李明明， 黃春蓉， 方 勃， 段 磊

(1.北京機(jī)械設(shè)備研究所，北京 100854；2.中國人民解放軍駐航天二院二O六所軍事代表室，北京 100854；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

主被動(dòng)混合壓電網(wǎng)絡(luò)懸臂梁結(jié)構(gòu)的建模與比較

李明明1， 黃春蓉2， 方 勃3， 段 磊1

(1.北京機(jī)械設(shè)備研究所，北京 100854；2.中國人民解放軍駐航天二院二O六所軍事代表室，北京 100854；3.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，哈爾濱 150001)

以Euler-Bernoulli懸臂梁作為研究對(duì)象，對(duì)主被動(dòng)混合壓電網(wǎng)絡(luò)(Active-Passive Hybrid Piezoelectric Network, APPN)進(jìn)行分析與優(yōu)化。利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法建立集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)APPN中的電阻和電感進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。在此基礎(chǔ)上，利用速度反饋控制設(shè)計(jì)主動(dòng)控制器，分別對(duì)集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的開環(huán)和閉環(huán)特性進(jìn)行數(shù)值仿真分析。仿真結(jié)果表明，兩種結(jié)構(gòu)形式的APPN均能夠有效地抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，集成式APPN在窄頻帶的振動(dòng)控制性能優(yōu)于純主動(dòng)控制，而分離式APPN則在更寬的頻帶具有比集成式APPN和純主動(dòng)控制更好的振動(dòng)控制性能。

主被動(dòng)混合壓電網(wǎng)絡(luò)；Euler-Bernoulli懸臂梁；Hamilton原理；Rayleigh-Ritz法；速度反饋控制

壓電材料具有正、逆壓電效應(yīng)，它既能將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能，又能將電能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。由壓電材料制成的作動(dòng)器、傳感器和換能器已經(jīng)廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)主動(dòng)振動(dòng)控制和被動(dòng)振動(dòng)控制中[1-5]。在壓電主動(dòng)控制系統(tǒng)中，粘貼于結(jié)構(gòu)表面或嵌入結(jié)構(gòu)內(nèi)部的壓電作動(dòng)器與反饋控制系統(tǒng)相連，結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，傳感器檢測到的振動(dòng)信號(hào)通過反饋控制系統(tǒng)后輸出控制電壓，驅(qū)動(dòng)壓電作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制；在壓電被動(dòng)控制系統(tǒng)中，壓電材料與外部分流電路相連，結(jié)構(gòu)振動(dòng)時(shí)，部分機(jī)械能由于壓電材料的正壓電效應(yīng)轉(zhuǎn)化為電能，并通過分流電路中的阻抗轉(zhuǎn)化為焦耳熱，從而達(dá)到耗散系統(tǒng)總能量、抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)的目的。

由于壓電主動(dòng)控制和壓電被動(dòng)控制的作用機(jī)理不同，因此兩種振動(dòng)控制方法的特點(diǎn)也不同。與壓電被動(dòng)控制相比，壓電主動(dòng)控制具有更好的控制性能、更寬的控制頻帶和更強(qiáng)的環(huán)境適應(yīng)性，但是壓電主動(dòng)控制需要外界能源、結(jié)構(gòu)較復(fù)雜、可靠性和穩(wěn)定性較差；而壓電被動(dòng)控制則具有不需要外界能源、結(jié)構(gòu)簡單、易于實(shí)現(xiàn)、可靠性高等優(yōu)點(diǎn)，盡管壓電被動(dòng)控制的環(huán)境適應(yīng)性較差。AGNES[6]結(jié)合壓電主動(dòng)控制和壓電被動(dòng)控制各自的特點(diǎn)，提出一種主被動(dòng)混合壓電網(wǎng)絡(luò)(Active-Passive Hybrid Piezoelectric Network, APPN)用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)控制，如圖1所示。在APPN中，壓電層既能夠通過反饋控制電壓主動(dòng)地控制結(jié)構(gòu)振動(dòng)，又能夠通過分流電路被動(dòng)地耗散結(jié)構(gòu)振動(dòng)的能量，使得APPN兼具主動(dòng)控制和被動(dòng)控制兩方面的優(yōu)點(diǎn)，因而得到了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注[7-13]。

