浙江諸暨市大唐鎮(zhèn)柱山小學 楊 剛

波利亞解題思想在小學數(shù)學教學中的應用探析

浙江諸暨市大唐鎮(zhèn)柱山小學 楊 剛

波利亞在《怎樣解題：數(shù)學思維的新方法》中提出“問題解決”的思維過程，將“問題解決”作為數(shù)學教育的重要內容。小學數(shù)學是基于問題解決的學科，利用“問題解決”教學思路來探討小學生自主解答、解題方法多樣性問題，更有助于引導小學生從“問題”中探究解題能力。

小學數(shù)學 波利亞解題思想 問題解決

小學數(shù)學新課標將“問題解決”作為一項能力目標，并要求學生能夠運用數(shù)學知識來解決數(shù)學實際問題。波利亞是著名的數(shù)學家，他提出的“問題解決”數(shù)學教育思想，將“問題解決”作為一門學科，并引導學生從知識技能、數(shù)學思考、問題解決、情感態(tài)度等方面來獲得數(shù)學解題能力。為此，接下來筆者將著重從“問題解決”思維培養(yǎng)上來進行探究和分析。

一、波利亞數(shù)學解題思維的一般方法

在面對數(shù)學問題時，“一個好的想法是如何想出來的”成為波利亞研究解題思維的關鍵點，也是貫穿于其著作《怎樣解題：數(shù)學思維的新方法》一書中。解題思維是如何產生的，解題過程又是怎樣的步驟？依據(jù)波利亞的解題理論，將之細化為四個步驟：弄清題意、擬定計劃、實施計劃、檢驗與回顧。第一步，了解題意是前提。每一道數(shù)學題，都有其語言陳述部分，應先了解提供了哪些已知條件，哪些是未知的，如何結合現(xiàn)有的條件來解決設定的問題。當然，在如何梳理解題步驟時，明確題意，了解現(xiàn)有的已知信息，將是獲得解題思路的重要步驟。第二步是擬定解題的計劃，也是解題思路的核心環(huán)節(jié)。當了解題意后，確立需要解決的問題，就需要從這些條件中來探究未知量與已知量之間的關系，如何擬定一個破解問題的方法。比如通過觀察已知量，來獲得未知量與已知量的某一關系，并按照這個關系來獲得解題方法。當然，如果無法找到未知量與已知量之間的直接關系，這時就需要考慮輔助題目，要嘗試其他解題路徑來獲得與原題目相關聯(lián)的解題方案。第三步是實施計劃，即對解題思路進行解答的過程。每一道數(shù)學題都需要從解題中來完成，通過確定解題計劃，然后實施解題步驟，從而獲得解題結果。如果計劃是不完善的，則需要重新進行完善計劃，再進行解題過程。事實上，在數(shù)學解題過程中，也會遇到一些困難，對原來設定的解題計劃需要推翻重來。第四步是檢驗與回顧，這一環(huán)節(jié)主要是對前面所解題的方法進行檢驗，是否符合解題任務和目標，并對解題的答案正確性進行驗算。小學數(shù)學中的驗算也是對解題思路進行回顧的反向過程，通過檢驗，來確定解題思路的正確性，并為以后的解題提供知識積累。波利亞對第四步的檢驗與回顧給予充分的重視，并提出”領會方法的最佳時機“就是去檢驗計算的過程，增強小學生對數(shù)學問題的探究力。

二、以波利亞“問題解決”思路來解決小學數(shù)學問題

了解了波利亞“問題解決”解題思路，我們需要從小學數(shù)學問題的應用中來檢驗波利亞的解題思想。

1.以“問題解決”思路來探究人教版小學數(shù)學例題設置。

通過對人教版小學數(shù)學教材一至六年級相關數(shù)學例題的梳理，從宏觀上來看，在小學一至三年級教材中，基于“問題解決”思路的例題數(shù)量相對較多，約有51道例題；四至六年級的“問題解決”思路的例題數(shù)量相對較少，約有30道例題。不過，從實際數(shù)學例題的安排來看，人教版教材對小學生數(shù)學解題能力是很關注的，特別是將數(shù)學知識與生活實際問題的聯(lián)系，鼓勵小學生從生活性數(shù)學問題中來應用數(shù)學意識。

