余澤西

(北京市昌平新東方外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 北京 102206)

利用高斯定理求空心球體引力場(chǎng)

余澤西

(北京市昌平新東方外國(guó)語(yǔ)學(xué)校 北京 102206)

針對(duì)現(xiàn)階段AP物理教學(xué)中引力有關(guān)定律推導(dǎo)問(wèn)題，采取與以往建立微分式不同的方法，即利用高斯定律來(lái)求解空心引力場(chǎng)值：地球諧振子模型和空心球殼，為廣大教師提供一個(gè)新的授課思路．

AP教學(xué) 引力場(chǎng) 空心球體 高斯定律

1 引言

現(xiàn)階段物理教學(xué)中，對(duì)于空心球體內(nèi)部引力場(chǎng)值問(wèn)題，教師一般采用建立微分方程的方法，然而這種方法雖建立簡(jiǎn)單，但是求解困難，因?yàn)樯婕皟蓚€(gè)變量θ和R使得學(xué)生難以求解[1]．如果我們可以利用引力場(chǎng)是保守力場(chǎng)這一事實(shí)將其與電磁場(chǎng)做類(lèi)比，從而使學(xué)生可以方便地求解球形引力場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)．在AP力學(xué)[2]的教學(xué)中，引力場(chǎng)求解部分主要集中在牛頓的經(jīng)典力學(xué)，也就是說(shuō)，引力與質(zhì)量是成線性關(guān)系的．而對(duì)于本文所討論電磁學(xué)中，我們使用簡(jiǎn)化版描述靜電場(chǎng)的麥克斯韋方程[3]．這是由于AP課程主要是針對(duì)于未參加大學(xué)學(xué)習(xí)即將進(jìn)入美國(guó)大學(xué)的學(xué)生，他們微積分知識(shí)較為薄弱，所以在美方標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)中，去除了難以令學(xué)生理解的散度概念和復(fù)雜的算符表達(dá)．

2 二者的相似性

3 求地球引力系數(shù)

在AP物理學(xué)中，簡(jiǎn)化靜電場(chǎng)公式為

這里E是電場(chǎng)強(qiáng)度，Q是電荷量．

通常的我們稱ε0為靜電系數(shù)，但并不知道在引力場(chǎng)的高斯定理中質(zhì)量與G的關(guān)系，也就是說(shuō)“引力系數(shù)”．但在確定二者的相似性后，我們可以通過(guò)聯(lián)立庫(kù)侖定律和萬(wàn)有引力公式來(lái)求解引力場(chǎng)中的高斯定理的質(zhì)量系數(shù)．

∮g·dA=4πGM

(1)

圖1 求地球引力系數(shù)附圖

證：

(1)地球的物質(zhì)分布均勻，即密度處處相等

(2)地球是完美實(shí)心球體

(3)?是引力場(chǎng)強(qiáng)系數(shù)，g是引力場(chǎng)強(qiáng)，地球半徑為r，質(zhì)量為M，高斯面半徑為R，在R處，則有

∮g·dA=4πGM

(2)

由于是完美球體，力場(chǎng)強(qiáng)度在R上處處相等

g·∮dA=4πGM

球表面積為

S=4πR2

(3)

將式(3)代入式(2)有

(4)

高斯引力和萬(wàn)有引力公式結(jié)論一致，證畢．

在考題中學(xué)生一般會(huì)遇到高斯面內(nèi)質(zhì)量隨高斯面的大小改變而改變的情況，那么此時(shí)如果簡(jiǎn)化高斯定理中的變量是質(zhì)量密度，就會(huì)顯得更有效．而且在AP物理中，問(wèn)題中的質(zhì)量源一般是均勻的(密度在 球體內(nèi)處處相等)，所以

∮g·dA=4πGM=4πGρV

(5)

這里，V是體積．

4 該方法在習(xí)題中的應(yīng)用

現(xiàn)在針對(duì)真實(shí)出現(xiàn)的考題，做舉例說(shuō)明．

4.1 求中空隧道的引力場(chǎng)值(地球諧振子模型)

圖2 地球諧振子模型

已知：

(1)地球質(zhì)量分布均勻；

(2)中間隧道十分微?。?/p>

(3)地球質(zhì)量為M，密度為ρ；高斯面半徑為r.

求：在r

解：如圖2所示，利用球形對(duì)稱，我們利用式(5)建立式子

∮g·dA=4πGρV

∮dA=4πr2

約分整理得

(6)

式(6)結(jié)果表明，引力場(chǎng)強(qiáng)度和半徑成線性關(guān)系(Linear relationship)可以發(fā)現(xiàn)除了r是變量之外，其他符號(hào)表示的量均為常量．由此我們可以得到空心隧道引力場(chǎng)強(qiáng)度變化是隨著半徑成線性變化的結(jié)論．

4.2 求空心球殼的引力場(chǎng)值

利用高斯定理，原本復(fù)雜的空心球體計(jì)算也大大簡(jiǎn)化，如圖3所示.

圖3 空心球殼

由于在高斯面內(nèi)沒(méi)有質(zhì)量分布,其質(zhì)量M為零，式(5)可列為

∮g·dA=4πG·0

解得

g=0

由于中心無(wú)源，本題目的難度大大簡(jiǎn)化，物體在空心球殼內(nèi)部的引力為零.

5 總結(jié)

綜上所述，可以得到以下幾個(gè)結(jié)論：

(1)引力系數(shù)為?=G·4πρ=4πGM；

(2)隧道模型引力場(chǎng)強(qiáng)度隨半徑成線性遞增；

(3)空心球體內(nèi)部引力場(chǎng)值處處相等.

可以發(fā)現(xiàn), 由于球形對(duì)稱的結(jié)構(gòu), 引力場(chǎng)用高斯面可以非常方便的被求解． 且相比于牛頓的質(zhì)點(diǎn)方法，這種對(duì)于力場(chǎng)的直觀呈現(xiàn)可以使學(xué)生更好的抓住要點(diǎn)，和形成明確的物理直覺(jué)．而且由于AP物理考題中，物理題大多都為本文所提及球形對(duì)稱，所以該方法可以讓學(xué)生更快的得到結(jié)果．

1 陳小紅 羅琬華. 西南大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院.物理通報(bào)，2014(05):116～117

2 Parker W,Mosborg S,Bransford J,et al. Rethinking Advanced High School Coursework:Tackling the Depth/Breadth Tension in the AP "US Government and Politics" Course.Curriculum Studies,2011, 43(4):1～27.

3 S. Nesseris and L.Perivolaropoulos. Department of Physics,University of Ioannina,Greece.Physical Review D Particles & Fields,2006,73(10):3 511

4 Exner P.Analysis on graphs and its applications:Issac Newton Institure for Mathematical Sciences,Cambridge,UK,January 8-June 29, 2007.American Mathematical Society,2008

5 Gravity G L F.Gauss′ Law for Gravity.Alphascript Publishing,2010

6 Ragains P.Cracking the AP Physics 2 Exam,2016 Edition.Public Finance Review,2015,22(3):366～382

Gauss′sLawtoProveHollowSphere′sGravitationalField

YuZexi

(BeijingchangingNewOrientalFLS，Beijing102206)

considering the current AP teaching problem about gravitational field conduction, I used Gauss′s Law to prove two models, harmonic oscillator earth and hollow sphere, instead of conventional differential equation. This method, I hope, can provide teachers a new way to prove for students.

AP teaching;gravitational field;hollow sphere;Gauss′s Law

2016-08-23)