TSAI等[8]利用APPN對(duì)環(huán)形結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)控制，研究表明，APPN能夠有效地抑制結(jié)構(gòu)振動(dòng)與噪聲。與純主動(dòng)控制相比，APPN只需要較小的控制電壓，即可獲得更好的振動(dòng)控制性能。隨后ZHAO[9]和GODOY等[10]利用APPN對(duì)四邊形板和復(fù)合材料層合板進(jìn)行了振動(dòng)控制。TANG等[11]在研究APPN時(shí)，考慮到壓電材料具有高階非線性和遲滯特性，采用滑模控制理論設(shè)計(jì)了魯棒控制器，以補(bǔ)償系統(tǒng)的非線性和不確定性。在上述研究中，APPN的結(jié)構(gòu)形式均為集成式，TSAI等[12]還提出一種分離式APPN(如圖2所示)，并且對(duì)兩種APPN進(jìn)行了比較。通過比較兩種APPN在第一階主模態(tài)的主動(dòng)控制權(quán)益，TSAI等發(fā)現(xiàn)集成式APPN比分離式APPN具有更好的振動(dòng)控制性能。

本文以Euler-Bernoulli懸臂梁作為研究對(duì)象，利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法分別建立集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，并對(duì)APPN中的電阻和電感進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化。通過在寬頻帶內(nèi)對(duì)APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行開環(huán)和閉環(huán)特性分析，更全面地考查集成式APPN和分離式APPN所具有的振動(dòng)控制性能，得到一些新的結(jié)論。

1 結(jié)構(gòu)形式與基本假設(shè)

1.1 結(jié)構(gòu)形式

集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)如圖1和圖2所示，其中RL電路為分流電路。為了使兩種APPN懸臂梁在結(jié)構(gòu)上保持一致，本文在集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)中增加了配重壓電層。

圖1 集成式APPN懸臂梁Fig.1 Cantilever beam with integrated APPN treatment

圖2 分離式APPN懸臂梁Fig.2 Cantilever beam with separated APPN treatment

1.2 基本假設(shè)

在建立APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型之前，首先進(jìn)行如下處理和假設(shè)：

(1)假設(shè)懸臂梁為Euler-Bernoulli懸臂梁，由此可知懸臂梁及其上的壓電層在電場強(qiáng)度為零時(shí)的正應(yīng)力和正應(yīng)變分別為

σb=Ebεb

(1)

σp=Epεp

(2)

(3)

式中:Eb和Ep分別為懸臂梁和壓電層的彈性模量。

(2)假設(shè)壓電層的極化方向沿其厚度方向向上(即沿z軸正方向)，且壓電層的電場強(qiáng)度e(t)表示為[14]

(4)

式中:va(t)和vs(t)分別為懸臂梁上、下壓電層表面上的電壓；hb和hp分別為懸臂梁和壓電層的厚度。

(3)利用Rayleigh-Ritz法，將懸臂梁的橫向位移w(x,t)表示為

(5)

式中:φi(x)為假設(shè)的模態(tài)函數(shù)，ri(t)為相應(yīng)的廣義坐標(biāo)，上角標(biāo)T為矩陣或向量的轉(zhuǎn)置。由振動(dòng)力學(xué)可知，

(sinhλix-sinλix) (i=1,2,…,n)

(6)

式中:lb為懸臂梁的長度，λi則由下式確定

cosλilbcoshλilb=-1

(7)

2 動(dòng)力學(xué)建模

下面利用Hamilton原理建立APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。從分析力學(xué)中知道，Hamilton原理的廣義形式為[15]

(8)

式中:Tk為動(dòng)能，U為勢能，We為電能，δW為外力所作的虛功。

2.1 集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)建模

集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)能表示為

(9)

式中:Vb和Vp分別為懸臂梁和壓電層的體積；ρb和ρp分別為懸臂梁和壓電層的密度。將式(5)代入式(9)，整理得

(10)

式中各質(zhì)量陣的表達(dá)式為

式中:l1和l2為壓電層左、右兩端到懸臂梁固定端的距離；b為懸臂梁和壓電層的厚度。

集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的勢能表示為

(11)

式中第二項(xiàng)為懸臂梁上表面壓電層的勢能，第三項(xiàng)為下表面配重壓電層的勢能。

對(duì)于一維結(jié)構(gòu)來說，壓電材料的本構(gòu)方程為[16]

