李雅瓊

(阜陽職業(yè)技術學院，安徽 阜陽 236000)

基于二階滑模的倒立擺控制研究

李雅瓊

(阜陽職業(yè)技術學院，安徽 阜陽 236000)

滑模控制作為最常用的變結構控制方法，在魯棒性、抗干擾能力、實現(xiàn)難易程度以及自適應方面具有很大的優(yōu)勢。傳統(tǒng)的滑?？刂剖且浑A滑模，雖也具有以上優(yōu)點，但存在嚴重缺陷，即容易發(fā)生抖振。而高階滑?？刂撇粌H能繼承傳統(tǒng)一階滑模的優(yōu)點，還能消除一階滑模抖振的缺陷。二階滑模就是最簡單、最易實現(xiàn)的高階滑模。以一階直線倒立擺為模型，對二階滑模的超螺旋算法進行仿真，仿真結果表明二階滑模的超螺旋算法具有可行性和優(yōu)越性。

變結構控制；二階滑模；倒立擺

0 引言

滑模變結構控制是變結構控制的一種，因其具有很強的魯棒性、抗干擾能力以及易實現(xiàn)、自適應性強等優(yōu)點[1]受到專家學者的關注。自這種理論提出以來就受到人們的重視，研究其缺點及優(yōu)化方法等。隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)滑?？刂迫菀桩a(chǎn)生抖振，于是開展如何避免滑?？刂贫墩竦难芯浚械膶＜姨岢雠c其他算法結合，如模糊控制；有的又提出高階滑模，如二階滑模在一定程度上能避免抖振。本研究將二階滑模理論用于倒立擺模型的控制，并通過Matlab仿真證明其可行性。

1 滑模變結構控制發(fā)展現(xiàn)狀

隨著自動控制的產(chǎn)生，有關控制系統(tǒng)的各種研究就一直在進行，如抗干擾性、穩(wěn)定性、魯棒性、自適應性、動態(tài)性能等。在研究控制系統(tǒng)時，不少學者發(fā)現(xiàn)不管是在傳統(tǒng)的PID控制理論還是現(xiàn)代控制理論中，其控制器都是固定的結構，這就導致在控制多對象的系統(tǒng)時，很難保證所有控制對象的控制性能都很優(yōu)。這時變結構控制(variable structure control)就應運而生了。

變結構控制理論的發(fā)展經(jīng)歷了以下3個階段[2]：

1)從1957年到1962年：上世紀50年代末，前蘇聯(lián)著名學者Emelyanov率先提出變結構控制的思想，主要研究二階線性系統(tǒng)的相平面的變結構控制。

2)從1962年到1970年：變結構控制的概念提出后，Itkis、Utkin等人也致力于變結構控制并將其研究推廣到高階線性系統(tǒng)。此階段主要研究高階線性系統(tǒng)兩大方向的問題，一是二次型切換函數(shù)；二是線性切換函數(shù)受限與否的問題。不過此階段研究的高階系統(tǒng)也僅限于單輸入單輸出的系統(tǒng)。

3)1970年至今：20世紀70年代初，對于變結構控制的研究主要針對線性狀態(tài)空間上的線性系統(tǒng)，對于這類系統(tǒng)，當給其干擾時，系統(tǒng)的相關性能還能保持不變，具有很強的抗干擾能力。在此基礎上，前蘇聯(lián)學者Utkin在1977年的綜述論文里又提出了滑模變結構控制的概念及控制方法。此后，變結構控制在學術界引起了很大的關注。經(jīng)過約50年的發(fā)展，變結構控制系統(tǒng)研究已經(jīng)從規(guī)范空間擴展到了更一般的狀態(tài)空間中。變結構控制甚至還與其他理論如神經(jīng)網(wǎng)絡、模糊控制等結合產(chǎn)生新的控制方法。到如今，滑模變結構控制已是自動控制理論中的一個重要分支，應用也遍及飛機控制、飛行器控制、機器人控制、衛(wèi)星控制、電機控制等高新領域[3]。

目前學術界把變結構控制分為2種，即不帶滑動模態(tài)的變結構控制和帶滑動模態(tài)的變結構控制。其中，帶滑動模態(tài)(簡稱滑模)的變結構控制較常用，現(xiàn)如今提及的變結構控制通常都是指帶滑模的變結構控制。

滑模變結構控制與傳統(tǒng)的固定結構控制不同，它是從新的角度進行控制，適合一些具有很多不確定性的系統(tǒng)?；Ｗ兘Y構控制方法具有對外界干擾不敏感、實現(xiàn)方式簡單、響應快、魯棒性好、自適應性好等優(yōu)點，但同時也具有易發(fā)生抖振的缺點。

