匡婷 葛雙林
二項(xiàng)分布及其應(yīng)用的常見(jiàn)題型
在[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,設(shè)事件[A]發(fā)生的次數(shù)為[k],在每次試驗(yàn)中事件[A]發(fā)生的概率為[p],那么在[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件[A]恰好發(fā)生[k]次的概率[P(X=k)][=Cknpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)]. 此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量[X]服從二項(xiàng)分布,記作[X]~[B(n,p)],并稱(chēng)[p]為成功概率.
1. [n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件[A]發(fā)生[k]次的概率
例1 在三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件[A]在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率相同,若事件[A]至少發(fā)生一次的概率為[6364],則事件[A]恰好發(fā)生一次的概率為( )
A. [14] B. [34] C. [964] D. [2764]
解析 設(shè)事件[A]在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為[x],由題意得,[1-C33(1-x)3=6364],則[x=34]. 則事件[A]恰好發(fā)生一次的概率為[C13×34×(1-34)2=964].
點(diǎn)評(píng) 二項(xiàng)分布的前提是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn). 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中“至多”“至少”問(wèn)題和在排列組合中一樣,一般都需分類(lèi)處理,若正面的情況較多,可考慮逆向思維法.
2. 二項(xiàng)分布的期望與方差
例2 已知隨機(jī)變量[X]服從二項(xiàng)分布[B(n,p)],若[E(X)=30],[D(X)=20],則[p=] .
解析 由題意得,[E(X)=np=30,]且[D(X)=][np(1-p)][=20],解得,[p=13]. 故應(yīng)填[13].
點(diǎn)評(píng) 若離散型概率分布被定位為二項(xiàng)分布,就可以直接利用公式[E(X)=np, D(X)=np(1-p)]求得.
3. 二項(xiàng)分布的分布列
例3 為拉動(dòng)經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng),某市決定新建一批重點(diǎn)工程,分別為基礎(chǔ)設(shè)施工程、民生工程和產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程三類(lèi),這三類(lèi)工程所含項(xiàng)目的個(gè)數(shù)分別占總數(shù)的[12,13,16].現(xiàn)在3名工人獨(dú)立地從中任選一個(gè)項(xiàng)目參與建設(shè),記[ξ]為3人中選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程的人數(shù),求[ξ]的分布列.
解析 記第[i]名工人選擇的項(xiàng)目屬于基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程分別為事件[Di,i=1,2,3].
點(diǎn)評(píng) 本例中,表面上試驗(yàn)有三種結(jié)果,仔細(xì)想想:若記選擇基礎(chǔ)設(shè)施工程或產(chǎn)業(yè)建設(shè)工程為事件[Di]的話,[Di]要么發(fā)生,不發(fā)生就是選擇民生工程,其實(shí)只有兩個(gè)結(jié)果,則[ξ]服從二項(xiàng)分布. 一般來(lái)說(shuō),判斷一個(gè)隨機(jī)變量是否服從二項(xiàng)分布,主要看以下幾點(diǎn):(1)每次試驗(yàn)中,事件發(fā)生的概率是相同的;(2)各次試驗(yàn)中的事件是相互獨(dú)立的;(3)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果,事件要么發(fā)生,要么不發(fā)生;(4)隨機(jī)變量是這[n]次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的次數(shù).
4. 兩點(diǎn)分布
例4 若隨機(jī)變量[X]服從兩點(diǎn)分布,且[P(X=0)=0.8,][P(X=1)=0.2,]令[ξ=3X-2],則[P(ξ=-2)=] .
解析 當(dāng)[ξ=-2]時(shí),[X=0],則概率為0.8.
點(diǎn)評(píng) 兩點(diǎn)分布是二項(xiàng)分布的一個(gè)特例,是當(dāng)[n=1]時(shí)的二項(xiàng)分布,其中[PX=1]是成功概率.
不“明顯”的二項(xiàng)分布
例5 某中學(xué)在運(yùn)動(dòng)會(huì)期間舉行定點(diǎn)投籃比賽,規(guī)定每人投籃4次,投中一球得2分,沒(méi)有投中得0分,假設(shè)每次投籃投中與否是相互獨(dú)立的. 已知小明每次投籃投中的概率都是[13]. 求小明在4次投籃后的總得分[ξ]的數(shù)學(xué)期望.
解析 由題意得,[ξ]的可能取值為0,2,4,6,8.
點(diǎn)評(píng) 本題還可以設(shè)投籃命中的次數(shù)為[η],即先研究4次投籃命中的次數(shù),符合二項(xiàng)分布的定義,即[η]~[B(4,13)],則[E(η)=4×13=43.]又得分[ξ=2η],由公式[E(aη+b)=aEη+b]可求出[Eξ=2Eη=83]. 這樣做可以大大減少運(yùn)算量.
被“錯(cuò)認(rèn)”的二項(xiàng)分布
例6 甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽,甲隊(duì)與乙隊(duì)實(shí)力之比為[3∶2],比賽時(shí)均能正常發(fā)揮技術(shù)水平,則在5局3勝制中,甲打完4局才勝的概率為( )
A. [C23353×25] B. [C23352×23]
C. [C34353×25] D. [C34233×13]
解析 甲打完4局勝,則要求第四局是甲勝,前三局中甲勝2次,應(yīng)選擇A.
點(diǎn)評(píng) 在研究二項(xiàng)分布求概率時(shí),除注意事件的獨(dú)立性之外,還要注意恰有[k]次發(fā)生與有指定哪幾次發(fā)生的區(qū)別. 本題很容易被誤認(rèn)為二項(xiàng)分布,導(dǎo)致錯(cuò)選C.
不能不說(shuō)的“二項(xiàng)分布與超幾何分布”
例7 某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查某社區(qū)人們的幸福度. 現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名,以下莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)(以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉):
(1)指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù).
(2)若幸福度不低于9.5分,則稱(chēng)該人的幸福度為“極幸福”. 求從這16人中隨機(jī)選取3人,至多有1人是“極幸福”的概率.
(3)以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記[ξ]表示抽到“極幸?!钡娜藬?shù),求[ξ]的分布列及數(shù)學(xué)期望.
解析 (1)眾數(shù):8.6;中位數(shù):8.75.
點(diǎn)評(píng) 二項(xiàng)分布與超幾何分布是很容易弄混淆的兩種分布,一般來(lái)說(shuō)超幾何分布和二項(xiàng)分布有如下區(qū)別:(1)“不放回”抽取是超幾何分布,而“有放回”抽取(獨(dú)立重復(fù))是二項(xiàng)分布. (2)對(duì)于超幾何分布,需要知道總體的容量,而二項(xiàng)分布不需要. 若特意強(qiáng)調(diào)數(shù)據(jù)很大或者有“將頻率當(dāng)作概率”這樣的描述,則是二項(xiàng)分布.