瞿波

【摘要】極限理論描述了目標函數在自變量無限變化過程中的變化趨勢，它是近代數學思想和方法的基礎。極限理論教學是高等數學教學的重要環(huán)節(jié)，是微積分中幾乎所有理論的基礎，也是學習高等數學等大學數學科目的基礎。學習極限概念是高等數學教學中遇到的第一個較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和思想方法也是高等數學教學中的重點和難點。本文介紹了高等數學極限教學的幾個注意點以及計算極限的幾種主要方法，對學生理解極限理論提供一些思維上的引導。本文通過極限思想在分形中應用的介紹，從感性認識上提高學生學習極限理論的興趣。通過分數布朗運動模型的建立和改進，以帶有無窮限的廣義積分用分步離散的逼近方法，通過對核函數的轉換，分數布朗運動模型的模擬結果可以得到改善。最后對記憶長度的確定和粒子數的確定也作了研究，研究表明：當記憶是時間步長的10倍，而粒子數不小于1000時，可以得到較理想的模擬。本文所用到的極限近似逼近方法，對極限的近似計算具有啟發(fā)性指導，創(chuàng)新數學極限理論的教學。

【關鍵詞】極限數學教學分形分數布朗運動廣義積分

中圖分類號：G712 文獻標識碼：A

一、極限思想及其教學

1.極限學習意義的認識

極限理論是高等數學的核心思想，也是這一課程的重點與難點。后續(xù)課程中的微分積分都是圍繞極限這一概念展開的，因此對極限思想的深刻理解是學好高等數學的前提。

極限是數學由具體到抽象、從常量到變量、從有限到無限、從初等數學過渡到高等數學的關鍵。微積分的思想之所以相當嚴密，是因為借助了極限的思想。而對于極限概念的理解，直接關系到高等數學的學習效果。凡是高等數學沒學好的學生，大多因為是對極限概念理解得不深、不透，從而難以理解后續(xù)知識中的一些重要概念。如同“只見樹木不見森林”，缺乏對微積分這一學科的宏觀、整體的認識，從而對高等數學的學習提不起興趣，甚至產生厭學情緒。

牛頓、萊布尼茲創(chuàng)建的微積分理論中，極限理論是其中最偉大的思想。因為極限思想的復雜程度遠遠大于中學數學的范疇，因此對于初步接觸高等數學的大學生來說，難免會有畏難情緒，這時需要教師循序漸進地、由形象到抽象地把學生的思維引導到極限概念中來，任何的急于求成都會事倍功半。此前雖然有很多關于極限教學的研究文章（如[1]，[2]，[3]），但多數文章側重于介紹極限理論的發(fā)展史或者學習極限的重要性，而對極限教學的具體方法研究較少。本文基于作者多年的高等數學教學實踐，梳理出極限教學中一些容易忽視的環(huán)節(jié)和需要重點關注的地方，以供參考。為進一步理解極限理論，本文用分形中的分數布朗運動作為極限應用的實例，剖析無窮限廣義積分簡化為分步和式的過程，從而加深對極限理論的理解。

2.極限思想的導入和闡釋

初步接觸極限概念，微積分的起源和歷史故事可以引起學生的興趣，尤其是歐拉的傳奇故事會給數學涂上傳奇的色彩。用通俗的語言指出高等數學和初等數學的區(qū)別和聯(lián)系，簡單介紹微積分的“分割、近似、求和、求極限”的思想，指出這種思想可以解決任何不規(guī)則、不均勻的實際問題，以引起學生學習微積分的興趣。

極限思想是一個全新的概念，學生在理解極限的ε--N定義時，需要不斷和實際例子相比較，以理解其真正含義。在介紹極限概念時，可以借鑒國外的極限理論引進時所用的方法[5]，即用列表的形式感官從兩邊趨近極限值的過程。[4]，繼而再過渡到抽象的ε--N （或 ）定義。另外，東漢劉徽的割圓術求圓面積以及莊子的截杖問題都是建立在直觀基礎上的一種原始的極限思想的應用，通過這兩個例子來介紹極限思想，形象而具體，學生很容易理解。

極限概念引入時從個例的描述性定義到定量的轉化，是極限教學的關鍵。首先要舉出幾個無窮數列的例子，讓學生觀察數列隨n變化的規(guī)律。然后引導學生總結出ε—N的定義。要指出，證明極限的過程，其實也是找一個正整數N的過程。使得當 時， 。因此， 。

需要特別強調的是ε可以是任意小的一個正數，不管ε有多小，哪怕是一億分之一或更小，總會找到某個足夠大的自然數N， 滿足（3）。N是隨ε的變化而變化的。但N不是ε的函數，N不是唯一的。

在介紹函數極限時，需要先講無窮極限再講 。因為從數列極限過渡到無窮極限很好理解。在證明 時，一定要強調在放大不等式 時，保留 這一個因子。

二、極限求解的幾種基本方法

在學習了極限定義和證明方法后，就是如何求極限。高等數學中求極限的方法有好幾種。除了基本的連續(xù)函數的代入法（substitution）、因式分解并去零因子法（factoring）、共軛法去根號（conjugate）、抓大頭法（ ）等方法外，還有以下幾種重要的方法。