2 滑?？刂评碚?/h2>

2.1 滑模控制基本概念

圖1 滑?？刂魄袚Q面上的點

在進行滑模控制研究時，一般只用到終止點O。因為此類點通常最終都會被吸引到切換面附近運動，由于系統(tǒng)的慣性，此類點會在切換面兩邊做小幅度的高頻振動，此運動也就是“滑動模態(tài)”或“滑模運動”，簡稱滑模。在切換面上，所有終止點O存在的區(qū)域被稱為“滑模區(qū)”。

根據(jù)控制需要設計出滿足上述條件的切面S，并經(jīng)過一定的控制使系統(tǒng)中的運動點都能到達切換面，且一直在切換面做滑模運動，這樣的控制就是滑模控制。

通常，滑?？刂茣@樣定義：

對于一個非線性系統(tǒng)，如果存在切換面，在切換面上存在函數(shù)s(x)，且能找到一個變結構函數(shù)滿足下式：

(1)

式(1)中s(x)是切換函數(shù)，u(x)是變結構函數(shù),并同時滿足以下4個條件：

1)在切換面S以外的點都能在有限的時間內(nèi)到達切換面。

2)存在滑動模態(tài)。

3)終止點能穩(wěn)定的進行滑模運動。

4)在動態(tài)性能方面滿足系統(tǒng)的要求。

2.2 滑?？刂破鞯脑O計

由上述滑模控制的定義不難得出，滑?？刂破鞯脑O計包括2大部分[4]。一是切換函數(shù)s(x)，確定的轉(zhuǎn)換函數(shù)要能保證滑動模態(tài)的穩(wěn)定性和動態(tài)品質(zhì)；二是滑模控制律u±(x)，設計滑?？刂坡梢鼙ＷC滑動模態(tài)的存在性和可達性。

假設一個n階多變量系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：

(2)

式(2)中，X∈Rn，U∈Rm是控制向量，F(xiàn)∈Rl是擾動向量，A、B、C是矩陣。n階系統(tǒng)對應n維空間，假設可以設計的切換函數(shù)有m個，則有:

S=PX,S∈Rm

(3)

式(3)中，P∈Rm×n。

下面針對這個n階多變量系統(tǒng)設計滑?？刂破鳌?/p>

1)設計切換函數(shù)。

因為只有確定了轉(zhuǎn)換函數(shù)后，再設計滑?？刂坡刹拍鼙ＷC滑動模態(tài)的穩(wěn)定性以及動態(tài)品質(zhì)，所以首先設計切換函數(shù)再設計滑?？刂坡伞?/p>

對n階系統(tǒng)(滿足擾動不變性的條件[5])的狀態(tài)方程進行變形，可以得到式(4)：

(4)

由變形式(4)可以看出，這個等效系統(tǒng)不受參數(shù)和擾動的影響。當A0、B0確定之后，總能找到符合條件的矩陣P，使Aeq滿足滑?？刂频臈l件。

2)設計滑?？刂坡伞?/p>

滑?？刂坡傻男问蕉嘧儯@里將滑?？刂坡蒛分成非線性控制量UN和線性控制量Ul2個部分。則滑?？刂坡煽捎檬?5)表示：

(5)

在式(5)中，非線性控制量UN的數(shù)值代表滑模控制律的不連續(xù)程度，這一部分能在一定程度上使系統(tǒng)一直處于滑動模態(tài)而不脫離；線性控制量Ul是系統(tǒng)的線性反饋，這部分能通過對系統(tǒng)的反饋校正，使系統(tǒng)的運動軌跡滿足滑動模態(tài)[6]。

3 二階滑模控制

3.1 高階滑模的概念

傳統(tǒng)的滑?？刂凭哂锌刂凭?、相對階應用受限(僅在相對階等于1時才能使用)以及抖振問題等缺陷，因此很多專家學者又進行優(yōu)化研究，提出了很多不同的方法，如調(diào)節(jié)趨近律、與其他理論方法融合、高階滑模、邊界層法等[7]。其中，高階滑模是最好的改進方法之一，它不僅解決了傳統(tǒng)滑?？刂拼嬖诘纳鲜鋈毕荩€繼承了其優(yōu)點。

1966年，Levant和Firdman給出了高階滑模的完整定義，他們認為，在一個動態(tài)光滑系統(tǒng)中，如果切換面S是光滑函數(shù)，且滿足以下2個條件的滑模運動稱為關于滑模面s(t,x)=0的r階滑模。

1)由不連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的Filippov軌跡組成的i階滑動集是非空的；

