摘 要：教師如何在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中讓學(xué)生通過類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括等方法，形成數(shù)學(xué)思想，學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)方法，可以從以下幾個方面著手：一是挖掘數(shù)學(xué)思想方法，養(yǎng)成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的意識；二是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)思維的縝密性與深刻性；三是引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)思想的高度去總結(jié)、歸納、深化，增強(qiáng)學(xué)習(xí)與原理的遷移能力。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思想；思維意識；滲透與應(yīng)用

中圖分類號：G642 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

一、分類的思想方法

所謂分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點和不同點，將數(shù)學(xué)研究對象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想。一般按照“明確對象—確定標(biāo)準(zhǔn)—逐類討論—歸納總結(jié)”思維步驟來分析問題。

如矩陣按元素間的關(guān)系分類，可以分為矩陣的等價關(guān)系、合同關(guān)系、相似關(guān)系；將次數(shù)大于零的多項式分為可約與不可約兩類；將二次型分為正定、負(fù)定、不定三類；利用向量空間的同構(gòu)關(guān)系對向量空間、歐氏空間按維數(shù)分類等。以下2個概率問題的解答需要多個分支的綜合得出答案。

例1：今安排5列汽車停在5個車位上。如果甲車不許停在最左邊，乙車不許停在最右邊，問有幾種排法？

分析：先考慮甲車。如果甲車在最右邊，余下的4輛車的排列不受限制，一次有A4種排法；如果甲車不在最右邊，則只能排在中間3個位置，此時乙車也只有3個位置可以選擇，因此有A1A1A3種排法。所以，共有A4+A1A1A3=78種。此題為大專概率統(tǒng)計學(xué)中基礎(chǔ)的題目，通過對甲乙的分類討論，滲透分類思想方法，可提高思維的嚴(yán)密性。

例2：一批零件共100個，次品率為10%，每次從其中取一個零件，不放回，如果第一次取得合格品后，就不再取零件，求三次內(nèi)取得合格品的概率。

分析：將第一次或第二次取得合格品，或第三次才取得合格品共分3類進(jìn)行討論。令A(yù)=“在三次內(nèi)取得合格品”，則A=A1+A1A2+A1A2A3故P（A）= P（A1）+P（A1A2）+P（A1A2A3）=0.993

以上數(shù)學(xué)問題的解法，實質(zhì)是變換命題形式和分類思想的反復(fù)運(yùn)用，此類數(shù)學(xué)問題的每一步轉(zhuǎn)換，都遵循著分類思想方法“總—分—總”的規(guī)律。通過這類數(shù)學(xué)問題的解決，可避免分類中重復(fù)和遺漏的現(xiàn)象，學(xué)生能夠領(lǐng)悟分類的魅力。

二、類比的思想方法

所謂類比是這樣的一種推理，它把不同的兩個（兩類）對象進(jìn)行比較，根據(jù)兩個（兩類）對象在一系列屬性上的相似，而且已知其中一個對象還具有其他的屬性，由此推出另一個對象也具有相似的其他屬性的結(jié)論。類比有結(jié)構(gòu)類比、降維類比等。

如n 維空間中的鄰域、兩點間的距離、點列極限等基本概念以及連續(xù)性定理等可與一維空間中的相應(yīng)內(nèi)容作類比。由二維、三維空間類比推出一般數(shù)域P上的抽象向量空間的概念。由整數(shù)整除理論類比推出數(shù)域P上的多項式的整除理論。由直角坐標(biāo)系下幾何向量的長度、夾角、內(nèi)積等，類比在標(biāo)準(zhǔn)正交基下n維歐氏空間中向量的長度、夾角、內(nèi)積等。一元函數(shù)微積分與多元函數(shù)微積分中許多概念、定理可作類比和比較。離散求和的數(shù)項級數(shù)、函數(shù)項級數(shù)與連續(xù)求和的廣義積分、含參量廣義積分同樣可作類比和比較。又如多元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、重積分等重要概念與一元函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分相類比，如多元函數(shù)類比一元函數(shù)的連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的三者關(guān)系時：一元函數(shù)可導(dǎo)等價可微，可導(dǎo)與可微可以推出連續(xù)；多元函數(shù)可微可以推出連續(xù)和可偏導(dǎo)，可偏導(dǎo)推不出可微和連續(xù)。此外，不同數(shù)學(xué)課程中的內(nèi)容也可作類比和比較，如微積分中函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分等概念可與復(fù)變量函數(shù)的相應(yīng)概念作類比和比較，線性常微分方程 （組 ） 的基本理論可與線性代數(shù)方程組的基本理論作類比。