(12)

(13)

(14)

將式(5)代入式(14)，整理得

(15)

式中各剛度陣的表達(dá)式為

集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的電能表示為

(16)

將式(13)、式(3)、式(4)代入式(16)得

(17)

將式(5)代入式(17)，整理得

(18)

式中:Cp=bξε(l2-l1)/hp。

從圖1中可以看到，集中力f(t)作用于x=lb處，并且考慮懸臂梁為有阻尼梁，則外力所作的虛功表示為

q(t)δva(t)

(19)

式中:δ*(x)為Dirac delta函數(shù)，cb為阻尼系數(shù)，q(t)為壓電層上的電荷量。將式(5)代入式(19)，整理得

(20)

其中載荷系數(shù)矩陣和阻尼陣的表達(dá)式為

將式(10)、式(15)、式(18)和式(20)代入式(8)，整理得

(21)

ΘTr(t)+Cpva(t)=q(t)

(22)

式中:M=Mb+Mp，K=Kb+Kp。

由于壓電層、RL電路和控制器串聯(lián)(如圖1所示)，因此該串聯(lián)電路的電壓關(guān)系為[11]

(23)

式中:vin(t)為控制電壓，R和L分別為電阻和電感。將式(22)分別代入式(21)和式(23)，得集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型為

(24)

(25)

2.2 分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)建模

對(duì)比圖1和圖2可以看出，集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的最大區(qū)別在于兩個(gè)壓電層的作用不同。

在集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)中，上表面壓電層既要作為作動(dòng)器對(duì)結(jié)構(gòu)振動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，又要作為換能器將結(jié)構(gòu)振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)化為電能并通過RL電路耗散掉；而在分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)中，上表面壓電層作為作動(dòng)器，下表面壓電層作為換能器。

因此，分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)能和外力所作的虛功與集成式相同，僅需要對(duì)勢能和電能的表達(dá)式進(jìn)行適當(dāng)修改。

對(duì)式(14)進(jìn)行適當(dāng)修改，得分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的勢能表達(dá)式為

(26)

將式(5)代入式(26)，整理得

(27)

而分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的電能表示為

(28)

式中:第一項(xiàng)為懸臂梁上表面壓電層的電能，第二項(xiàng)為下表面壓電層的電能。將式(13)、式(3)、式(4)代入式(28)得

(29)

將式(5)代入式(29)，整理得

(30)

將式(10)、式(27)、式(30)和式(20)代入式(8)，整理得

Θva(t)-Θvs(t)=Ff(t)

(31)

ΘTr(t)+Cpvs(t)=q(t)

(32)

考慮到下表面壓電層與RL電路相連，因此該串聯(lián)電路的電壓關(guān)系為

(33)

將式(32)分別代入式(31)和式(33)，并已知va(t)=vin(t)，得分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型為

(34)

(35)

3 參數(shù)優(yōu)化

研究表明，RL電路的減振機(jī)理與有阻尼動(dòng)力吸振器相同，電阻R和電感L只對(duì)結(jié)構(gòu)的某一階主模態(tài)具有最優(yōu)值。因此，當(dāng)vin(t)=0時(shí)，集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型簡化為

(36)

(37)

采用與有阻尼動(dòng)力吸振器相同的優(yōu)化方法對(duì)RL電路進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化[7]，可得電阻和電感的最優(yōu)值分別為

(38)

4 開環(huán)和閉環(huán)特性分析

已知位移傳感器位于x=l3處，用于測量懸臂梁的位移響應(yīng)，所以APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的傳感方程可表示為

(39)

另外假設(shè)集中力f(t)為簡諧激振力

f(t)=f0sinωt

(40)

式中:f0為激振力幅值，ω為激振力角頻率。

4.1 開環(huán)特性分析

定義w1(l3,t)/f(t)為激振力與位移響應(yīng)之間的傳遞函數(shù)，w2(l3,t)/vin(t)為控制電壓與位移響應(yīng)之間的傳遞函數(shù)，其中w1(l3,t)、w2(l3,t)分別為激振力和控制電壓單獨(dú)作用時(shí)引起的位移響應(yīng)。再定義T1和T2為w1(l3,t)/f(t)和w2(l3,t)/vin(t)的幅值，由此可知，T1表示被動(dòng)阻尼性能，其越小越好；T2表示主動(dòng)控制權(quán)益，其越大越好。

