董海英

【摘 要】小學(xué)數(shù)學(xué)建模思想的形成過程是一個(gè)綜合性的過程，是數(shù)學(xué)能力和其他各種能力協(xié)同發(fā)展的過程。在指導(dǎo)學(xué)生解決問題的過程中，從模型的構(gòu)建、提升與突破三個(gè)方面入手，發(fā)展學(xué)生的比較、分析、抽象、概括、運(yùn)用等能力。

【關(guān)鍵詞】操作建模；數(shù)學(xué)語言；建模能力；模型突破

中圖分類號(hào)：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1671-0568（2017）01-0012-03

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在前言中指出，模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑，建立和求解模型可以提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。如何幫助學(xué)生從已有經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與運(yùn)用的過程？我們積極尋找以教促學(xué)的教學(xué)策略，針對(duì)蘇教版二年級(jí)下冊(cè)“解決實(shí)際問題”，從模型構(gòu)建、提升與突破三個(gè)方面入手，點(diǎn)撥學(xué)生思維，發(fā)展學(xué)生初步的比較、分析、抽象、概括、運(yùn)用等能力。

一、自主操作探究，合作交流建模

心理學(xué)家皮亞杰認(rèn)為“智慧的鮮花是開放在手指尖上的”，一語道出了操作實(shí)踐的重要性。動(dòng)手操作是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方式，有利于發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，讓學(xué)生在解決問題中，經(jīng)歷知識(shí)形成，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。因此，我們?cè)诮虒W(xué)活動(dòng)中，要盡可能給學(xué)生提供操作探究的機(jī)會(huì)。

1. 在操作感悟中，建構(gòu)數(shù)量關(guān)系模型

如教材第1頁例題1，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生通過分鉛筆的操作，感知平均分后有剩余的現(xiàn)象。

（1）經(jīng)驗(yàn)操作。把10支鉛筆按2支一份平均分，可以分給幾個(gè)人？明確：10支鉛筆。每人分2支，正好分給5人。

把10支鉛筆按3支、4支、5支一份平均分，分別會(huì)出現(xiàn)怎樣的結(jié)果。用小棒代替鉛筆分一分，再和小組同學(xué)說說分的過程和結(jié)果。

（2）演示操作。10支鉛筆，每人分3支，結(jié)果又是怎樣？展示操作過程。結(jié)合學(xué)生演示，明確：10支鉛筆，每人分3支，可以分給3人，還剩1支。繼續(xù)演示反饋“每人分4支”“每人分5支”的情況。學(xué)生在操作和交流中充分感知平均分東西，有時(shí)能全部分完，有時(shí)會(huì)剩下一些不能繼續(xù)分了，從而產(chǎn)生對(duì)余數(shù)的感性認(rèn)識(shí)。

（3）填寫表格。你能把每次分鉛筆的結(jié)果記錄在表格里嗎？

學(xué)生通過填表對(duì)操作過程和結(jié)果進(jìn)行梳理，對(duì)平均分后出現(xiàn)的情況進(jìn)行分類：把一些物體平均分后，有時(shí)正好分完，有時(shí)會(huì)有剩余。教師適時(shí)點(diǎn)撥，像這樣平均分后還有剩余的情況，也可以用除法算式來表示。

從學(xué)生操作以后所填寫的表格里，提取“10支鉛筆，每人分3支，可以分給3人，還剩1支”這個(gè)事實(shí)，寫出除法算式“10÷3=3（人）……1（支）”，指出算式里的“1”是“余數(shù)”。

（4）模型體驗(yàn)。根據(jù)“10支鉛筆，每人分4支，可以分給2人，還剩2支”這個(gè)事實(shí)，寫出相應(yīng)的除法算式，初步學(xué)會(huì)有余數(shù)除法算式的寫法和讀法。

教學(xué)中，緊扣分鉛筆的操作過程和結(jié)果，引導(dǎo)理解除法算式，使學(xué)生在具體事實(shí)和相應(yīng)算式之間建立聯(lián)系。體會(huì)這道算式比表內(nèi)除法多了“余數(shù)”，是由于平均分東西沒有全部分完所造成的。學(xué)生在操作活動(dòng)中獲得了感性的經(jīng)驗(yàn)，有余數(shù)的除法數(shù)量關(guān)系的模型也就呼之而出。

