨著光柵頻率的改變而改變，如式(2)所示.

φ1(x)=2πf1x

(2)

直角坐標系中參考平面上平行光束與發(fā)散光束的相位偏差示意圖如圖3所示．

圖3 參考平面上平行光束與發(fā)散光束的相位偏差Fig．3 Phase deviation between parallel and divergent beam

兩曲線的值域之差即為由于投影條紋在參考平面上改變而產生的相位偏差，對于參考平面上的一點C，其相位偏差項為

Δφ(xc)=φ0(xc)-φ1(xc)

(3)

由圖3可知，φ1在x=C產生的相位可用φ0在x=B的相位值代替，則

Δφ(xc)=φ0(xc)-φ0(xb)=

(4)

由式(4)可知，非線性相位偏差項Δφ(xc)是由點C與點B的橫坐標差值決定的．

3 測量系統(tǒng)的非線性相位分布

3．1 傾斜投影垂直攝像的交叉光軸系統(tǒng)

在圖1中，投影儀相對于參考平面的傾斜角為α，入射光線SCA與R1相交于點A．在平行光束下，過R1上點A的入射光線投影在參考平面的B點上，因此，OB相當于OA在R(x)上的線性投影，而BC則為光柵節(jié)距的非線性變化部分，該部分在文獻[14]中被稱為初始相位，即本文所稱非線性相位偏差．根據(jù)三角幾何關系可以推導出該非線性偏差項．

測量系統(tǒng)的參考平面R(x)也是攝像機的共軛像面，像面(X，Y) 坐標與參考平面(x，y)坐標系重合．由幾何關系易得△ABC∽△SOC，則

(5)

(6)

R1光柵頻率f0平行映射到R(x)上的光柵頻率為f01= -f0sinα，則R(x)上的光柵非線性相位偏差為

(7)

根據(jù)式(3)，傾斜光柵在參考平面R(x)上實際相位分布為

φ1(x，y)=φ01(x，y)-Δφ01(x，y)=

(8)

在此，攝像機圖像相位分布中φ1(X,Y)即為φ1(x,y)，根據(jù)式(8)，依據(jù)像素點的相位信息就可求解出測量坐標系R(x)的x坐標值．

3．2 垂直投影傾斜攝像的交叉光軸系統(tǒng)

垂直投影傾斜攝像的交叉光軸系統(tǒng)如圖4所示，SO和EO分別是投影光軸和攝像機光軸，SO垂直于參考平面R(x)，則投影儀投射在參考平面R(x)的光柵是均勻的．然而攝像機光軸EO相對于參考平面的傾斜角為β，攝像機的共軛像面是R2，不與R(x)重合，即R(x)上的均勻光柵映射到攝像機像面的共軛平面R2上的光柵條紋周期是非線性變化的．

圖4 傾斜攝影交叉光軸系統(tǒng)的幾何解析圖Fig．4 Geometric analysis of the crossed optical axes system with oblique-angle photography

以R(x)上的D點為例，K2為D在攝像機共軛像面R2上的坐標，過點D做垂直于R2的線交于點B2，OB2相當于OD在R2上的線性投影，B2K2則是非線性變化部分．

由幾何關系易知△B2DK2∽△OEK2則

(9)

(10)

考慮R(x)的光柵頻率f0平行映射到R2上的光柵頻率為f02=f0/sinβ，攝像機共軛像面R2上非線性相位偏差為

(11)

根據(jù)式(3)，平面R2上光柵像的實際相位分布為

(12)

由式(12)可根據(jù)圖像的相位φ2解出R2對應的X坐標值，R2上坐標X映射到R(x)的x為

(13)

3．3 一般性交叉光軸系統(tǒng)

圖5 一般性交叉光軸系統(tǒng)的幾何解析圖Fig．5 Geometric analysis of the general crossed optical axes system

在一般性交叉光軸系統(tǒng)中，投影儀光軸和攝像機光軸均傾斜如圖5所示，此時的非線性誤差則來自投影儀傾斜和攝像機傾斜兩個方面．OB1為投影儀在R1平面均勻條紋在攝像機共軛像面R2上的投影，B1B2為投影儀傾斜在平面R2上產生的非線性投影，B2K2為攝像機傾斜在R2上產生的非線性投影，因此，總的非線性投影B1K2=B1B2+B2K2．