高階滑模定義中的滑動階r指在滑模面s=0上，滑模變量S的連續(xù)全導數(shù)的個數(shù)，連續(xù)全導數(shù)也包括零階。

傳統(tǒng)的滑?？刂凭褪腔瑒与Ar=1時的滑?？刂?，此時s=0，且s的一階導不連續(xù)。

3.2 二階滑模控制算法

二階滑模的實現(xiàn)算法一般有3種，分別是給定收斂率算法、螺旋算法和超螺旋算法。因為超螺旋算法不需要導數(shù)信息或求取極值[8]，使用較簡單，這里主要選用超螺旋算法。

超螺旋算法不需要滑模變量的導數(shù)信息，只要有滑模變量s自身的信息即可。在超螺旋算法下，系統(tǒng)的點在相平面上原點O附近繞原點螺旋運動，并能保證在一定時間內(nèi)運動收斂到原點。

對于超螺旋算法，在設計控制器時，可將其分成2個部分：u1(t)代表相對時間的不連續(xù)導數(shù)部分；u2(t)代表滑模變量s的連續(xù)函數(shù)部分，那么超螺旋算法的控制器可以表示為：u=u1(t)+u2(t)

(6)

式(6)中的u1，u2滿足以下關系：

(7)

當s趨向于無窮大時，對U的限制也取消了，式(7)可變形為：

u=-λ|s|ρsign(s)+u1

(8)

要保證運動軌跡在一定的時間內(nèi)能收斂到原點，相關參數(shù)必須滿足下面的條件[9]：

(9)

4 Matlab仿真

4.1 倒立擺模型

本研究以一級直線倒立擺為模型，通過仿真證明二階滑?？刂频目尚行院蛢?yōu)越性。

在科學研究中，實驗模型是非常重要的，有一個簡單、搭建方便、并具有相關特性的研究對象非常重要。而倒立擺模型就是一個很好的研究對象，而且它除了可以用計算機仿真外，其本身具有的可控性、實驗時間、魯棒性和穩(wěn)定性[10]也符合要求，最重要的是模型簡單，很容易就能在實驗室做成倒立擺的模型。于是，這樣一個實現(xiàn)簡單、造價低廉、特性好的系統(tǒng)就受到相關學者和科研人員的親睞。

倒立擺模型，最早是于上世紀50年代由麻省工學院的專家設計出。隨后很多專家學者也研究此模型，并在最初的一級直線倒立擺模型的基礎上又設計了其他模型。目前，倒立擺模型有很廣泛的應用，很多先進的智能控制方法如遺傳算法、模糊算法、神經(jīng)網(wǎng)絡等都成功的應用到倒立擺模型上。

倒立擺模型發(fā)展到現(xiàn)在已有直線倒立擺、平面倒立擺、環(huán)形倒立擺以及復合倒立擺幾大類。而為了滿足不同用途的需要倒立擺模型還分為一級、二級、三級和四級等不同級別，級數(shù)越高控制難度越大。本文主要研究一級直線倒立擺。

一級直線倒立擺模型如圖2所示。針對該模型，各參數(shù)選取如下：小車的質(zhì)量M=1.0 kg；擺桿的質(zhì)量m=0.1 kg；車的摩擦系數(shù)b=0.1 N/m/s；擺桿長度l=0.25 m；擺桿慣量I=ml2/3=0.003 4 kg·m2。

此倒立擺模型的系統(tǒng)方程為：

(10)

傳遞函數(shù)為[11]：

(11)

圖2 一級直線倒立擺模型

4.2 Matlab仿真過程與結果

針對上面的一級直線倒立擺模型，用二階滑模理論進行Matlab仿真，基于二階滑模的一級直線倒立擺仿真框圖如圖3所示。仿真分2步進行。①直接用二階滑模的超螺旋算法，輸出倒立擺模型的位移圖、角度圖、控制量輸出圖；②給系統(tǒng)一個擾動，同樣輸出位移圖、角度圖和控制量輸出圖，觀察系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖3 基于二階滑模的一級直線倒立擺仿真框圖

在仿真時，二階滑模超螺旋算法采用式(7)和式(9)，相關參數(shù)設置如下：

W=1；λ=5；ρ=0.5；

K=[-31.623 -20.151 72.718 13.155]

則切換面函數(shù)s為：

s=K1·u1+K2·u2+K3·φ+K4·dφ=

-31.623u1-20.151u2+72.718φ+13.155dφ

(12)

式(12)中，φ為倒立擺的擺角，dφ為角速度。

無擾動時的系統(tǒng)位移、角度和控制量輸出分別如圖4～6所示。

圖4 系統(tǒng)無擾動時的位移圖

圖5 系統(tǒng)無擾動時的擺角圖

圖6 系統(tǒng)無擾動時的控制量輸出圖

從圖5中可以看出，在第5 s倒立擺起擺，起擺時間非常短，且起擺后2.5 s左右系統(tǒng)能穩(wěn)定下來，魯棒性很好。

給系統(tǒng)的擾動信號圖如圖7所示，在圖7中可以看到在倒立擺起擺并平衡后，第10 s給系統(tǒng)一個脈沖擾動，系統(tǒng)在加了這個脈沖擾動后，相應的仿真結果分別如圖8～10所示。

