☉西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 伍蕓青

初中幾何教材認(rèn)知復(fù)雜程度的比較研究
——以中國(guó)、新加坡教材的三角形問(wèn)題為例

☉西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 伍蕓青

一、問(wèn)題提出

認(rèn)知復(fù)雜程度是指學(xué)生為了成功地解決數(shù)學(xué)問(wèn)題而被要求達(dá)到的思維的種類(lèi)和水平.NCTM（1991）認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)并不是簡(jiǎn)單把學(xué)生放入小組中，相反，正是學(xué)生所投入的思維水平和種類(lèi)決定了他們將會(huì)學(xué)到些什么.因此，通過(guò)對(duì)教材的認(rèn)知復(fù)雜程度的研究，可以在一定程度上了解學(xué)生通過(guò)教材所得到的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì).新加坡與中國(guó)文化背景相似，又東西方文化相互交融，那么新加坡教材與中國(guó)教材的認(rèn)知復(fù)雜程度有怎樣的差異呢？

二、研究框架建構(gòu)

（一）研究對(duì)象.

本研究中，中國(guó)初中教材選取人教版義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（2013年版），下文簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)》，新加坡初中數(shù)學(xué)教材選取由Pearson出版集團(tuán)出版的Math Insights系列教材（2007年版），下文簡(jiǎn)稱(chēng)《Insights》.本研究中的習(xí)題包括人教社教材三角形有關(guān)章節(jié)的“例題”“練習(xí)”“習(xí)題”，新加坡教材三角形有關(guān)章節(jié)的“例題（Example）”“試一試（Let′s try it now）”“練習(xí)（Practice）”.

（二）研究框架.

本研究分析框架主要從認(rèn)知復(fù)雜程度的廣度和深度兩個(gè)維度進(jìn)行分析，具體指標(biāo)見(jiàn)表1.

表1

1.認(rèn)知復(fù)雜程度的廣度.

對(duì)于認(rèn)知復(fù)雜程度的廣度方面，參考Son和Senk（2010）關(guān)于韓國(guó)改革教材與美國(guó)改革教材中數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知期待的比較框架.

2.認(rèn)知復(fù)雜程度的深度.

本研究參考Hsu和Silver（2014）對(duì)于臺(tái)灣課堂中數(shù)學(xué)問(wèn)題的認(rèn)知復(fù)雜程度的研究框架，將從圖形復(fù)雜程度和問(wèn)題解決復(fù)雜程度分析數(shù)學(xué)問(wèn)題認(rèn)知復(fù)雜程度的深度.

其中圖形復(fù)雜程度維度方面，只對(duì)幾何題目中附帶給出的圖形進(jìn)行編碼統(tǒng)計(jì).這里主要統(tǒng)計(jì)伴隨一個(gè)書(shū)本里介紹的幾何性質(zhì)的一個(gè)幾何圖形（稱(chēng)為參考圖形）相對(duì)于幾何題目中附帶給出的圖形（這里筆者統(tǒng)一成為“圖示”）中點(diǎn)與線(xiàn)的數(shù)量變化.

三、結(jié)果分析

對(duì)中國(guó)、新加坡小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)中，共同存在的三角形內(nèi)容含例題、習(xí)題在內(nèi)的數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行完全統(tǒng)計(jì)，結(jié)果詳見(jiàn)表2.

表2

（一）三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題的廣度分布情況.

圖1顯示的是兩套教科書(shū)中三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題在認(rèn)知復(fù)雜程度廣度上的總體分布情況.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，《Insights》所要求的數(shù)學(xué)認(rèn)知期望類(lèi)型更加均衡且豐富，其程序性知識(shí)所占比例（51.90%）比《數(shù)學(xué)》（57.45%）低，但是問(wèn)題解決性知識(shí)所占比例差不多，概念性知識(shí)、表述性知識(shí)和數(shù)學(xué)推理要求的數(shù)學(xué)問(wèn)題所占百分比更高.結(jié)果反映了兩個(gè)國(guó)家教科書(shū)中不同水平的認(rèn)知期望，在三角形例題與習(xí)題的廣度分布上，新加坡教科書(shū)相比于中國(guó)教科書(shū)提供了更多的機(jī)會(huì)讓學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想去解決問(wèn)題，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理和應(yīng)用表述性的知識(shí).另外，新加坡教材提供了更多水平類(lèi)型的認(rèn)知期望，更有助于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、理解數(shù)學(xué).

圖1：三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題廣度上的總體分布情況

（二）三角形數(shù)學(xué)問(wèn)題的深度分布情況.

本文將就圖形復(fù)雜程度和問(wèn)題解決復(fù)雜程度兩個(gè)維度分析數(shù)學(xué)問(wèn)題認(rèn)知復(fù)雜程度的深度，并就兩個(gè)國(guó)家教材三角形問(wèn)題的數(shù)據(jù)結(jié)果比較分析認(rèn)知復(fù)雜程度的深度.