2. 在操作感悟中，理解“余數(shù)要比除數(shù)小”的道理

“余數(shù)都比除數(shù)小”對(duì)低年級(jí)孩子來講，是一個(gè)比較抽象的數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)生理解這個(gè)道理會(huì)有一些困難。如果采取直接的方式告訴學(xué)生，就不能內(nèi)化為學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。他們需要豐富的感性認(rèn)識(shí)為緩沖帶，逐步上升成理性認(rèn)識(shí)的過程。教材重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生通過擺正方形的操作，理解除數(shù)和余數(shù)之間的關(guān)系。

如教材第2頁例題2。

首先明確用4根小棒可以擺1個(gè)正方形，8根小棒可以擺出2個(gè)正方形。在此基礎(chǔ)上提出“像這樣用12、13、14、15、16根小棒擺正方形結(jié)果會(huì)怎樣。學(xué)生通過操作，填寫算式和表格豐富了對(duì)有余數(shù)除法的認(rèn)識(shí)。

12÷4=3（個(gè)）

13÷4=3（個(gè)）……1（根）

14÷4=3（個(gè)）……2（根）

15÷4=3（個(gè)）……3（根）

16÷4=4（個(gè)）

結(jié)合算式和表格引導(dǎo)學(xué)生深入思考：

（1） 用12根小棒或16根小棒擺正方形，小棒正好用完，沒有剩余；用13、14、15根小棒擺正方形，都有剩余的小棒，為什么剩下的小棒根數(shù)分別是1根、2根、3根？

（2） 用12、13、14、15根小棒都是擺成3個(gè)正方形，用16根小棒擺成4個(gè)正方形，為什么多了1個(gè)正方形？

（3）如果用更多根小棒擺正方形，余數(shù)可能超過3嗎？

隨著學(xué)生對(duì)這些問題的思考與感悟，他們就能發(fā)現(xiàn)：剩下的小棒夠擺一個(gè)正方形，就要繼續(xù)擺下去，直到不夠擺為止，這里的余數(shù)只能是1、2、3。 “余數(shù)都比除數(shù)小”就不再是一個(gè)機(jī)械記憶的知識(shí)，而是一個(gè)通過操作建模體驗(yàn)的數(shù)學(xué)規(guī)律。

二、加強(qiáng)數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練，提高數(shù)學(xué)建模能力

數(shù)學(xué)語言是一種科學(xué)語言，它是對(duì)數(shù)學(xué)概念、解題思路、推導(dǎo)過程等的表述。它具有準(zhǔn)確、簡練、符號(hào)化的特點(diǎn)。它有利于培養(yǎng)學(xué)生揭示事物本質(zhì)的能力，幫助學(xué)生更好的概括事物的規(guī)律。訓(xùn)練數(shù)學(xué)語言的過程就是通過師生、生生之間的交流提升思維品質(zhì)的過程，它是提高學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的有效途徑。

1. 在計(jì)算過程中，注重學(xué)生復(fù)述

計(jì)算題教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上掌握計(jì)算方法。在低年段數(shù)學(xué)的計(jì)算教學(xué)中，加強(qiáng)算理教學(xué)，重視過程復(fù)述訓(xùn)練，既可以幫助學(xué)生鞏固所學(xué)的計(jì)算方法，又能提高數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，發(fā)展學(xué)生思維。

（1）除法豎式。除法豎式和學(xué)生已經(jīng)熟悉的加、減法豎式不一樣，在計(jì)算的過程中包含“除—乘—減”三步，學(xué)生較難接受。在教學(xué)中不能停留在將豎式當(dāng)作是一種格式，它更是一種數(shù)學(xué)的符號(hào)語言，具有計(jì)算與表達(dá)的雙重功能。

①表內(nèi)除法。比如教材第4頁例題3，從解決實(shí)際問題切入：媽媽買了12個(gè)蘋果，每4個(gè)放一盤，放了幾盤？學(xué)生很容易列出除法算式12÷4=3（盤）。教材告訴學(xué)生，除法也可以用豎式計(jì)算，同時(shí)給出了這道除法的豎式，并對(duì)豎式的各個(gè)部分做出解釋。

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合平均分過程，口述用豎式計(jì)算的過程：利用乘法口訣“三四十二”得出商3；接著用乘法計(jì)算，把3和4相乘得12，（表示3盤分掉12個(gè)蘋果）；最后用減法計(jì)算，12減12等于0（表示蘋果全部分完，沒有剩余）。

