高勁松

[摘 要] 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)相比其他學(xué)科來(lái)得較為抽象，如何通過(guò)中學(xué)生可以接受的方式進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐是教師面對(duì)的一個(gè)難題. 本文以實(shí)踐案例對(duì)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)進(jìn)行分析闡述.

[關(guān)鍵詞] 課堂教學(xué)；數(shù)學(xué)；實(shí)踐；變式實(shí)踐

眾所周知，數(shù)學(xué)是培養(yǎng)一門(mén)理性思維的學(xué)科，因?yàn)槠涮厥獾膶W(xué)科性質(zhì)自然鑄造了學(xué)科教學(xué)一定的抽象性. 在歷史長(zhǎng)廊中，但凡科學(xué)、理工、醫(yī)學(xué)、天文等方面卓有成就的學(xué)者都對(duì)數(shù)學(xué)有著極大的贊賞和傾心的認(rèn)知. 人類(lèi)歷史上第一種完全合成塑料的締造者化學(xué)家貝克蘭是這樣評(píng)價(jià)他學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)：中學(xué)時(shí)代老師讓我在數(shù)學(xué)課堂中不斷動(dòng)手研究為什么三角形是最穩(wěn)定的圖形構(gòu)造，這第一次的動(dòng)手讓我畢生難忘，讓我在后來(lái)的化學(xué)研究中永遠(yuǎn)記得動(dòng)手才能得到最真的認(rèn)識(shí). 今天，我們的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也在不斷致力于數(shù)學(xué)實(shí)踐的探索和嘗試，致力于學(xué)生如何將數(shù)學(xué)理論的研究通過(guò)一定的非形式化手段去實(shí)現(xiàn)，這非常符合中學(xué)生認(rèn)知的心理和行為習(xí)慣.

從我們今天的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)來(lái)看，實(shí)踐性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)已經(jīng)向前邁出了一大步. 以筆者親身作為學(xué)生和教師的不同年代來(lái)看，作為學(xué)生時(shí)的中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)完全是滿堂灌的概念、公式、性質(zhì)，無(wú)論你理解與否接受的都是一堆形式化的結(jié)論，你只要記住這些結(jié)論然后不斷地去解數(shù)學(xué)題，造成了數(shù)學(xué)實(shí)踐性的缺乏和興趣的缺失；今天的數(shù)學(xué)教學(xué)，特別是在新知認(rèn)知階段，教師已采用多元的實(shí)踐方式讓學(xué)生去體會(huì)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程、公式得到的前因后果、性質(zhì)歸納的種種緣由，這一教學(xué)理念的改變讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與中學(xué)生心理認(rèn)知緊密地結(jié)合起來(lái)，讓其真正成為學(xué)生可以接受的方式.用圖1表示教學(xué)實(shí)踐應(yīng)該進(jìn)行的流程：

概念教學(xué)中的實(shí)踐性

數(shù)學(xué)概念如何教學(xué)才能讓學(xué)生理解其抽象的本質(zhì)、形式化的內(nèi)涵？那種傳統(tǒng)講述定義結(jié)合指出注意的方式已經(jīng)不適應(yīng)當(dāng)下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，勢(shì)必需要將非形式化的手段進(jìn)行合理的滲透.對(duì)于中學(xué)生而言，這種合理的非形式化方式結(jié)合形式化的結(jié)論是最恰當(dāng)?shù)模阋灾螌W(xué)生在概念教學(xué)中突破抽象性.

案例1：教材《映射》概念的導(dǎo)入實(shí)踐，采用多媒體教學(xué)實(shí)踐.

教師網(wǎng)上下載flash新射雕英雄傳游戲：某人拿著弓箭在山頂上，射飛來(lái)的雕，努力闖關(guān)，還有一些道具可以幫助玩家過(guò)關(guān)，其中“射信封”——可以使用一次三重箭，即一箭多雕.