例3：某班學(xué)生40人，求有2人的生日都是9月1日的概率P（A）（一年以365天計算）。

分析：可以如此類比，365 天好比365個球，即袋子里有l(wèi)，2，…，364，365號球。兩人或多人生日相同，比作有放回抽樣時2次或多次抽到的球是同一個球。因此，基本事件總數(shù)為36540，可用古典概型求解或伯努利概型求解，P（A）=C2 。

總之，教師應(yīng)根據(jù)類比教學(xué)內(nèi)容，使學(xué)生體會類比內(nèi)容的聯(lián)系和本質(zhì)差異，滲透類比思想，也有利于學(xué)生進(jìn)行合情推理。

三、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法

轉(zhuǎn)化與化歸思想方法，就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題的一種方法。通過不斷轉(zhuǎn)化，把不熟悉、不規(guī)范、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為熟悉、規(guī)范甚至模式法、簡單的問題。一般在數(shù)與數(shù)、形與形、數(shù)與形之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸，也可以在題意間進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化。

如求事件A的概率，有時可轉(zhuǎn)化為求A的逆事件的概率，離散型隨機(jī)變量的超幾何分布問題可以轉(zhuǎn)化為二項分布來解決，概率很小時二項分布又可以轉(zhuǎn)化為泊松分布；連續(xù)型隨機(jī)變量可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量等。以上都用到了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想方法。

在高等數(shù)學(xué)中，很多問題都要用轉(zhuǎn)化和化歸思想方法去解決，它是發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的一個重要的思想方法。如果在平時的教學(xué)中，老師能注意去挖掘和善于去引導(dǎo)，使學(xué)生形成良好的轉(zhuǎn)化和化歸意識，就可以化繁為簡、化隱為顯、化難為易、化抽象為具體等，有利于學(xué)生形成和發(fā)展辯證思維能力。

四、極限的思想方法

所謂極限的思想，是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等都是借助于極限來定義的。可以說：數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來研究函數(shù)的一門學(xué)科。

如定積分定義的思想來源可以概括為：分割、求和、取極限。這定義的實質(zhì)就是局部上以直代曲，再整體上通過求和取極限，即“化整為零求近似，聚零為整求極限”。概率統(tǒng)計中大數(shù)定理和中心極限定理、微分方程討論解的奇異極限和泛函分析中馬氏鏈的極限性質(zhì)等都體現(xiàn)了極限思想的廣泛應(yīng)用。

在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)通過設(shè)計學(xué)習(xí)情境，使教學(xué)過程充分揭示極限思想的形成過程，幫助學(xué)生領(lǐng)會蘊(yùn)涵在其中的極限思想，從而激發(fā)其學(xué)習(xí)極限的興趣。

五、培養(yǎng)思維品質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，或是教材中，都隱性地存在著。因此，我們應(yīng)結(jié)合大學(xué)生的思維特點，更多從教材中、教學(xué)中以問題為出發(fā)點，以數(shù)學(xué)思想方法為主線，以解決問題為目的，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮主動性，把數(shù)學(xué)思想顯性化。這也有利于提高大學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性、邏輯性和創(chuàng)新性，為學(xué)生以后工作和生活提供指導(dǎo)、增強(qiáng)學(xué)習(xí)與原理的遷移能力，從而真正達(dá)到教師教數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的目的——學(xué)好數(shù)學(xué)知識點，具有理性精神和掌握數(shù)學(xué)思想方法。正如名言所說：“In Cambridge，we teach you everything from nothing.”

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