☉江蘇南通市易家橋中學(xué) 徐向清

基于關(guān)聯(lián)視角，實(shí)踐“用教材教”
——以“從二次函數(shù)視角看一元二次方程”教學(xué)為例

☉江蘇南通市易家橋中學(xué) 徐向清

最近一次教研活動(dòng)中，筆者有幸執(zhí)教“從二次函數(shù)視角看一元二次方程”研討課，該課沒(méi)有簡(jiǎn)單照搬教材內(nèi)容，而是從學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，先復(fù)習(xí)一次函數(shù)與一元一次方程之間的關(guān)系，然后引出二次函數(shù)與一元二次方程之間的關(guān)系，取得較好的教學(xué)效果.本文先整理該課的教學(xué)流程，并闡釋教學(xué)立意，供分享.

一、“從二次函數(shù)視角看一元二次方程”教學(xué)流程

教學(xué)環(huán)節(jié)（一）熱身練習(xí)，回顧舊知.

（1）一次函數(shù)y=2x-6中，當(dāng)y=0時(shí)，求自變量x.

（2）一次函數(shù)y=2x-6中，當(dāng)y=2時(shí)，求自變量x.

（3）當(dāng)一次函數(shù)y=2x-6與y=-x+3的函數(shù)值相等時(shí)，求自變量x.

設(shè)計(jì)意圖：講評(píng)時(shí)注意讓學(xué)生展示一元一次方程的解，對(duì)應(yīng)著直線（一次函數(shù)的圖像）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，具體如下：

（1）一次函數(shù)y=2x-6中，當(dāng)y=0時(shí)，可得方程2x-6=0，解得x=3.即一次函數(shù)值為0時(shí)，自變量x=3，此時(shí)也可得直線y=2x-6與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.

（2）一次函數(shù)y=2x-6中，當(dāng)y=2時(shí)，可得方程2x-6=2，解得x=4.即一次函數(shù)值為2時(shí)，自變量x=4，此時(shí)也可得直線y=2x+6與直線y=2的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4.

（3）當(dāng)一次函數(shù)y=2x-6與y=-x+3的函數(shù)值相等時(shí)，可得方程2x-6=-x+3，解得x=3.此時(shí)也可得直線y=2x-6與直線y=-x+3的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3.

預(yù)設(shè)PPT漸次呈現(xiàn)如下的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖（如圖1）：

圖1

教學(xué)環(huán)節(jié)（二）兩道問(wèn)題，探究新知.

問(wèn)題1：以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時(shí)，小球的飛行路線將是一條拋物線.如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度h（單位：m）與飛行時(shí)間t（單位：s）之間具有函數(shù)關(guān)系h=20t-5t2.

（1）小球的飛行高度能否達(dá)到15m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？

（2）小球的飛行高度能否達(dá)到20m？如果能，需要多少飛行時(shí)間？

（3）小球的飛行高度能否達(dá)到20.5m？為什么？

（4）小球從飛出到落地要用多少時(shí)間？

思路簡(jiǎn)述：將h的值代入二次函數(shù)的解析式可以得到關(guān)于t的一元二次方程，則根據(jù)方程是否有符合實(shí)際的解來(lái)說(shuō)明小球的飛行高度能否達(dá)到所給的值.

預(yù)設(shè)講評(píng)PPT截圖如同2所示：

圖2

預(yù)設(shè)點(diǎn)評(píng)：通過(guò)上述問(wèn)題的解決，大家從“數(shù)”的角度認(rèn)識(shí)到二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：“已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的值為0，求自變量x的值”即為“求解一元二次方程ax2+bx+c=0”；反之亦如此.

問(wèn)題2：下列二次函數(shù)的圖像與x軸有公共點(diǎn)嗎？如果有，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是多少？當(dāng)x取公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)時(shí)，函數(shù)值是多少？你能得出相應(yīng)的一元二次方程的根嗎？二次函數(shù)的圖像與一元二次方程具有怎樣的聯(lián)系？

（1）y=x2+x-2；（2）y=x2-6x+9；（3）y=x2-x+1.

思路簡(jiǎn)述：x軸上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)均為0，即二次函數(shù)的函數(shù)值為0，所以可將y=0分別代入二次函數(shù)的解析式，可得相應(yīng)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程根的情況即可判定拋物線與x軸的交點(diǎn)的情況.

預(yù)設(shè)講評(píng)PPT（如圖3）：

圖3

預(yù)設(shè)點(diǎn)評(píng)：通過(guò)上述問(wèn)題的解決，可以發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)的圖像與一元二次方程也有關(guān)系：（1）拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)與相應(yīng)一元二次方程根的情況相關(guān)；（2）拋物線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為相應(yīng)一元二次方程的兩根.

教學(xué)環(huán)節(jié)（三）練習(xí)訓(xùn)練，鞏固新知.（略）

教學(xué)環(huán)節(jié)（四）課堂小結(jié)，梳理歸納.