對(duì)于集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)，T1和T2的表達(dá)式為

(41)

(42)

其中

對(duì)于分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)，T1和T2的表達(dá)式為

(43)

(44)

比較式(41)、式(42)與式(43)、式(44)可以看出，集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)具有相同的被動(dòng)阻尼性能表達(dá)式，不同的主動(dòng)控制權(quán)益表達(dá)式。這是由于，當(dāng)忽略主動(dòng)控制時(shí)，二者的結(jié)構(gòu)形式完全相同，因而具有相同的被動(dòng)阻尼性能；當(dāng)考慮主動(dòng)控制時(shí)，集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的控制電壓通過RL電路輸入到壓電層上，分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的控制電壓就是壓電層上的電壓，因而具有不同的主動(dòng)控制權(quán)益。

下面對(duì)APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)進(jìn)行數(shù)值仿真分析。由于懸臂梁作為連續(xù)體具有無窮多個(gè)主模態(tài)，為了研究方便，本文選取前二階主模態(tài)對(duì)APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的開環(huán)和閉環(huán)特性進(jìn)行分析。APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的具體參數(shù)如表1所示。根據(jù)上述參數(shù)求得，控制第一階主模態(tài)振動(dòng)的最優(yōu)電阻和電感值分別為R1=16.98 kΩ，L1=214.15 H；而控制第二階主模態(tài)振動(dòng)的最優(yōu)電阻和電感值分別為R2=1.55 kΩ，L2=8.41 H。

當(dāng)選擇R1和L1對(duì)懸臂梁第一階主模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，從圖3中可以看出，APPN能夠有效控制第一階主模態(tài)的振動(dòng)，但是無法控制第二階主模態(tài)的振動(dòng)。

當(dāng)選擇R2和L2對(duì)懸臂梁第二階主模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，從圖4中可以看出，APPN能夠有效控制第二階主模態(tài)的振動(dòng)，但是對(duì)第一階主模態(tài)的振動(dòng)控制效果并不顯著。

從圖3和圖4中可以看出，由于選擇最優(yōu)的電阻和電感對(duì)懸臂梁第一階主模態(tài)或第二階主模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制，導(dǎo)致APPN只對(duì)懸臂梁第一階主模態(tài)或第二階主模態(tài)具有顯著的振動(dòng)控制作用，而對(duì)其它階主模態(tài)無法實(shí)施有效的控制。但是APPN并非只能控制懸臂梁某一階主模態(tài)的振動(dòng)，如圖5所示，當(dāng)選擇R=25 kΩ、L=1 H時(shí)，APPN能夠同時(shí)控制懸臂梁前二階主模態(tài)的振動(dòng)。但無論選擇怎樣的電阻和電感值，無非是將APPN的振動(dòng)控制性能進(jìn)行了折中，卻無法使APPN的振動(dòng)控制性能在前二階主模態(tài)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。

圖3 被動(dòng)阻尼性能(R1L1電路)Fig.3 Passive damping performance with R1L1 circuit

圖4 被動(dòng)阻尼性能(R2L2電路)Fig.4 Passive damping performance with R2L2 circuit

參數(shù)數(shù)值參數(shù)數(shù)值l1/mm10l2/mm50l3/mm180lb/mm200hb/mm2hp/mm0．8b/mm30c/(N·s·m-2)0．13ρb/(kg·m-3)7850ρp/(kg·m-3)7500Eb/GPa210Ep/GPa60．6d31/(pm·V-1)-274ξε/(nF·m-1)25．55

TANG等[17]亦對(duì)RL電路進(jìn)行了參數(shù)優(yōu)化，得到最優(yōu)電阻和電感值的表達(dá)式為

(45)

利用式(45)求得控制第一階主模態(tài)振動(dòng)的最優(yōu)電阻和電感值分別為R1=19.61 kΩ，L1=214.15 H；而控制第二階主模態(tài)振動(dòng)的最優(yōu)電阻和電感值分別為R2=1.55 kΩ，L2=8.41 H。通過對(duì)兩種優(yōu)化方法進(jìn)行數(shù)值比較可以看出(如圖6所示)，利用式(38)求得的最優(yōu)電阻和電感值可以使APPN具有更好的被動(dòng)阻尼性能。