師：誰(shuí)來(lái)嘗試？

生：我來(lái)，我來(lái). （學(xué)生爭(zhēng)先恐后，教師請(qǐng)學(xué)生操作，眾學(xué)生全神貫注. 直到操作的學(xué)生闖關(guān)失敗后，全班一聲嘆息！箭用完了，某人被雕叼走了，真可憐！看學(xué)生余猶未盡，又請(qǐng)了一位學(xué)生操作：一劍射中了一雕！全班一片掌聲！）

師：今天我們學(xué)習(xí)的映射與射雕有關(guān)?。▽W(xué)生一臉疑惑）

師（趁熱打鐵）：“一箭一雕”，即一對(duì)一，單射；“多箭一雕”，即多對(duì)一，多射，這些都是映射.

生：那一次三重箭呢？

師：?jiǎn)柕煤茫　耙患p雕”“一箭多雕”，即一對(duì)多，不是映射了！

教師板書(shū)定義，此時(shí)教室里氣氛異?；钴S，興趣盎然，教師用非形式化手段類(lèi)比映射的概念.

說(shuō)明：教學(xué)是指教師以適當(dāng)?shù)姆绞剑龠M(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)的過(guò)程.教學(xué)過(guò)程中的中心問(wèn)題是圍繞學(xué)生而展開(kāi)的，教師教學(xué)的目的是為了學(xué)生更好地學(xué)習(xí). 著名心理學(xué)家羅杰斯曾經(jīng)指出有意義的學(xué)習(xí)包括三個(gè)方面的要素：其一，學(xué)生必須是親身參與的；其二，學(xué)習(xí)是自發(fā)的、受外界刺激進(jìn)而從內(nèi)部領(lǐng)會(huì)的；其三，學(xué)習(xí)具備滲透性，通過(guò)某種學(xué)習(xí)實(shí)踐獲得一系列的類(lèi)似解決方式. 根據(jù)羅杰斯的理論，教師在教學(xué)過(guò)程中的作用是為學(xué)生提供適當(dāng)?shù)臈l件與刺激，在這些刺激的作用下學(xué)生按照一定的方法去獲得自己想要的東西. 數(shù)學(xué)實(shí)踐恰好提供了這些舞臺(tái). 學(xué)生可以從生動(dòng)的實(shí)踐動(dòng)手出發(fā)，認(rèn)識(shí)這些數(shù)學(xué)實(shí)踐所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)，從而形成正確的數(shù)學(xué)觀.

解題教學(xué)中的實(shí)踐性

數(shù)學(xué)問(wèn)題也是具備抽象性的，特別是具備諸如無(wú)限項(xiàng)的數(shù)列、集合問(wèn)題，空間幾何中的想象問(wèn)題，抽象的函數(shù)問(wèn)題等，這些問(wèn)題有時(shí)難以理解，教師可以通過(guò)課堂實(shí)踐的方法進(jìn)行指導(dǎo)，加強(qiáng)學(xué)生通過(guò)實(shí)踐解決問(wèn)題.

案例2：三個(gè)平面最多把空間分成幾部分？

學(xué)生作業(yè)中這一問(wèn)題的答案比較多，有4，6，7，8等. 針對(duì)這一現(xiàn)象在課堂上設(shè)計(jì)這樣一個(gè)實(shí)踐：一些事先準(zhǔn)備好的馬鈴薯切成的正方體（看成一空間模型），刀一把（看成一平面模型，切三刀）. 讓學(xué)生自愿上來(lái)對(duì)自己的答案做具體的演示實(shí)踐，要求其余學(xué)生認(rèn)真觀察、總結(jié)，學(xué)生在實(shí)踐的過(guò)程中很容易得到正確答案是8. 演示時(shí)學(xué)生的注意力都非常集中，興趣盎然，而且學(xué)生的興趣不只停留在觀察事物的表面上，也包括主動(dòng)地自主探究得出正確的結(jié)論.

說(shuō)明：空間幾何最好的實(shí)踐方式是直觀操作，因此解題中我們用切土豆這種直觀的實(shí)際操作解決了學(xué)生空間幾何新知中三個(gè)平面如何將空間分為8部分的疑惑.

