溫靜

摘 要：平行線是學(xué)生接觸比較早的幾何圖形之一，學(xué)生對它的性質(zhì)判定是比較了解的，但在幾何題目的運(yùn)用解答中往往不容易想到添加平行線來解決問題。利用平行線可以得到角之間的相等或互補(bǔ)的關(guān)系，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的，為學(xué)生帶來新的解題思路和方法。

關(guān)鍵詞：平行線；同位角；內(nèi)錯(cuò)角；同旁內(nèi)角

在新人教版七年級下冊教材第五章相交線與平行線中，我們認(rèn)識了平行線，學(xué)習(xí)了平行線的判定及性質(zhì)，在這個(gè)過程中我們發(fā)現(xiàn)可以由兩直線間的特殊位置關(guān)系——平行得到三類位置關(guān)系角的特殊數(shù)量關(guān)系：兩直線平行，同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。反之，由同位角、內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)能得出兩直線平行。這些結(jié)論為我們解決一些求角度或角之間的關(guān)系之類問題帶來了新的方法和解題思路。

例1：如圖，a∥b，M、N分別在a、b上，P為兩平行線間一點(diǎn)，那么∠1+∠2+∠3等于____________.

解析：雖然本題中有兩平行線，但卻不是由兩平行線形成的同旁內(nèi)角。因而想到了過點(diǎn)P構(gòu)造一條與直線a、b平行的射線，這樣又形成的兩組平行線就有效地把∠1、∠2、∠3的關(guān)系體現(xiàn)出來，從而解決所求角度和的問題。

過點(diǎn)P作PQ∥b，（把圖中原先的∠2分成了兩個(gè)角∠4、∠5）

由題意可得：PQ∥b∥a，∴∠1+∠4=180°，∠5+∠3=180°（三條平行線間的兩組同旁內(nèi)角互補(bǔ)）

根據(jù)等式的性質(zhì)，我們就可以得到∠1+∠4+∠5+∠3=360°

即：∠1+∠2+∠3=360°.

由例1這個(gè)基本圖形，我們可以繼續(xù)擴(kuò)展：如圖，a∥b，M、N分別在a、b上，P1，P2，P3，…，Pn為兩平行線間的點(diǎn)，順次連接M、P1、P2、P3、…、Pn、N，形成了（n+2）個(gè)角，那么它們的和又有什么規(guī)律呢？

由例1我們可以想到分別過P1，P2，P3，…，Pn作直線a的平行線P1Q1，P2Q2，P3Q3，…，PnQn，從而得出a∥P1Q1∥P2Q2∥P3Q3∥…∥PnQn∥b。每相鄰的兩條平行線間就會形成一組同旁內(nèi)角，并且它們的和為180°，而所求的（n+2）個(gè)角的和就是這些同旁內(nèi)角的和，由例1的基本圖形發(fā)現(xiàn)，三條平行線形成兩組同旁內(nèi)角，∠1、∠2、∠3三個(gè)角的和是180°的2倍，以此類推，（n+2）條平行線形成了（n+1）組同旁內(nèi)角，所求的（n+2）個(gè)角的和應(yīng)為180°的（n+1）倍即（n+1）·180°。

例2：已知直線l1∥l2，l3與l1、l2分別交于點(diǎn)A、B，P是直線l3上一點(diǎn)，且不與A、B重合.點(diǎn)E、F分別是l1、l2上一點(diǎn)，且在l3的同側(cè)，連接PE，PF.

（1）若點(diǎn)P在A、B之間移動(dòng)，請說出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，并說明理由。

（2）若點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)的外側(cè)移動(dòng)，請說出∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系，并說明理由。

解析：（1）點(diǎn)P是兩平行線間的點(diǎn)，有了例1的鋪墊不難想到過點(diǎn)P作直線l1的平行線，從而構(gòu)造出了兩組內(nèi)錯(cuò)角，容易得出∠1、∠2、∠3三個(gè)角之間的關(guān)系。

過點(diǎn)P作PQ∥l1，（把圖中原先的∠3分成了兩個(gè)角∠4、∠5）

由題意可得：PQ∥l1∥l2，∴∠1=∠4，∠5=∠2（三條平行線間的兩組內(nèi)錯(cuò)角分別相等）∴∠1+∠2=∠3.