圖5 被動(dòng)阻尼性能(R=25 kΩ，L=1 H)Fig.5 Passive damping performance with R=25 kΩ, L=1 H

圖6 優(yōu)化方法比較Fig. 6 Comparison of optimization methods

圖7對(duì)兩種APPN的主動(dòng)控制權(quán)益進(jìn)行了比較。從圖中可以看出，當(dāng)選擇R1和L1對(duì)懸臂梁第一階主模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，在一階共振頻率附近，分離式APPN的主動(dòng)控制權(quán)益小于集成式APPN和純主動(dòng)控制的主動(dòng)控制權(quán)益(這一結(jié)論與TSAI等[12]得出的結(jié)論是相同的)；但是在二階共振頻率附近，分離式APPN的主動(dòng)控制權(quán)益與純主動(dòng)控制幾乎是相同的，二者均明顯優(yōu)于集成式APPN的主動(dòng)控制權(quán)益。

4.2 閉環(huán)特性分析

為了研究方便，本文采用速度反饋控制設(shè)計(jì)主動(dòng)控制器，因此控制電壓表示為

(46)

式中:Kc=1 500為反饋控制增益。將式(39)代入式(46)得

(47)

定義w(l3,t)/f(t)為激振力與位移響應(yīng)之間的閉環(huán)傳遞函數(shù)，并令T3為w(l3,t)/f(t)的幅值，由此可知，T3表示系統(tǒng)的閉環(huán)控制性能，其越小越好。

圖7 主動(dòng)控制權(quán)益Fig.7 Active control authority

對(duì)于集成式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)，T3的表達(dá)式為

(48)

對(duì)于分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)，T3的表達(dá)式為

T3=

(49)

當(dāng)選擇R1和L1對(duì)懸臂梁第一階主模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，從圖8中可以看出，在一階共振頻率附近，集成式APPN的振動(dòng)控制性能優(yōu)于分離式APPN和純主動(dòng)控制；但是在二階共振頻率附近，集成式APPN的振動(dòng)控制性能遠(yuǎn)不及分離式APPN和純主動(dòng)控制。

下面結(jié)合圖3和圖7對(duì)這一結(jié)果進(jìn)行闡釋。從圖3中可以看出，通過R1L1電路對(duì)懸臂梁施加的被動(dòng)控制，已經(jīng)使APPN為懸臂梁第一階主模態(tài)提供了很大的被動(dòng)阻尼，因此，盡管集成式和分離式APPN在一階共振頻率附近的主動(dòng)控制權(quán)益遠(yuǎn)小于純主動(dòng)控制(如圖7所示)，還是使集成式和分離式APPN具有比純主動(dòng)控制更好的閉環(huán)控制性能(如圖8所示)。但是對(duì)于第二階主模態(tài)，R1L1電路未提供被動(dòng)阻尼，而且集成式APPN的主動(dòng)控制權(quán)益也遠(yuǎn)不及分離式APPN和純主動(dòng)控制，因此，集成式APPN在二階共振頻率附近的振動(dòng)控制性能亦遠(yuǎn)不及分離式APPN和純主動(dòng)控制。另一方面，由于分離式APPN在二階共振頻率附近的主動(dòng)控制權(quán)益與純主動(dòng)控制相當(dāng)，使得二者的閉環(huán)控制性能亦相同。

圖8 閉環(huán)控制性能(R1L1電路)Fig.8 Closed-loop control performance with R1L1 circuit

4.3 純主動(dòng)控制、集成式APPN和分離式APPN的比較

利用上述分析結(jié)果，可以對(duì)純主動(dòng)控制、集成式APPN和分離式APPN進(jìn)行如下比較：

首先，純主動(dòng)控制不具有被動(dòng)阻尼性能，若反饋控制系統(tǒng)出現(xiàn)故障可能會(huì)造成系統(tǒng)失穩(wěn)；而集成式和分離式APPN均具有很好的被動(dòng)阻尼性能(且二者的被動(dòng)阻尼性能完全相同)，這在一定程度上增加了系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。