案例3：函數(shù)奇偶性的判斷

說(shuō)明：奇偶性是函數(shù)的第二大性質(zhì)，學(xué)生學(xué)習(xí)奇偶性即簡(jiǎn)化函數(shù)圖像的分析，通過(guò)對(duì)稱來(lái)提高問(wèn)題解決的效率.教學(xué)中設(shè)計(jì)的三個(gè)解題實(shí)踐，從基本問(wèn)題的判斷出發(fā)，到進(jìn)一步問(wèn)題的分析，再到分段函數(shù)和抽象函數(shù)的解決，層層遞進(jìn)式地判斷函數(shù)的奇偶性. 這里的實(shí)踐操作全部由學(xué)生通過(guò)學(xué)案式學(xué)習(xí)進(jìn)行解決，這種解決既是對(duì)定義的思考也是對(duì)定義更高層次的運(yùn)用，有助于通過(guò)解題實(shí)踐性來(lái)提高教學(xué)有效性.

研究性教學(xué)中的實(shí)踐性

數(shù)學(xué)教學(xué)還需要引入一些思考性的實(shí)踐，筆者認(rèn)為做一些相關(guān)知識(shí)的研究性學(xué)習(xí)比較好. 數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，普遍存在著教師講得多問(wèn)得少的現(xiàn)象，學(xué)生跟著教師的問(wèn)題走，只有回答“是”或“不”的權(quán)力，很少有真正意義上的獨(dú)立思考的空間，缺少實(shí)踐、大膽質(zhì)疑的機(jī)會(huì)，顯得呆板、枯燥、乏味，很多學(xué)生都是為了應(yīng)付高考而被動(dòng)地學(xué)習(xí). 而研究性的思考，往往讓學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入實(shí)踐階段，使得學(xué)習(xí)內(nèi)容豐富、形式多樣、操作有趣，讓數(shù)學(xué)不滯留于理論，而與實(shí)踐緊緊結(jié)合.

案例4：“數(shù)學(xué)歸納法”引入環(huán)節(jié)

在數(shù)學(xué)歸納法的引入教學(xué)中，說(shuō)明完全歸納法和不完全歸納法得出的結(jié)果的正確性探討中，學(xué)生有點(diǎn)疑惑.于是筆者設(shè)計(jì)了下面的實(shí)踐：在一只布袋中有12只紅色的乒乓球，袋口扎緊.

師：袋中的12只乒乓球都是紅色的，你們相信嗎？（學(xué)生半信半疑）

師：是不是真的，你們會(huì)怎么去驗(yàn)證？

生：一個(gè)個(gè)摸出來(lái)看一看不就知道了嘛！

師：不錯(cuò)！現(xiàn)在我來(lái)摸，每次摸一個(gè)，你們來(lái)統(tǒng)計(jì)、驗(yàn)證. （一連摸了4次，都是紅色的）

師：是否可推出里面的乒乓球都是紅色的？

生：可能是也可能不是，不一定.

師：這就是不完全歸納法，它得出的結(jié)論可能正確也可能不正確，若要證明它的正確性還需繼續(xù)驗(yàn)證.繼續(xù)摸，直到全部摸完.觀察到都是紅色的，得出結(jié)論“袋中裝的12個(gè)乒乓球都是紅色的”是正確的. 這就是完全歸納法，它經(jīng)過(guò)一一驗(yàn)證得出的結(jié)果肯定是正確的，不用再證明.

說(shuō)明：實(shí)踐性地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)歸納法，理解完全歸納和不完全歸納，對(duì)于學(xué)生獲得學(xué)習(xí)樂(lè)趣和知識(shí)是一種探索性的嘗試，值得在一定范圍內(nèi)開(kāi)展，進(jìn)而讓學(xué)生獲得學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.

總之，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)需要改革，需要不斷與時(shí)俱進(jìn)的更新，無(wú)論從方法論的角度還是從理性思考的層面，都應(yīng)該清楚地認(rèn)識(shí)到唯有實(shí)踐才是檢驗(yàn)學(xué)習(xí)的最真標(biāo)準(zhǔn)，也是知識(shí)獲得的最好途徑.