孫紅輝+++王紅霞+++許佳婷

【摘要】光柵衍射是波動光學中重要的教學內(nèi)容，本文結合課堂教學實踐，從加強教學效果和便于學生接受與理解的角度出發(fā)，用振幅矢量合成法來分析衍射明、暗條紋的產(chǎn)生及條紋特征，以期對光柵衍射教學提供一些有益的借鑒。

【關鍵詞】光柵衍射 ?明暗條紋 ?矢量合成法

【中圖分類號】G64 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）35-0149-01

引言

在波動光學中，光柵衍射是非常重要的教學內(nèi)容，它是光的干涉和衍射現(xiàn)象的綜合反映，也是波動光學理論、技術、應用的典范，使學生加深理解和區(qū)分干涉和衍射的物理含義。本文結合教學實踐，就光柵衍射教學中明、暗條紋的分布及條紋特征進行探討。

1.光柵衍射定性分析

根據(jù)惠更斯—菲涅爾原理，光柵上每條縫產(chǎn)生強度相同彼此相干的子波光束。設想光柵上只留下一條縫，其余的全遮住，此時屏上會呈現(xiàn)單縫衍射條紋及光強分布，實際上，無論留下哪一條縫，屏上的單縫衍射條紋和光強分布都是一樣的。當開兩縫時，衍射光在屏上彼此完全重疊，注意：這種疊加是相干疊加。隨著縫數(shù)增加，干涉條紋變得越來越細銳，由于參與多縫干涉的每一束光線都是單縫所產(chǎn)生的衍射光，因此，多縫干涉光強分布，必然受單縫衍射光強分布的調(diào)制。所以光柵衍射實際上是光柵每條單縫的衍射光再進行相干疊加而產(chǎn)生的，以上是光柵衍射的定性分析。

2.光柵衍射明、暗紋定量分析

對光柵衍射明、暗紋公式的推導，運用振幅矢量合成法是比較合適的，學生對矢量多邊形加法比較熟悉，且矢量畫圖形象直觀。平行光垂直照射N條縫的光柵，每條縫沿各方向衍射光強度是一樣的，設衍射角為？茲的一組平行光在Q點相干疊加，其合振幅等于N條子波在該點光振幅矢量之和。因此，可利用矢量多邊形法分析N條子波的相干疊加，不涉及復雜的數(shù)學運算，不需計算合矢量大小，只需判斷什么情況下合矢量的模最大或最小，直觀簡單，學生容易理解。

相干疊加結果取決于光程差，光柵上相鄰兩縫光束光程差為d sin？茲，d為光柵常數(shù)，相應的相位差為？啄=2？仔d sin ？茲/？姿，任意相鄰兩縫光束光程差和相位差都相等。多縫干涉結果可用N個相位差相同、振幅大小相等的光振幅矢量疊加表示，也就是說：Q點光波合振幅A可表示為N個光振幅為A0的矢量之和。由矢量多邊形加法，將N個矢量依次首尾相連做出矢量圖，如圖1所示，相鄰兩矢量夾角等于相位差？啄，從第一個矢量始端指向最后一個矢量末端的有向線段就是合矢量，顯然當？啄=2k？仔時，A=NA0，此時合振幅最大，多縫干涉加強產(chǎn)生主極大明紋。由？啄=2k？仔可得到下式：

d sin ？茲=k？姿 ? ? k=0，±1，±2… （1）

圖1 主極大明紋形成 ? ? ? ? ? ? ? 圖2光柵暗紋的形成

這就是光柵方程，表明光柵上任意相鄰兩縫光束的光程差都滿足了相干加強的條件，此時合振幅最大，產(chǎn)生主極大明紋。

再分析多縫干涉暗紋情況，暗紋即光振幅合矢量為零。衍射角為？茲時，相位差為？啄=2？仔d sin？茲/？姿由矢量合成圖2可知，當N個矢量依次首尾相連形成一個閉合多邊形時，合矢量大小為零， 也就是N個光振幅合成為形成暗紋。形成閉合多邊形時，夾角N？啄必然等于2？仔整數(shù)倍。因此，產(chǎn)生暗紋條件是：

N（a+b）sin ？茲=m？姿 ? ? m=±1，±2…，m≠kN ? （2）

公式中m取值要注意：原則上m取任意整數(shù)，但當m等于N 的整數(shù)倍時，暗紋公式將變成明紋的光柵方程，因此，m應取不等于kN 的整數(shù)。由m取值可知，在0 、N 兩個主極大明紋之間，m取N -1個值，說明在兩相鄰主極大明紋之間存在N -1個暗紋。條紋是明暗相間的，N-1條暗紋之間必有N-2條次極大明紋，次極大明紋的光強遠小于主極大明紋。

3.衍射條紋特征解釋

根據(jù)光柵衍射明、暗條紋公式，可以解釋條紋 “細、亮、疏”的特點?！凹殹斌w現(xiàn)在主極大明紋半角寬度上，設k級主極大明紋衍射角為？茲k，k級明紋外側相鄰暗紋對應的衍射角為？茲k+△？茲k，k級明紋和相鄰暗紋對應的衍射角之差稱為k級明紋的半角寬度，用△？茲k表示，△？茲k大小就決定明紋的“細”度。主極大明紋衍射角滿足光柵方程，而暗紋衍射角？茲k+△？茲k滿足暗紋公式，則有：

d sin ？茲k=k？姿 （3）

Nd sin（？茲k+△？茲k）=m？姿=（kN+1）？姿 （4）

（4）式中m取多少呢？，？茲k+△？茲k略大于？茲k，式中右邊應略大于Nk？姿，m 取整數(shù)，顯然，m=kN+1，兩式聯(lián)立求解，可得半角寬度：

△？茲k=■ （5）

顯然，縫數(shù)N越大，△？茲k越小，譜線也越“細”。再看“亮”，“亮”體現(xiàn)在明紋強度上，主極大明紋合振幅為A=NA0，光強與振幅平方成正比，即I=N2I0，其光強是單縫在該方向衍射光強的N2倍，因此，主極大明紋顯得很“亮”。 “疏”體現(xiàn)在主極大明紋的間距上，考查相鄰k和k+1級主極大明紋，設k級明紋對應衍射角為？茲k，k+1級明紋對應的為？茲k+1，則有：d sin ？茲k=k？姿和d sin ？茲k+1=（k+1）？姿成立，兩式聯(lián)立得：

sin ？茲k+1-sin ？茲k=■ （6）

由（6）式可知，光柵常數(shù)d越小，衍射角分得越開，條紋間距越大，分布就越稀“疏”。以上分析圓滿解釋了光柵衍射條紋“細、亮、疏”的特點，這種特征有利于光波波長的精確測量，光譜分析中的光譜儀就是基于光柵衍射的原理制成的。

結束語

運用振幅矢量合成法求光柵衍射的明、暗紋公式不涉及過多的數(shù)學運算，借助矢量畫圖分析明、暗紋的形成條件，只需判斷什么情況下合矢量的模為最大或最小即可，非常直觀和簡單，使學生更加易于理解和掌握明、暗紋公式及條紋的特征，從而取得良好的教學效果。

參考文獻：

[1]馬文蔚等， 物理學[M]，北京：高等教育出版社，2015.

[2]吳百詩， 大學物理[M]，西安交通大學出版社，2009.