其次，當(dāng)選擇R1和L1對(duì)懸臂梁第一階主模態(tài)進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，集成式APPN的閉環(huán)控制性能在一階共振頻率附近優(yōu)于分離式APPN和純主動(dòng)控制，在二階共振頻率附近則遠(yuǎn)不及分離式APPN和純主動(dòng)控制；而分離式APPN在一階和二階共振頻率附近均具有良好的閉環(huán)控制性能(如圖8所示)。

由此可知，集成式APPN在窄頻帶的振動(dòng)控制性能優(yōu)于分離式APPN和純主動(dòng)控制，而分離式APPN則在更寬的頻帶具有比集成式APPN和純主動(dòng)控制更好的振動(dòng)控制性能。

事實(shí)上，即使未對(duì)APPN中的RL電路進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，分離式APPN依然具有比純主動(dòng)控制更好的振動(dòng)控制性能。例如，當(dāng)選擇R=25 kΩ、L=1H對(duì)懸臂梁進(jìn)行振動(dòng)控制時(shí)，從圖5和圖9中可以看出，分離式APPN不僅具有與純主動(dòng)控制相當(dāng)?shù)拈]環(huán)控制性能，還具有純主動(dòng)控制所沒有的良好的被動(dòng)阻尼性能。也就是說，即使分離式APPN的主動(dòng)控制部分出現(xiàn)故障，其被動(dòng)控制部分依然能夠起到很好的抑制振動(dòng)的作用。

圖9 閉環(huán)控制性能(R=25 kΩ，L=1 H)Fig.9 Closed-loop control performance with R=25 kΩ, L=1 H

5 結(jié) 論

本文以Euler-Bernoulli懸臂梁作為研究對(duì)象，利用Hamilton原理和Rayleigh-Ritz法建立集成式和分離式APPN懸臂梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，通過對(duì)APPN懸臂梁的開環(huán)和閉環(huán)特性進(jìn)行深入研究，得到了如下結(jié)論：

(1)集成式APPN和分離式APPN具有相同的被動(dòng)阻尼性能、不同的主動(dòng)控制權(quán)益，從而導(dǎo)致二者具有不同的閉環(huán)控制性能。

(2)采用與有阻尼動(dòng)力吸振器相同的優(yōu)化方法可以對(duì)APPN中的RL電路進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化，但是利用這種方法得到的最優(yōu)電阻和電感值只能使APPN在某一階主模態(tài)具有最優(yōu)的被動(dòng)阻尼性能，而無法使APPN的被動(dòng)阻尼性能在各階主模態(tài)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。

(3)由數(shù)值仿真結(jié)果可知，集成式APPN在窄頻帶的振動(dòng)控制性能優(yōu)于分離式APPN和純主動(dòng)控制，而分離式APPN則在更寬的頻帶具有比集成式APPN和純主動(dòng)控制更好的振動(dòng)控制性能。

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Modelling and comparison of cantilever beams withan active-passive hybrid piezoelectric network

LI Mingming1, HUANG Chunrong2, FANG Bo3, DUAN Lei1

(1. Beijing Mechanical Equipment Institute, Beijing 100854, China；2.Military Representative Office at No. 206 Institute of the Aerospace Second Academy, Beijing 100854, China；3.School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

Taking an Euler-Bernoulli cantilever beam as the study object, active-passive hybrid piezoelectric network (APPN) was analyzed and optimized. Hamilton’s principle and Rayleigh-Ritz method were used to build the dynamic models of the cantilever beam with integrated and separated APPNs, respectively. Parametric optimization was performed for resistance and inductance in the APPN. Furthermore, the velocity feedback control was employed to design the active controller and the open-loop and closed-loop characteristics of the cantilever beams with integrated and separated APPNs, respectively were simulated andn analyzed. The numerical results showed that both integrated and separated APPNs can suppress the structures’ vibrations effectively; compared with the pure active control, the integrated APPN has a better vibration control performance in narrow frequency bands, while the separated APPN has a better vibration control performance in broader frequency bands than both the integrated APPN and the pure active control do.

active-passive hybrid piezoelectric network; Euler-Bernoulli cantilever beam; Hamilton’s principle; Rayleigh-Ritz method; velocity feedback control

國家自然科學(xué)基金(11402087)

2015-11-03 修改稿收到日期：2016-01-18

李明明 男，博士，工程師，1982年10月生

方勃 男，博士，教授，1964年8月生

O328

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.03.016