韓平

【摘 要】以一節(jié)類比推理數(shù)學(xué)課為例，講解“先行組織者”在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用方法。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 類比推理 課例分析

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）11B-0097-02

“先行組織者”是美國(guó)教育心理學(xué)家奧蘇貝爾在1960年提出的一個(gè)教育心理學(xué)的重要概念，“先行組織者”就是為同化當(dāng)前知識(shí)與原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)而先于學(xué)習(xí)任務(wù)本身呈現(xiàn)的一種引導(dǎo)性的材料，它在教學(xué)中起到相當(dāng)重要的橋梁作用。2003年教育部制訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》明確指出，倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探究的學(xué)習(xí)方式。將“先行組織者”教學(xué)策略應(yīng)用于數(shù)學(xué)教學(xué)中，適合學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，有助于教師設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、安排教學(xué)順序，有助于學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、記憶保持、遷移運(yùn)用。這一種教學(xué)策略，能夠提高學(xué)生分析問題的能力和解決問題的能力，從而形成高效課堂。本課例是將“先行組織者”教學(xué)策略應(yīng)用于課堂教學(xué)的實(shí)踐，現(xiàn)將具體的教學(xué)過程呈現(xiàn)如下。

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解類比推理的數(shù)學(xué)方法含義，以及這種思維方法的過程和特點(diǎn)；

2.運(yùn)用類比方法進(jìn)行簡(jiǎn)單推理，做出數(shù)學(xué)猜想；

3.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)歸納能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新探索意識(shí)；

4.培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)、創(chuàng)新的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣和鍥而不舍的鉆研精神。

【重點(diǎn)難點(diǎn)】

重點(diǎn)：了解類比推理的含義以及數(shù)學(xué)中類比思維的過程、特點(diǎn)，能利用類比進(jìn)行簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)推理。

難點(diǎn)：運(yùn)用“觀察—類比—猜想—證明”探求數(shù)學(xué)結(jié)論。

【課堂片段實(shí)錄】

任務(wù)1：?jiǎn)栴}導(dǎo)思

閱讀教材（普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修1-2），P25—27，在理解的基礎(chǔ)上，完成下列知識(shí)點(diǎn)的填空。

1.魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人們從蜻蜓的飛行過程發(fā)現(xiàn)直升飛機(jī)的飛行原理，仿照魚類外形及沉浮原理發(fā)明潛水艇，在教學(xué)中由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)探索發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。以上都是類比思維，即類比推理。

由兩類對(duì)象具有某些________和其中一類對(duì)象的某些________，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡(jiǎn)稱類比）。簡(jiǎn)言之，類比推理是________的推理。

2.初中在平面幾何中學(xué)習(xí)的勾股定理：如圖 1 所示，在Rt△ABC 中，a，b，c 為角 A，B，C 所對(duì)的邊，則用勾股定理表示為________。

任務(wù) 2：合作探究

例1 觀察下列等式：

大家觀察這組式子，他們有什么不同之處？從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？由此，你能歸納出 Rt△ABC 中三個(gè)內(nèi)角的一個(gè)性質(zhì)嗎？這個(gè)性質(zhì)是不是與勾股定理有幾分相似呢？你進(jìn)而能證明所得到的結(jié)論嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】以學(xué)生熟悉的兩個(gè)式子為“先行組織者”，引入課題，通過探索和發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣。創(chuàng)設(shè)一個(gè)以學(xué)生為主體，師生互動(dòng)，共同探索的教與學(xué)情境，讓學(xué)生帶著問題通過自主學(xué)習(xí)、課堂討論、相互合作等方式，使學(xué)生在解決問題的過程中不知不覺地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的傳遞、遷移和融合。

學(xué)生小組討論、展示。

A 組的觀點(diǎn)是：由誘導(dǎo)公式得，從而得到在 Rt△ABC 中有；

B 組的觀點(diǎn)是：因?yàn)?，進(jìn)而得到在 Rt△ABC 中有。

教師：上面得到的結(jié)論與勾股定理在形式上是否相似？你能運(yùn)用勾股定理來證明這個(gè)結(jié)論嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】從歸納推理過渡到類比推理。

進(jìn)入小組討論。

C 組展示做法：由平面內(nèi)直角三角形的勾股定理：，得，從而得到。

教師小結(jié)：大家能從勾股定理出發(fā)，用歸納、類比的方法找到相關(guān)的性質(zhì)。其實(shí)與勾股定理類似的還有許多數(shù)學(xué)性質(zhì)，例如設(shè) a 邊上的高為 ha ，b 邊上的高為 hb ，c 邊上的高為 hc ， 是否成立？

小組討論后，用特例說明，令 a=3，b=4，c=5，則 ha=4，hb=3，，故結(jié)論 明顯不成立。

D 小組認(rèn)為：通過實(shí)驗(yàn)，等式可能成立，大家可以嘗試?yán)霉垂啥ɡ碜鞒稣f明。

于是，又進(jìn)入討論環(huán)節(jié)，最終給出了這個(gè)性質(zhì)的證明。

【設(shè)計(jì)意圖】教師將“先行組織者”設(shè)計(jì)為勾股定理，設(shè)問采用漸進(jìn)分化策略，降低思維難度，讓學(xué)生體會(huì)歸納推理的一般步驟，進(jìn)而讓學(xué)生知道歸納推理能夠起到提供研究方向的作用，給出探索的路徑。學(xué)生積極主動(dòng)地參與課堂活動(dòng)（例如小組討論的形式），體驗(yàn)歸納推理獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程，了解歸納推理的含義，明確歸納推理的一般步驟。