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)，大家可以發(fā)現(xiàn)“求一元二次方程ax2+bx+c=0的根”，從數(shù)的角度可看作“已知二次函數(shù)y= ax2+bx+c的函數(shù)值y=0，求自變量x”；從形的角度看“一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況”與“拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)”相關(guān)，且“方程ax2+bx+c=0的根”為“拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)”.一邊講解，一邊動(dòng)畫(huà)呈現(xiàn)如下PPT（如圖4）：

圖4

拓展思考：有了前面的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，可以變式思考如下一些問(wèn)題：

例如：方程x2-2x+3=6的根，從數(shù)的角度可看作二次函數(shù)y=x2-2x+3的函數(shù)值y=6時(shí)對(duì)應(yīng)自變量的值，從形的角度可看作拋物線y=x2-2x+3與直線y=6的交點(diǎn)的橫坐標(biāo).同時(shí)，結(jié)合圖像可以發(fā)現(xiàn)拋物線y=x2-2x+3與直線y=2有1個(gè)交點(diǎn)，說(shuō)明方程x2-2x+3=2有2個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；拋物線y=x2-2x+3與直線y=1沒(méi)有交點(diǎn)，說(shuō)明方程x2-2x+3=1無(wú)實(shí)數(shù)根.因此“一元二次方程ax2+bx+c=h的根的情況”與“拋物線y=ax2+bx+c與直線y=h的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”相關(guān).

二、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.理解數(shù)學(xué)，在數(shù)學(xué)內(nèi)在聯(lián)系處創(chuàng)設(shè)情境、引入新課.

初中數(shù)學(xué)富含聯(lián)系，特別是數(shù)式、方程與函數(shù)的知識(shí)都可統(tǒng)一在函數(shù)的高觀點(diǎn)之下，這在八年級(jí)學(xué)習(xí)一次函數(shù)之后就能感受出來(lái).學(xué)生從一次函數(shù)的視角再認(rèn)識(shí)了此前所學(xué)的一元一次方程、二元一次方程組、一元一次不等式（組）等知識(shí)，“站在高處”俯看舊知?jiǎng)e有一番認(rèn)識(shí)在心里.本課沒(méi)有沿用教材上的情境引入，而是用所謂“復(fù)習(xí)舊知”的方式引入新課，但這種復(fù)習(xí)舊知又不是簡(jiǎn)單的知識(shí)再現(xiàn)，而是對(duì)比了從一次函數(shù)視角看一元一次方程，本課所學(xué)習(xí)的是從二次函數(shù)視角看一元二次方程，這樣它們之間的一致性就得到了顯現(xiàn).

2.設(shè)計(jì)課件，讓講解、點(diǎn)撥與小結(jié)在漸次呈現(xiàn)中助學(xué).

最近《中學(xué)數(shù)學(xué)》（下）不少課例文章中附了課件PPT截圖，對(duì)于課堂教學(xué)設(shè)計(jì)中的課件制作提出了有益參考，特別是相關(guān)課例中的課件使用了漸次呈現(xiàn)、標(biāo)注提示等方式，使得課件的功用得到發(fā)揮，過(guò)渡了不同教學(xué)環(huán)節(jié)，突出了教學(xué)重點(diǎn)，化解了教學(xué)難點(diǎn)，使得學(xué)生的注意力得到提升.這就是我們?cè)谏衔闹幸哺匠鰩追鵓PT截圖的原因，目的是讓更多的同行能感受到不同教學(xué)重點(diǎn)或難點(diǎn)突破的多樣化努力.

3.拓展思考，課堂小結(jié)時(shí)為學(xué)生打開(kāi)窗戶、向上挑戰(zhàn).

由于教學(xué)時(shí)間所限，我們?cè)谡n堂小結(jié)之后給學(xué)生拓展視角，把一元二次方程一般式的形式推廣到了方程等號(hào)右邊不是0的情形，對(duì)應(yīng)著二次函數(shù)圖像與直線y=h相交的情形.這種拓展思考有一定的挑戰(zhàn)，但是對(duì)優(yōu)秀學(xué)生來(lái)說(shuō)是可以接受的，因?yàn)樵诎四昙?jí)學(xué)習(xí)一次函數(shù)時(shí)，就曾研究過(guò)類似直線y=x+1與直線y=2的交點(diǎn)問(wèn)題（對(duì)應(yīng)著方程x+1=2）.這里值得一說(shuō)的是，關(guān)于教學(xué)深度的話題，即使是新授課，也可以在小結(jié)階段結(jié)合本課的內(nèi)容幫助一些優(yōu)秀學(xué)生走向縱深方向，就如同為學(xué)生打開(kāi)一扇窗一樣，而不是“封閉著”，我們需要的是給優(yōu)秀學(xué)生提供深入思考的機(jī)會(huì).

三、寫(xiě)在最后

鄭毓信教授關(guān)于數(shù)學(xué)教師如何才能用好教材提出他的一些深刻見(jiàn)解，歸根結(jié)底是需要我們保持獨(dú)立思考、深入思考，基于理解數(shù)學(xué)的高度，拋卻“綱本主義”，基于自己修煉的“善于舉例、善于提問(wèn)、善于優(yōu)化”的基本功，認(rèn)真組織教學(xué)內(nèi)容、規(guī)劃教學(xué)進(jìn)程、預(yù)設(shè)教學(xué)課件等，追求更有數(shù)學(xué)味、更加開(kāi)放的數(shù)學(xué)課堂.想來(lái)，本文中的課例只是圍繞上述高要求的一次課例實(shí)踐，做得還不到位，我們還有很長(zhǎng)的路要走.

1.章建躍.構(gòu)建邏輯連貫的學(xué)習(xí)過(guò)程使學(xué)生學(xué)會(huì)思考［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2013，56（6）.

2.劉東升.我們需要怎樣的“問(wèn)題”驅(qū)動(dòng)課堂——由美國(guó)莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說(shuō)起［J］.教育研究與評(píng)論（課堂觀察版），2016（11）.

3.鄭毓信.“開(kāi)放的數(shù)學(xué)教學(xué)”新探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2007（7）.

4.鄭毓信.數(shù)學(xué)教師如何才能用好教材［J］.小學(xué)教學(xué)（數(shù)學(xué)版），2016（3）.