李正言

摘要：對于高等數(shù)學(xué)而言，數(shù)形結(jié)合可謂是一種極為基礎(chǔ)但同時也非常重要的解題思路與解題方法，學(xué)生在初等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)期間便已經(jīng)與其有了簡短的接觸，接觸高等數(shù)學(xué)之后，數(shù)形結(jié)合依然是解決高等數(shù)學(xué)問題的一條捷徑，通過“數(shù)”與“形”的滲透與轉(zhuǎn)換，抽象的問題得以更加直觀化與生動化，學(xué)生不再困擾于抽象思維，而是可以利用形象思維來有效解題。本研究選擇一些常見類型的習(xí)題，試探究如何利用數(shù)形結(jié)合知識來更加有技巧地解題，并總結(jié)相關(guān)學(xué)習(xí)體會。

關(guān)鍵詞：解題技巧 學(xué)習(xí)體會 知識點(diǎn) 數(shù)形結(jié)合

如果說初中階段重在培養(yǎng)學(xué)生的解題思路，那么高中階段便重在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，可謂是創(chuàng)新思維培養(yǎng)的黃金時期。在高中階段的數(shù)學(xué)知識學(xué)習(xí)中，應(yīng)該充分利用數(shù)形結(jié)合相關(guān)知識點(diǎn)來解題，即基于數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在原因，將“數(shù)”與“形”兩個要素有機(jī)結(jié)合在一起，從直觀、形象的角度來分析問題，如此可以簡化習(xí)題中復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系與抽象的數(shù)學(xué)要素，更簡單地解決數(shù)學(xué)問題，以揭示其代數(shù)意義與幾何直觀意義。

一、以形轉(zhuǎn)數(shù)的解題技巧

例題1：見圖1，假若（X-1）2

解題思路分析：假設(shè)f1（x）=（X-1）2，f2（x）=logaX，若要實現(xiàn)（X-1）21的時候，若要確保（X-1）2

總結(jié)：圖形雖然比數(shù)值更加直觀形象，但是在推理邏輯性與計算正確性上卻有明顯的缺陷，對于需要求得具體數(shù)值的問題，如果只用圖形解題將有可能出現(xiàn)錯誤，這時便需要借助“以形轉(zhuǎn)數(shù)”的解題技巧來將圖形轉(zhuǎn)化為代數(shù)語言，從另一條道路上探究問題解決方法。當(dāng)然，需要注意的是，教師應(yīng)該告知學(xué)生全面思考的重要性，不要遺漏任何已知條件，必須考慮到各種可能性，只有這樣才能獲得完整且正確的計算結(jié)果。

二、以數(shù)轉(zhuǎn)形的解題技巧

例題2：>0，為此不等式求解。

解題思路分析：這個不等式帶有根號，直接求解需要經(jīng)歷復(fù)雜的計算過程，其中需要運(yùn)用到的計算技巧并不是高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)知識點(diǎn)，因此可以將不等式與函數(shù)圖像聯(lián)合起來進(jìn)行求解。首先，可以將無理式兩邊配以平方，使其化為整式，隨后為其取不等式的交集。通過教師的計算可以發(fā)現(xiàn)，若=0這一等式，將是沒有解的，但是可以將其轉(zhuǎn)化為y1=，y2=，如此便可以在坐標(biāo)軸中畫出圖2中的函數(shù)圖像，最終取結(jié)果的交集，即x≥3。

體會：從例題2的解題過程可以發(fā)現(xiàn)，不等式解題若直接進(jìn)行計算，學(xué)生難免受思維不全面所限而難以給出全面的結(jié)果，并且復(fù)雜的復(fù)習(xí)和計算過程也會浪費(fèi)學(xué)生的計算時間，因此教師可以將“數(shù)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤靶巍眮頂U(kuò)展學(xué)生的解題思路，以數(shù)轉(zhuǎn)形的解題技巧不僅可以使學(xué)生更加簡便的得出答案，更有助于學(xué)生培養(yǎng)發(fā)散思維。

三、其他數(shù)形結(jié)合的解題實例

例題3：已知一條直線與一條曲線，分別為y=k（x-2）+4與y=1+，它們相交于2個不同的點(diǎn)，求k的具體取值范圍。

解題思路分析：為曲線y=1+配以平方，得出（y-1）2+x2=

4，已知y介于1～3之間，繪出圖形（圖3），曲線所形成的圓形有圓心點(diǎn)A（0，1），半徑為2，鑒于y的值域大于1，因此解題所涉及的圖形是上半圓。因直線為y=k（x-2）+4穿過點(diǎn)B（2，4），將直線圍繞點(diǎn)B進(jìn)行順時針旋轉(zhuǎn)，可使圓形、直線相切，即直線和圓的交點(diǎn)只需要在弧線MT之上便可以滿足題意。由于交點(diǎn)M也在直線y=1之上，因此可得出點(diǎn)M坐標(biāo)為（-2，1），而直線BM經(jīng)過點(diǎn)斜式法進(jìn)行計算可得KBM=3/4，也就是說點(diǎn)M與點(diǎn)A兩點(diǎn)之間的距離即為半徑，因此可以列出等式|1+2k-4|-4||，最終計算可得KBR=5/12，即k∈（5/12，3/4）。

體會：高中階段的圓類問題通常與其他幾何圖形交叉存在，題目多給出直線或圓形的標(biāo)準(zhǔn)方式，若僅進(jìn)行抽象計算不僅會提高錯誤出現(xiàn)幾率，也不利于快速得出正確答案。以例題3為例，若要解決圓與直線位置關(guān)系問題，可以借助直角坐標(biāo)系進(jìn)行圓與直線空間位置的直觀觀察，通過計算直線與圓心之間的距離來判斷二者是相切、相交、相離。經(jīng)過初中、高中階段的學(xué)習(xí)，學(xué)生們已經(jīng)得知，直線與圓心距離小于半徑即為相切、直線與圓心距離等于半徑即為相交、直線與圓心距離大于半徑即為相離，再結(jié)合圖形，便可以計算出相應(yīng)點(diǎn)的位置（取值范圍）。

四、結(jié)語

數(shù)形結(jié)合實際上是一種創(chuàng)新性的思維，學(xué)生嘗試從不同于題目敘述角度的另一個方面進(jìn)行解題，其實際上是對學(xué)生知識儲備信息的重新組合，是一種具有較高價值的設(shè)想與發(fā)現(xiàn)。從學(xué)習(xí)角度來說，數(shù)形結(jié)合技巧可以使學(xué)生奠定更加扎實牢固的知識基礎(chǔ)，可以使學(xué)生獲得更加便捷有效的解題技巧，無論是對日常學(xué)習(xí)還是對高考，都有非常高的應(yīng)用價值。本文嘗試分析“以數(shù)轉(zhuǎn)形”、“以形轉(zhuǎn)數(shù)”等數(shù)形結(jié)合解題技巧，結(jié)合例題進(jìn)行展示與分析，總結(jié)了相應(yīng)的學(xué)習(xí)體會，旨在更清晰地指明數(shù)形結(jié)合的解題思路。

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（作者單位：河北省保定市第三中學(xué)）