【平行訓(xùn)練】

（1）如圖 2 左圖所示，設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別為 x 和 y，則其對(duì)角線 l 的長(zhǎng)為：l = ________。

（2）如圖 2 右圖所示，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為 x，y，z，則其體對(duì)角線 l 的長(zhǎng)為：l =________ 。

【設(shè)計(jì)意圖】基礎(chǔ)訓(xùn)練，檢查教學(xué)效果。練習(xí)題由淺入深，螺旋上升，逐步提高學(xué)生的思維能力。

通過討論得到答案（1）；（2）。

由平行練習(xí)得到啟發(fā)，我們可以將勾股定理從平面幾何圖形拓展到立體幾何圖形。

例2 （普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修 1-2，P26 例 4 改編）如圖 3 ，在正方形中用直線截得一個(gè) Rt△ABC，同樣在正方體中用平面截得一個(gè)三個(gè)側(cè)面兩兩垂直的四面體。類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質(zhì)的猜想。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過觀察、感知、分析和歸納，完成由易到難、由淺入深、由已知到未知、由特殊到一般的思維飛躍。思維提示：直角三角形中，∠C=90°，3 條邊的長(zhǎng)度為 a，b，c，其中 2 條直角邊 a，b 和 1 條斜邊 c →在 3 個(gè)側(cè)面兩兩垂直的四面體中，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°，4 個(gè)面的面積 ，， 和 ，其中 3 個(gè)“直角面”，， 和 1 個(gè)“斜面”→ 拓展：三角形到四面體的類比。

E 小組用類比的思想方法得到猜想：

教師：這個(gè)結(jié)論正確嗎？請(qǐng)同學(xué)們證明。

通過學(xué)習(xí)討論，學(xué)生展示了這個(gè)性質(zhì)的證明方法。

【課后評(píng)析】

在《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中，課程基本理念倡導(dǎo)自主學(xué)習(xí)、探索學(xué)習(xí)，指出“高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展背景、過程和本質(zhì)，使學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景和逐步形成的過程，體會(huì)其中的思想，體驗(yàn)尋找真理和發(fā)展真理的方法”。數(shù)學(xué)既是演繹的科學(xué)，也是歸納的科學(xué)，因此，數(shù)學(xué)已形成一整套結(jié)論的體系，而且結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程也成為我們教學(xué)的主要內(nèi)容。歸納推理是“推理與證明”一章中的重要組成部分，具有探索、發(fā)現(xiàn)和猜測(cè)部分?jǐn)?shù)學(xué)結(jié)論的作用，有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)，在實(shí)際生活中用途很大。類比推理這節(jié)課是以新課標(biāo)為依據(jù)，結(jié)合學(xué)校科研課題“在新課改背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)中先行組織者策略的實(shí)踐與探索”進(jìn)行課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。

在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，我們常常會(huì)遇到似曾相識(shí)的問題，如果把似曾相識(shí)的問題進(jìn)行對(duì)比和比較，或許會(huì)發(fā)現(xiàn)許多意外的結(jié)果和方法。這種“把類似進(jìn)行比較、聯(lián)想，由一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象已知的特殊性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去，從而獲得另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)”的思維方法就是類比法。本節(jié)課通過歸納的方法引出問題，用類比的方法去發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)性質(zhì)，再用演繹的方法去證明。所提供的問題情境，需要探索性思維和整體性思維。通過學(xué)生的觀察和類比，尋找論證方法，給學(xué)生提供施展才華、發(fā)展智慧的機(jī)會(huì)。

教學(xué)設(shè)計(jì)是以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中“原有觀念”——勾股定理作為“先行組織者”，用類比的方法去同化和遷移，學(xué)習(xí)類似的新的數(shù)學(xué)知識(shí)。例如，在同一平面內(nèi)的類比，通過勾股定理的形式“”，類比得到內(nèi)角的關(guān)系“”以及三邊上高的關(guān)系“”。又如，從平面到空間的類比，利用長(zhǎng)方形的對(duì)角線的長(zhǎng)“”，推廣到長(zhǎng)方體對(duì)角線的長(zhǎng)“”；由直角三角形三邊的性質(zhì)“”，拓展到四面體四個(gè)面的性質(zhì)“”。每一次類比或推廣，都是通過學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的有關(guān)觀念去同化和發(fā)現(xiàn)新知。

在課堂教學(xué)中突出思維過程，在例題的配置方面，以探索性問題為主；在邏輯思維方面，注意解決問題的方向，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)猜想和類比推理在數(shù)學(xué)思維中的應(yīng)用。在教學(xué)中運(yùn)用了小組討論的方法，彰顯學(xué)生學(xué)習(xí)主體地位，充分發(fā)揮學(xué)生參與活動(dòng)的主動(dòng)性。在課堂上，給學(xué)生充分的思維活動(dòng)空間，盡可能多地依靠學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)解題思路和動(dòng)手作答。這是將“先行組織者”理論運(yùn)用于課堂教學(xué)的一次有益的嘗試。

（責(zé)編 盧建龍）