2.“問題解決”解題思路的應用探析。

結合小學數(shù)學新課標，依托現(xiàn)有人教版小學數(shù)學教材，從“問題解決”思路來探析小學數(shù)學解題方法，主要是通過設置與“問題解決”相關聯(lián)的教學內容，來體現(xiàn)小學數(shù)學教學特點。比如在教材知識點安排順序上，往往在新知識之后安排與實際問題相關聯(lián)的“實例”，讓學生能夠從前面所掌握的基本知識中，來解決實際的數(shù)學問題。比如在三年級上冊第五單元有“倍數(shù)的認識”一課，該課教學目標是探討“一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”問題。通過前面對“倍”的理解，讓學生了解“倍”的概念及內涵，將之延伸到生活實際問題中，鼓勵學生提高應用數(shù)學意識解決數(shù)學問題的能力。比如“已知一個數(shù)，求這個數(shù)的幾倍是多少”，“求一個數(shù)是另一個數(shù)的幾倍”等。在實例中，例2、例3都是實際問題，需要學生從“倍”數(shù)知識來解決，也是很好地將所學知識進行遷移實踐的過程，體現(xiàn)了波利亞所強調的“問題解決”解題思維。

3.將“問題解決”應用到具體的問題呈現(xiàn)中。

如何呈現(xiàn)數(shù)學問題，如何教學生從數(shù)學問題中來提煉解題方法，并從解題后的檢驗與反思中解決實際問題。對于每一道數(shù)學例題的安排，都可以分成三個步驟來呈現(xiàn)“問題解決”。對于小學一、二年級的數(shù)學教材，由于小學生的數(shù)學思維具有形象化特點，因此在進行數(shù)學解題方法的呈現(xiàn)上，要以易于理解的語言表達來探析。比如在二年級下冊第五單元有“混合運算”例題，主要考察小學生運用加法、減法或者只有乘法、除法的解題順序。再如對于某一實際問題：我們需要烤90個面包，每次烤9個，已經(jīng)烤了36個，問還需要烤幾次才能烤完。對于該例題在進行“問題解決”思路分析時，首先要明確解題步驟：該題的已知是什么，其次是如何解決問題，最后是對解題的答案進行檢驗。正好印證了波利亞所提出的“問題解決”思路。本題已經(jīng)告訴學生的有：每次能烤9個，一共需要90個，已經(jīng)烤了36個；對這些信息的了解，有助于我們“弄清題意”。對于怎樣解答，就需要從現(xiàn)有的已知、條件、未知之間的關系上，進行探究。我們可以將該問題設置為圖表分析法，然后分析問題解決的具體操作過程，與波利亞所提出的“怎樣解題表”中的“擬定計劃”“實施計劃”是一致的。在這個過程中，學生能夠從中受到啟發(fā)，并從題目的分析中，來設置相應的解題方法。比如問學生知道那些信息，每次烤9個；總共需要烤多少個？一共要烤90個；已經(jīng)烤了多少個？已經(jīng)烤了36個；還剩下多少個沒有烤？90-36=54（個）；對于剩下的54個，如果每次烤9個，需要烤幾次？可以得出54÷9=6（次）；這個解題思路是分步的，如果要列入綜合算式，該如何進行表述呢？同樣道理，我們先算出還剩下多少個沒有烤，將（90-36）作為前提，然后計算出每次9個需要烤多少次？即（90-36）÷9=6（次）。

三、運用波利亞解題思想的幾個建議

1.讓學生多些自主解題的機會。

針對人教版小學數(shù)學教材中“問題解決”思想的運用，正好與波利亞的“怎樣解題”思路具有一致性，從其解題思路細化來看，審清題意，分析解題方法，檢驗和回顧正好是貫穿始終的解題步驟。因此，對于小學低年級學生，要引導學生從題意梳理上，明確那些是已知的，那些是未知的，如何由已知來推導未知，得出解題思路，并將解題的過程交給學生，讓學生從中來體驗，漸進領會解題思想。

2.注重解題方法的多樣性呈現(xiàn)。

對于小學數(shù)學問題的解決，人教版教材注重“問題解決”方法的訓練，特別是從實際問題入手，來呈現(xiàn)多種解題思路，便于激發(fā)學生的數(shù)學解題意識，增進“一題多解”，促進學生發(fā)散思維的培養(yǎng)。

3.強調對解題過程的反思與檢驗。

波利亞“問題解決”思想注重解題方法的檢驗與回顧，對于小學生，應該養(yǎng)成良好的解題檢驗的習慣，特別是對于小學高年級學生，要注重解題反思，要突出解題方法的歸納與完整呈現(xiàn)，提升學生的數(shù)學解題能力。

總之，波利亞的數(shù)學教育思想十分豐富，教學中，我們應通過波利亞“問題解決”思路來解決小學數(shù)學問題，更好地優(yōu)化教學，不斷提高學生解題能力及自我總結能力，為學生核心素養(yǎng)的提升奠基。

[1]彭文芳.巧妙有效引導，發(fā)展數(shù)學思維[J].新教育，2014（02）.

[2]周經(jīng)華.用波利亞解題表進行教學例談[J].寧夏教育，2005（04）.?