在復(fù)述過程中進(jìn)一步體會(huì)除法豎式的形式、結(jié)構(gòu)以及書寫格式，為教學(xué)有余數(shù)除法的筆算做好準(zhǔn)備。

②有余數(shù)除法豎式。例題用圖畫給出12個(gè)蘋果，要求學(xué)生每5個(gè)放一盤，在圖畫中圈一圈，得出可以放2盤，還余2個(gè)，并填寫除法算式12÷5=□（盤）……□（個(gè)），把教學(xué)引入有余數(shù)的除法。

學(xué)生已經(jīng)知道被除數(shù)、除數(shù)、商在豎式中的位置，能夠?qū)懗鰣D2的樣子：

首先引導(dǎo)學(xué)生，豎式中的商“2”應(yīng)該怎樣想到，聯(lián)系平均分操作活動(dòng)，可以這樣想：12里面最多有2個(gè)5，商是2；接著用乘法計(jì)算2個(gè)5是10，表示2盤分掉10個(gè)蘋果；最后用減法計(jì)算，12減10等于2，表示還剩余2個(gè)蘋果。

在嘗試完成豎式以后，復(fù)述展示計(jì)算步驟，每一步計(jì)算表示什么，以及計(jì)算時(shí)要注意什么。通過口述交流，學(xué)生進(jìn)一步明確有余數(shù)除法求商時(shí)，可以想被除數(shù)里最多有幾個(gè)除數(shù)，明確豎式的寫法以及豎式中“10”和“2”所表示的意思。學(xué)生從這樣的復(fù)述過程中抽象出數(shù)學(xué)模型，建立起有余數(shù)除法與表內(nèi)除法計(jì)算方法的聯(lián)系和區(qū)別，更好地掌握用豎式計(jì)算有余數(shù)除法的思考過程和書寫規(guī)范。

（2）加減法計(jì)算。加、減法計(jì)算是小學(xué)數(shù)學(xué)十分重要的教學(xué)內(nèi)容，也是整數(shù)階段最后一次教學(xué)加、減法計(jì)算。

如學(xué)習(xí)書本68頁例題 142+86的豎式計(jì)算時(shí)，要求學(xué)生通過分析說出算理：相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起。個(gè)位上2個(gè)一加6個(gè)一得8個(gè)一，在個(gè)位上寫8；十位上4個(gè)十加8個(gè)十，得12個(gè)十，在十位上寫2，向百位進(jìn)一；百位上1個(gè)百，加進(jìn)上來的1個(gè)百，得2個(gè)百，在百位上寫2。這樣通過說算理，使學(xué)生條理清楚，思維深刻。

又如書本77頁例題：學(xué)習(xí)隔位退位減法，用豎式計(jì)算204-108。在引導(dǎo)學(xué)生通過探索理解隔位退位減法的算理和算法基礎(chǔ)上，要求學(xué)生復(fù)述：個(gè)位上不夠減，要從十位上退1，十位上是0，就向百位退1；百位上還剩1個(gè)百，十位上是10個(gè)十；再從十位上退1，十位上還剩9個(gè)十。個(gè)位上14個(gè)一減8個(gè)一得4個(gè)一；十位上是9個(gè)十減0得9個(gè)十；百位上1個(gè)百減1個(gè)百，就沒有了。經(jīng)常訓(xùn)練學(xué)生清晰而又準(zhǔn)確地表達(dá)自己的計(jì)算思維，學(xué)生思維程序優(yōu)化進(jìn)程就會(huì)大大加強(qiáng)。

2. 在解決問題過程中，重視讓學(xué)生說清解題思路

表達(dá)解題思路，是發(fā)展學(xué)生語言的又一重要方法。學(xué)生在口述解題思路時(shí)，首先需要明確題意，判斷數(shù)量關(guān)系，確定解決問題的策略，然后組織語言，有條理地表達(dá)出來。

如：25個(gè)氣球，平均分給6個(gè)同學(xué)，每人分得幾個(gè)，還剩幾個(gè)？先讓學(xué)生讀懂題意，用數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換成符合題意的數(shù)量關(guān)系和解題思路：把總數(shù)25個(gè)氣球平均分，分成的份數(shù)是6，得到的每份數(shù)是4個(gè)，還剩1個(gè)。