1.用極限收斂準則求極限

單調有界準則和夾逼準則是針對一些較難求極限的數列而用的方法。有一般項的表達形式時，可用此遞推公式，兩邊求極限，找到極限值。在證明數列單調性時，可以用兩種基本的方法：一是數學歸納法，二是求導數方法（導數大于（小于）零的函數遞增（遞減））。當然也可以用反證法。

2.用兩個重要極限求極限

對第一重要極限 ，一般可以看成是形式 （1）此極限的應用主要是用在等價無窮小 ～u（x）， 從而可以在求極限的過程中，用 替換u（x）。但要注意前提： 。

對第二重要極限 ，或 ，其實這里的x只是符號，可以用一般的形式：

或 （2）要給學生強調的是：不論是哪種形式，首先要看整個函數是不是 形式，如果是，就要化為第二類重要極限的標準形式（6）。

比如： 看似像第二類重要極限的形式，但不是 形式，不可以用第二重要極限來做。這種題用連續(xù)函數求極限的方法 ，直接代入x=0即可。

而 就要用第二重要極限來求，因為它是 的形式：

（3）用兩個重要極限時，常夾帶著等價無窮小的應用。上面這個題解中就用到了幾個等價無窮小的替換： ～x， -1～- 。等價無窮小替換是求極限的重要的方法之一，應該非常熟練地運用。在運用時要強調，只有乘除因子可以用無窮小替換，加減式中的因子不能用無窮小替換。

3.用洛必達法則

書本上，洛必達法則是在學了求導法則以后才介紹的。主要用于兩種不定型：“ 型”和“ 型”。當然，還有很多形式： ， ， ， ， 等都可以轉化為兩種不定型，然后用洛必達法則來求解。在利用洛必達法則求極限時，首先要確定是不是兩種不定型中的一個，如果是，就可以用洛必達法則。

洛必達法則常常要結合其他求極限的方法一起使用[6]，除了結合等價無窮小外，還可以結合變上限函數積分的求導法則來計算。比如：

求 ，這里分子分母是 型，可以用洛必達法則對分子分母同時求導。而分子是變上限函數求導，求導以后還需用等價無窮?。?～ ～ 。

所以有：

4.冪指函數和復雜函數的處理

冪指函數的極限計算是一個難點。（3）的原式是冪指函數。那里用了第二重要極限。在遇到冪指函數的極限計算 時，應該和學生強調： 如果 和 ，那么， 。但如果 和 有一個極限不存在，就要化成： 。

對冪指函數求極限的另一個方法是先取對數再求導的方法。但必須指出，在兩邊取對數時，可能會丟掉一個零根，這要在最后檢查一下，并作交代。

除了以上幾種求極限的方法外，還有用泰勒展開式的前幾項求極限。至于到底展開到第幾項，要看分母是x的幾次方而定。 求極限的方法很多，這里只是強調一下幾種簡單的求極限方法的注意點。而極限的思想貫穿于整個微積分教學中。積分中極限思想的體現(xiàn)尤為明顯。廣義積分就是無窮極限的應用。而在分形的分數布朗運動模型定義中就用到了廣義積分。

三、極限在分形中的應用

1.分數布朗運動模型

極限思想的產生來源于實踐，又應用于實踐。極限的產生為數學的發(fā)展增加了新的動力，它是近代數學思想和方法的基礎。極限思想是微積分的基本思想。而微積分在許多領域有著廣泛的應用。在講授極限知識時，可以介紹極限的一些應用，以增強學生的感性認識，提高學習極限理論的興趣。

極限的應用無處不在。微積分就是極限的最重要的應用。極限思想在經濟學、物理學、機械自動化等各個領域都有廣泛的應用。這里介紹一下極限在分形上的應用。

分形物就是具有自相似性質的物體[8]。自相似就是物體經過放大以后，局部的形狀和原來整體的形狀相似。比如海岸線、柯西雪花等。這種自相似可以無止境地進行下去，這就是一個典型的極限過程[7]。

布朗運動的模擬需要用到高斯白噪聲，而高斯白噪聲的模擬需要用極限表達式：WT（i） = Zn，這里Zn 是具有正態(tài)分布的隨機變量。布朗運動就是高斯白噪聲的無窮積分：B（t） = 。而無窮積分就是分割求和再求無窮極限的過程。

分數布朗運動是帶有記憶的布朗運動。Mandelbrot and Van Ness （1968）[9]定義了分數布朗運動：

（4）這是一個廣義積分，是從負無窮到現(xiàn)在的時刻t的極限過程。 是gamma 函數， H 是豪斯特指數（Hurst exponent）[10]。分數布朗運動在時刻t的狀態(tài)和之前的所有歷史時刻有關。這里B（t） 是平均值是零，具有單位方差的高斯隨機過程。 Mandelbrot and Van Ness （1968） [9]把（9）改進為如下形式：

這里豪斯特指數H滿足 0 < H < 1（5），就是更新了的分數布朗運動的定義。這里的負無窮大可以改成極限的形式。而如何達到這一極限呢？在實際應用中要采取逼近手段達到目的。

定義核方程：

則方程（5）可改變?yōu)?/p>

這個核當s趨于負無窮大時，很快趨于零。

考慮把 看成是成若干個單步增加的和，而單步增加：

單步增加的核方程是

從核方程（9）到核方程（10）經過了核變量的轉化[8，11]，這里u = t – s. 把u=i-j代入方程（8）就有

.