1.圖形復(fù)雜程度.

由于對(duì)于圖形復(fù)雜程度這一維度的分析要求幾何題目中附帶給出圖形，因此只對(duì)《數(shù)學(xué)》中94個(gè)三角形問(wèn)題中的54個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題與《Insights》中57個(gè)三角形問(wèn)題中的43個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行編碼統(tǒng)計(jì).圖形復(fù)雜程度是由參考圖形轉(zhuǎn)化為“題目圖形”所需的最少變化量所決定的，表3顯示的是兩套教材三角形問(wèn)題中其變化量的數(shù)據(jù)結(jié)果.由結(jié)果可以看出，《數(shù)學(xué)》與《Insights》分別大約有33.33%與27.91%的三角形問(wèn)題的參考圖形的變化量為0，因此《Insights》所占百分比高于《數(shù)學(xué)》.而這些類(lèi)型的三角形問(wèn)題具有相對(duì)較低水平的認(rèn)知復(fù)雜程度，因?yàn)閷W(xué)生不需要為了辨認(rèn)伴隨相關(guān)幾何性質(zhì)的參考圖形而去拆分和組拼題目上的幾何圖形.另外，雖然《Insights》中變化量在1—5范圍內(nèi)的所占百分比（37.21%）比《數(shù)學(xué)》中該部分所占百分比（40.74%）更低，但變化量在6個(gè)以上的所占的百分比（約為34.89%）卻比《數(shù)學(xué)》中該部分所占百分比（25.92%）更高.

表3 三角形問(wèn)題4種水平的圖形復(fù)雜程度的頻數(shù)和百分比

2.問(wèn)題解決復(fù)雜程度.

在這一部分，本文將針對(duì)三角形問(wèn)題解決復(fù)雜程度的四個(gè)種類(lèi)的數(shù)據(jù)結(jié)果進(jìn)行量化比較分析.

（1）輔助線(xiàn).

《數(shù)學(xué)》的54個(gè)相關(guān)三角形問(wèn)題中大約有5.56%的問(wèn)題需要學(xué)生通過(guò)畫(huà)輔助線(xiàn)來(lái)解決，并且最多需要畫(huà)1條輔助線(xiàn)；而《Insights》的43個(gè)相關(guān)三角形問(wèn)題中大約有11.63%的問(wèn)題需要學(xué)生通過(guò)畫(huà)輔助線(xiàn)來(lái)解決，并且最多需要畫(huà)3條輔助線(xiàn).由此可見(jiàn)，新加坡教材相對(duì)于中國(guó)教材認(rèn)知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

（2）解決步驟.

表4顯示的是兩套教材三角形問(wèn)題的最少解決步驟數(shù)量的頻數(shù)與百分比的分布情況.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，兩套教材所占比例最大的解決步驟數(shù)量范圍均為2步到4步，而《Insights》中該部分所占比例（84.81%）遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于《數(shù)學(xué)》（57.45%）.另外，《數(shù)學(xué)》中解決步驟數(shù)量超過(guò)1步的所占的百分比約為65%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于《Insights》中該部分所占百分比（約為92%），《數(shù)學(xué)》中解決步驟數(shù)量超過(guò)5步的所占的百分比約為7.45%，略低于《Insights》中該部分所占百分比（約7.59%）.因此從這一層面上仍可以看出，新加坡教材相對(duì)于中國(guó)教材認(rèn)知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

表4 三角形問(wèn)題4種水平的解決步驟數(shù)量的頻數(shù)和百分比

（3）需要的幾何性質(zhì).

在分析最少解決步驟數(shù)量的同時(shí)，我也分析了解決幾何問(wèn)題時(shí)所需的最少的幾何性質(zhì)的數(shù)量.表5顯示的是兩套教材三角形問(wèn)題的最少需要的幾何性質(zhì)數(shù)量的頻數(shù)與百分比的分布情況.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，兩套教材所占比例最大的需要的幾何性質(zhì)數(shù)量范圍仍為2步到4步，《Insights》中該部分所占比例（78.72%）高于《數(shù)學(xué)》中該部分所占比例該部分所占比例（56.96%）.另外，《數(shù)學(xué)》中解決步驟數(shù)量超過(guò)2步的所占的百分比約為19.15%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于《Insights》中該部分所占百分比（約為43.04%）.因此進(jìn)一步印證，新加坡教材相對(duì)于中國(guó)教材認(rèn)知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

表5 三角形問(wèn)題5種水平的需要的幾何性質(zhì)數(shù)量的頻數(shù)和百分比

（4）圖形轉(zhuǎn)化.