（2）若點(diǎn)P在點(diǎn)A的上方移動(dòng)，我們?nèi)匀豢梢匝永m(xù)第（1）問中的做法.過點(diǎn)P作PQ∥l1，（此時(shí)PQ與PE、PF形成了新的角∠4、∠5，并且∠5=∠4+∠3）由題意可得：PQ∥l1∥l2，∴∠1=∠4，∠5=∠2（三條平行線間的兩組內(nèi)錯(cuò)角分別相等）從而把∠5、∠4、∠3轉(zhuǎn)化為了∠1、∠2、∠3的關(guān)系即∠3=∠2-∠1.

若點(diǎn)P在點(diǎn)B的下方移動(dòng)，做法類似，如圖，我們?nèi)菀椎贸龃藭r(shí)∠1、∠2、∠3的關(guān)系為：∠3=∠1-∠2.

雖然點(diǎn)P是移動(dòng)的點(diǎn)，但通過添加平行線，構(gòu)造出相等的內(nèi)錯(cuò)角，達(dá)到了轉(zhuǎn)化的目的，把分散的三個(gè)角轉(zhuǎn)移到了同一點(diǎn)處，使得等量關(guān)系一目了然。

例3：如圖所示，已知CD∥EF，∠1+∠2=∠B，試判斷AB與GF的位置關(guān)系，并說明理由。

解析：很容易判斷出AB與GF的位置關(guān)系應(yīng)該是平行，而從現(xiàn)有的圖形根據(jù)已知條件來說明結(jié)論無從入手，因而想到添加輔助線，圖形中的拐點(diǎn)較多，容易想到作平行線，通過作平行線把看似毫無關(guān)系的∠1、∠2、∠B轉(zhuǎn)化到特殊位置，從而為證明AB與GF平行服務(wù)。

AB∥GF

理由如下：延長CD，交GF的延長線于點(diǎn)H，（把平行線作了延伸，從而得到了∠2的同位角∠H，實(shí)現(xiàn)了∠2的轉(zhuǎn)化，∠1+∠2=∠B即∠1+∠H=∠B）

過點(diǎn)C作CM∥AB，可以得出∠B+∠3=180°，又由已知∠1+∠2=∠B從而可得出：∠1+∠2+∠3=180°即∠MCH+∠H=180°，可證CM∥GH，又有CM∥AB，因而AB∥GH，即AB∥GF（平行于同一直線的兩直線平行）。

本題的綜合性較強(qiáng)，添加輔助線的方法也不止一種，而本題中輔助線的添加很好地利用了平行線的性質(zhì)及判定，達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的從而證明結(jié)論。

通過對平行線的性質(zhì)及判定的學(xué)習(xí)，可以發(fā)現(xiàn)平行線是一個(gè)非常好的幾何證明工具，它可以把平行線和角有效地聯(lián)系起來，可以借助平行得出相等關(guān)系的角以及互補(bǔ)關(guān)系的角，而通過特殊位置的角的相等關(guān)系及互補(bǔ)關(guān)系我們又可得出平行的位置關(guān)系。平行線只是學(xué)習(xí)平面幾何的開始，相信只要我們用心觀察、體會，我們就可以發(fā)現(xiàn)很多平行線在證明中的用法，同時(shí)也為我們學(xué)好平面幾何打下良好的基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

[1]宋桂珂.初中數(shù)學(xué)輔助線技巧淺略[J].學(xué)周刊，2015（6）.

[2]許晶晶.例談輔助線法在經(jīng)濟(jì)生活曲線題中的運(yùn)用[J].好家長，2015（25）.

編輯 李博寧