(14)

(15)

考慮R1-R(x)-R2的映射關系，R1光柵頻率f0平行轉折映射到R2光柵頻率為f03=-f0sinα/sinβ， 平面R2上光柵像的相位誤差為

(16)

根據(jù)式(3)，平面R2上光柵像實際相位分布為

(17)

由式(17)可根據(jù)圖像的相位φ3解出平面R2上對應的X坐標值，可根據(jù)式(13)求出R(x)的x相應值．

4 物點坐標的解算

當計算機生成的正弦光柵條紋投射在被測物體表面時，物體的高度對光柵條紋進行了調制，光柵發(fā)生變形，在像面坐標系(X，Y)下由攝像機所拍到的光強信息可表示為

I(X，Y)=A(X，Y)+B(X，Y)cos[φ(X，Y)]

(18)

式中：A(X，Y)為背景光強度；B(X，Y)為光柵條紋的振幅；相位函數(shù)φ(X，Y)表示被測物體表面形態(tài)而引起的相位變化，其由相移法[3-6，15]或傅里葉法[2，16]求得．

在圖1、圖4和圖5中，圖像XD點接受參考平面R(x)上D的反射光，而測量物體時，XD點接受W點經(jīng)D點的反射光，該光線的相位相當于參考平面R(x)上C點即圖像坐標XC的入射光相位，D點與C點的距離決定了物體W點在Z軸上的高度．

由φD(XD，Y) 和φC(XC，Y)可根據(jù)式(8)、(12)或(17)解算出攝像機共軛像面的XD和XC，再由式(13)轉為參考平面R(x)的xD和xC坐標(3．1節(jié)中，xD=XD，xC=XC)．

以圖4為例，設點W的O-XZ坐標系下的坐標為(xW，zW)，由幾何關系△DCW∽△ESW，則

(19)

計算可得

(20)

當W點在參考平面R(x)上方時，zW為正；當W點在參考平面R(x)下方時，zW為負．

雖然W點坐標與xD有唯一的關聯(lián)性，但xW≠xD，需要根據(jù)不同情況進行解算．同以圖4為例，△DWF∽△DEG，則

(21)

(22)

說明xW不僅與zW有關，還與系統(tǒng)的結構參數(shù)及圖像坐標X有關．

5 結 語

本文針對一般交叉光軸光學測量系統(tǒng)的光柵非線性變化引起測量誤差的問題，給出了將非線性問題轉化為線性問題的基本邏輯．通過分析光路圖的幾何關系，推導出非線性誤差表示項，并給出了不同情況下攝像機共軛像面的光柵相位分布表達式．依據(jù)不同系統(tǒng)的結構參數(shù)，建立參考平面x坐標與共軛像面的光柵相位的映射關系，由物體外輪廓引起的光柵相位變化最終轉換參考平面上投影光柵x坐標值的變化問題，并最終根據(jù)幾何關系解算出物點的空間坐標．本文從最基本的原理出發(fā)，推演出的數(shù)學模型從根本上解決了一般交叉光軸測量系統(tǒng)因投影光柵非線性變化引起的測量誤差問題，也可簡化實際測量系統(tǒng)的標定和后期校正問題，使利用光柵條紋投影測量三維物體輪廓的方法更加簡便和有效．

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(責任編輯：劉園園)

For the wide existing nonlinear error caused by nonlinear variation of projected grating on reference plane in crossed optical axes geometry of phase measuring profilometry， a basic logic of the nonlinear problem into a linear problem was proposed． The formula of grating phase distribution were deduced through the geometric relationships to eliminate the nonlinear error in three crossed axes systems respectively． This formula can calibrate the phase modulation item in calculating the coordinates of objects， so as to solve this kind of problems fundamentally in theory． It has important meaning for improving accuracy of measurement, simplifing system calibration and post processing. Therefore， it makes fringe projection profilometry flexible and universal in measuring three-dimensional objects．

3D measurement； profilometry； crossed optical axes system； grating projection； nonlinear phase

TB 96

A

Nonlinear Error Correction Method for Entocentric Projection in Phase Measuring Profilometry

CHENYisonga， b，ZHAILinaa，BAOQiuyuna

(a． Fashion & Art Design Institute； b． Key Laboratory of Clothing Design & Technology，
Ministry of Education， Donghua University， Shanghai 200051， China)