圖7 給系統(tǒng)的擾動信號

觀察帶擾動時的仿真輸出圖，可以看出在擾動發(fā)生后，擾動引起的系統(tǒng)位移變化(圖8)和角度變化(圖9)都很小，且在擾動后1～2 s的時間內(nèi)就能達到平衡，恢復到0°擺角，擾動后的恢復平衡時間比系統(tǒng)本身起擺平衡的時間還短，可見二階滑模超螺旋算法控制的倒立擺模型的抗干擾能力很強。

圖8 系統(tǒng)有擾動時的位移圖

圖9 系統(tǒng)有擾動時的擺角圖

圖10 系統(tǒng)有擾動時的控制量輸出圖

5 結論

本文通過研究變結構控制理論，并選取高階滑模中的二階滑模，最終采用超螺旋算法控制經(jīng)典的一級直線倒立擺模型進行Matlab仿真。仿真分別模擬了無系統(tǒng)擾動和有系統(tǒng)擾動這2種情況，并輸出了相應的位移圖、擺角圖和控制量輸出圖，主要得出以下2個結論：

1)二階滑?？刂频牡沽[保留了傳統(tǒng)一階滑?？刂频牧己梅€(wěn)定性、魯棒性和抗干擾能力等優(yōu)點。

2)二階滑模解決了傳統(tǒng)一階滑模控制容易出現(xiàn)抖振的問題，即在仿真輸出波形中看不到抖振的發(fā)生。

[1] 李雪冰，馬莉，丁世宏.一種新的二階滑?？刂品椒捌湓诘沽[中的應用[J].自動化學報，2015(1)：193-201.

[2] 劉永慧.滑模變結構控制的研究綜述[J].上海電機學院學報，2016，19(2)：88-92.

[3] 康宇.滑模變結構理論的研究與應用[D].合肥：合肥工業(yè)大學，2002.

[4] 王玨，謝慕君,李元春,等.基于滑模變結構的柔性倒立擺控制研究[J].計算機測量與控制，2015，23(12)：4045-4048.

[5] 張克勤.倒立擺系統(tǒng)中的應用研究[D].杭州：浙江大學，2003.

[6] 莊開宇.變結構控制理論若干問題研究及其應用[D].杭州：浙江大學，2002.

[7] 孫靈芳，刑宇，李斌.高階滑?？刂萍捌溲芯楷F(xiàn)狀[J].化工自動化及儀表，2016，43(4)：335-340.

[8] 張慶超，馬瑞卿，皇甫宜耿,等.電機轉(zhuǎn)速環(huán)節(jié)Super-Twisting算法二階滑?？刂坡稍O計與研究[J].西北工業(yè)大學學報，2016，36(4)：669-676.

[9] 孫靈芳，邢宇,李斌,等.二階滑?？刂品椒捌鋵Νh(huán)形倒立擺的控制應用[J].制造業(yè)自動化，2015，37(11)：46-49.

[10] 湯樂.倒立擺系統(tǒng)建模與控制方法研究[D].開封：河南大學，2013.

[11] 李雅瓊.基于模糊控制的遺傳算法優(yōu)化研究[J].長沙大學學報,2016(5):58-61.

(責任編輯 高 嵩)

Research of Inverted Pendulum Control Based on Second-order Sliding Mode

LiYaqiong

(Fuyang Vocational and Technical College,Fuyang Anhui 236000)

As the most common method of variable structure control,sliding mode control has great advantages in robustness,anti-interference ability,implementation difficulty and adaptation.While,the traditional first-order sliding mode control has above advantages,it has such defect as frequent chattering.Luckily,high-order sliding mode control not only can inherit the advantages of the traditional first-order sliding mode,but also can eliminate the chattering. And the second-order sliding mode is the simplest and easiest high-order sliding mode.Taking first-order linear inverted pendulum as a model,the super twisting algorithm of second-order sliding mode was simulated and the simulation results showed the feasibility and superiority of super twisting algorithm of second-order sliding mode.

variable structure control;second-order sliding mode;inverted pendulum

2016-12-04

安徽省質(zhì)量工程項目：機電一體化技術(教學團隊)(項目編號:2014jxtd058);安徽省高等職業(yè)教育創(chuàng)新發(fā)展行動計劃骨干專業(yè)建設項目。

李雅瓊，講師，碩士 。

10.3969/j.issn.2095-4565.2017.01.005

TP273

A

2095-4565(2017)01-0016-06