因此，

當 時， 即是離散型的高斯白噪聲（布朗運動）。顯然有

因此，作者在改變了（5）積分中的核以后得到一個更精確、更簡單的計算公式[11]：

在公式（5）中的負無窮記憶已經被（11）中的i-M取代了。而 M就是具有足夠大的記憶。M>0，必須有M>i。這一改進也是無窮極限逼近的一個具體的應用。作者發(fā)現(xiàn)，當記憶M大于時間步長的1倍時，所計算的分數布朗運動的軌跡誤差值就較小。當然，M越大，軌跡就越精確。衡量一個分數布朗運動是否精確的標準是滿足下列公式：

這里，H是豪斯特指數， 是一個擴散粒子云在時間t的標準差[8，11] 。

2. FBMINC模型的優(yōu)勢

作者改進的分數布朗運動離散型形式（FBMINC）和原來Mandelbrot 和 Van Ness定義的分數布朗運動（FBM）之間差別不大。但作者的FBMINC模型改進了原來FBM模型的精確度[8，11]。主要是當H=0.8時，即擴散程度增加時的誤差稍許明顯一點。FBMINC模型顯示了它比原來模型的精確性[8，11]。

理論上， 的標準差 應該是不隨時間變化的常數。 隨時間的增加而增加。然而，F(xiàn)BMINC模型中的 總是常數。這是離散型的FBMINC模型的優(yōu)勢。

此外，當記憶小于時間步長的時候，計算 ，根據公式（12），F(xiàn)BM模型不能很好地模擬分數布朗運動，而FBMINC雖然也對小記憶事件精確率不高，但比起FBM模型要改善了許多。

3.記憶長度的確定

在運用 FBM 和FBMINC 模型時，需要處理記憶 M與時間總步長 NSTEP 以及粒子云數目P 之間的關系。從分數布朗運動用于生成分形布朗運動和 FBMINC 的定義可以看出，（12）、（13）中的廣義積分的逼近公式的精確性與記憶M 的取值有關。記憶M 增越大，精確度越高。但考慮到計算的效率，需要設定一個臨界值M，保證逼近公式的精確性能達到一定的范圍內。作者無法從文獻中找到答案，因此，作了一些具體實驗，從而得到結論。

簡單檢驗分數布朗運動的精確性的方法是看公式（14）是否滿足。如果對時間t是一條直線，其梯度是2D的話，那么所模擬的分數布朗運動就是精確的。這里，我們假定粒子數是P， P是一個很大的數。然而P 至少要多大才能精確呢？這里我們用FBMINC模型來檢驗。

性質1：當時間總的步長數NSTEP增加時，記憶也應該相應地增加。

在FBMINC模型中，需要滿足NSTEP M。那么記憶M要多少倍的NSTEP才能算是好的模擬？

四、結束語

極限思想是高等數學教學中遇到的第一個較難理解的概念，正確理解和掌握極限的概念和思想方法是高等數學教學中的重點和難點。在教學過程中，要做到循序漸進，從形象到抽象，再到形象。本文力求通過極限思想教學中需要特別注意的幾個細節(jié)來強調極限教學的邏輯性和嚴密性，培養(yǎng)學生縝密的數學思維能力和邏輯推理能力，為后續(xù)課程教學打下堅實的基礎。極限思想貫穿于整個微積分的教學中。廣義積分正是無窮極限的應用。而分數布朗運動模型的定義正是用了無窮限廣義積分這一概念。本文通過分形中的分數布朗運動模型的建立和改進，對無窮限廣義積分的逼近方法作了介紹。在無窮限廣義積分的求解中，作者通過變換核函數，用離散型的分步求和形式來逼近無窮限廣義積分。事實上，通過離散型的轉換，分數布朗運動模型的模擬結果可以得到改善，精確性得到了提高。這里，精確性是指的步長跳躍的標準差不再隨時間的增加而增加；當記憶很小時，也能較好地模擬分數布朗運動的軌跡。作者最后對記憶長度的確定和粒子數的確定作了研究，研究表明：當記憶是時間步長的10倍，粒子數是1000時，可以得到較理想的模擬。這種無窮限廣義積分的逼近方法能促進對極限理論的進一步理解，對極限的近似計算有著一定的指導作用。

【參考文獻】

[1]鄧敏.淺談極限概念的重要性及教學策略[J].教育教學論壇，2013，（4）：201.

[2]王洪英，車軍領.微積分學中極限教學法探討[J].山東師范大學學報（自然科學版），2008，23（1）： 143-144.

[3]王咪咪. 淺談高等數學中極限概念的教學[J].滁州學院學報，2008， 10（6）.