針對(duì)兩套教材中附帶有圖形的三角形幾何題目，本文對(duì)于其是否需要圖形轉(zhuǎn)化及圖形轉(zhuǎn)化的種類(lèi)（例如平移、旋轉(zhuǎn)或翻折）和數(shù)量進(jìn)行了分析統(tǒng)計(jì).表6顯示的是兩套教材三角形問(wèn)題需要的圖形轉(zhuǎn)化的頻數(shù)與百分比的分布情況.統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示，《數(shù)學(xué)》中圖形轉(zhuǎn)化的數(shù)量超過(guò)1個(gè)的所占的百分比約為9.26%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于《Insights》中該部分所占百分比（約為18.60%）.因此同樣地，結(jié)果證明，新加坡教材相對(duì)于中國(guó)教材認(rèn)知水平要求更高，更具挑戰(zhàn)性.

表6 三角形問(wèn)題需要的圖形轉(zhuǎn)化的頻數(shù)與百分比的分布情況

四、結(jié)論及建議

（一）結(jié)論.

本研究從認(rèn)知復(fù)雜程度的廣度與深度兩個(gè)維度分析比較了中國(guó)《數(shù)學(xué)》系列教材和新加坡《Insights》系列教材中相關(guān)的三角形幾何問(wèn)題，通過(guò)分析比較，該研究得出以下結(jié)論.

1.從廣度方面，新加坡教科書(shū)的認(rèn)知復(fù)雜程度更高，新加坡教材給學(xué)生提供了更好的學(xué)習(xí)三角形的機(jī)會(huì).盡管其要求問(wèn)題解決性知識(shí)的三角形問(wèn)題所占百分比總體略低于《數(shù)學(xué)》，但是要求程序性知識(shí)的三角形問(wèn)題所占百分比也相對(duì)較低，并且其要求概念性知識(shí)、表述性知識(shí)和數(shù)學(xué)推理的問(wèn)題所占百分比較高.

2.從深度方面，結(jié)合幾何圖形特點(diǎn)分析得出，新加坡教科書(shū)相對(duì)于中國(guó)教材，在三角形問(wèn)題上具有更高的認(rèn)知復(fù)雜程度.圖形復(fù)雜程度方面，《Insights》需要較復(fù)雜的參考圖形到題目附帶圖形的點(diǎn)線(xiàn)變化所占百分比相對(duì)《數(shù)學(xué)》較高.問(wèn)題解決復(fù)雜程度方面，首先，《Insights》需要畫(huà)輔助線(xiàn)的三角形題目相對(duì)較多；其次，要求兩步以上解題步驟或者需要兩個(gè)以上的幾何性質(zhì)的三角形問(wèn)題所占百分比也明顯高于《數(shù)學(xué)》；最后，需要旋轉(zhuǎn)或者翻折的圖形轉(zhuǎn)化的三角形問(wèn)題所占百分比也相對(duì)較高.由此可見(jiàn)，通過(guò)對(duì)兩國(guó)教材的認(rèn)知復(fù)雜程度的進(jìn)一步分析再次得出，相對(duì)于中國(guó)教材，新加坡教材呈現(xiàn)了較深的認(rèn)知水平.

（二）建議.

根據(jù)該研究的結(jié)論，本研究提出以下建議，以期為中國(guó)教材編寫(xiě)者對(duì)教材的修訂及編寫(xiě)提供一定的幫助.

該研究得出中國(guó)教材具有占有較高百分比的三角形問(wèn)題需要利用程序性知識(shí)，因此中國(guó)教材編寫(xiě)者可以考慮適當(dāng)減少程序性知識(shí)要求問(wèn)題的比例，注重概念的練習(xí)的同時(shí)，應(yīng)適當(dāng)變化概念記憶水平題目的形式，適當(dāng)增加問(wèn)題解決性知識(shí)、表述性知識(shí)、數(shù)學(xué)推理要求的三角形問(wèn)題，使之認(rèn)知復(fù)雜程度廣度方面類(lèi)型更加豐富且均衡.

鑒于上述關(guān)于認(rèn)知深度的研究，建議中國(guó)教材編寫(xiě)者更多考慮加入一些高水平認(rèn)知復(fù)雜程度的問(wèn)題，例如圖形相對(duì)較為復(fù)雜的，需要步驟、性質(zhì)較多的問(wèn)題，一起提高學(xué)生對(duì)幾何知識(shí)的靈活運(yùn)用和善于思考的能力.

1.Stein，M.K.，Smith，M.S.，Henningsen，M.A.，&Silver，E.A..Implementing standards-based mathematics instruction：A casebook for professional development［M］. Reston，VA：National Council of Teachers of Mathematics，2000.

2.李忠如譯.實(shí)施初中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的教學(xué)案例（匹茲堡大學(xué)QUASAR研究成果）［M］.上海：上海教育出版社，2004.

3.Son，J.，&Senk，S.How reform curricula in the USA and Korea present multiplication and division of fractions［J］.EducationalStudiesinMathematics，2010，74（2）.

4.Hui-Yu Hsu，Edward A.Silver.Cognitive complexity ofmathematicsinstructionaltasksinaTaiwanese classroom：a examination of task sources［J］.Journal for research in mathematics education，2014，45（4）.