課本82頁第6題解決實(shí)際問題（如下圖）。

這是關(guān)于求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)是多少的連續(xù)兩問的實(shí)際問題，學(xué)生列式解答以后，需要讓他們連貫地說說解決問題的思路，每一步算的是什么，第二步算式是如何利用第一步計(jì)算得數(shù)的。引導(dǎo)學(xué)生組織語言：先根據(jù)二年級(jí)修補(bǔ)254本圖書和一年級(jí)比二年級(jí)少修補(bǔ)69本，求出一年級(jí)修補(bǔ)多少本；再根據(jù)求出的一年級(jí)修補(bǔ)的本數(shù)和二年級(jí)修補(bǔ)254本圖書，求出兩個(gè)年級(jí)一共修補(bǔ)多少本。

在教學(xué)中，老師適當(dāng)點(diǎn)撥，幫助學(xué)生逐步規(guī)范地運(yùn)用數(shù)學(xué)語言，讓學(xué)生有根、有據(jù)、有序地口述解題思路， 表達(dá)數(shù)量關(guān)系。課堂上學(xué)生你一言，我一語，不僅調(diào)動(dòng)了他們的學(xué)習(xí)積極性，使教師能及時(shí)獲得反饋信息，了解學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握的程度，更能促進(jìn)學(xué)生舉一反三，觸類旁通，面對(duì)不同形式的問題，不會(huì)束手無策，而是能熟練運(yùn)用策略、駕馭策略。

三、走進(jìn)生活，突破模型解決實(shí)際問題

數(shù)學(xué)源于生活，又廣泛地用于生活。讓數(shù)學(xué)模型回歸生活，將現(xiàn)實(shí)生活材料當(dāng)作問題來解決，能激發(fā)學(xué)生研究問題的興趣，更能拓展模型的外延，突破模型化的思維定式，有效地打破套型解題的弊端。

教材十分重視在具體的生活情境中，利用余數(shù)意義去解決實(shí)際問題。書中第7頁，練習(xí)一第9、10題。都是通過連續(xù)發(fā)問的形式重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生靈活選擇算法、靈活處理余數(shù)。引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)際來解決問題。30張紙，每4張紙做一個(gè)燈籠，可以做幾個(gè)燈籠，還剩幾張紙？這些紙夠做8個(gè)燈籠嗎？45個(gè)皮球，每6個(gè)裝一盒，可以裝幾盒，還剩幾個(gè)？如果全部裝入盒中，至少需要多少個(gè)盒子？兩個(gè)后續(xù)追問都需要聯(lián)系實(shí)際，或是去掉余數(shù)，商增加1，或是去掉余數(shù)，商不變。兩條練習(xí)有效地訓(xùn)練學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況和問題來判斷是把余數(shù)“進(jìn)一”還是“去尾”，進(jìn)一步感受了余數(shù)的應(yīng)用價(jià)值，形成思維模型的突破，避免了簡單的模仿。

教材80頁最后一題是拓展練習(xí)（見圖）

首先鼓勵(lì)學(xué)生用不同的方法分析題中的數(shù)量關(guān)系，然后組織學(xué)生討論與交流，充分展示學(xué)生中各種不同的解題策略。例如，學(xué)生聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，可以想到：看一本同樣的故事書，剩下的頁數(shù)多，看的頁數(shù)就少；剩下的頁數(shù)少，看的頁數(shù)就多；剩下部分相差的頁數(shù)應(yīng)該等于已看部分相差的頁數(shù)。小芳看的頁數(shù)最多，小華看的頁數(shù)最少，兩人看的頁數(shù)相差：43-26=17（頁）。再如，可以先假設(shè)故事書的總頁數(shù)是100頁，這樣小明看的頁數(shù)是100-34=66（頁），小華看的頁數(shù)是100-43=57（頁），小芳看的頁數(shù)是100-26=74（頁）。所以，小芳看的頁數(shù)最多，小華看的頁數(shù)最少，兩人看的頁數(shù)相差74-57=17（頁）。這樣的訓(xùn)練開啟了學(xué)生的積極思維，有利于學(xué)生更多地關(guān)注生活中的數(shù)學(xué)問題，成為有數(shù)學(xué)頭腦的人。

本冊(cè)教材解決問題教學(xué)中，突出了模型的意義建構(gòu)。在實(shí)際運(yùn)用中，“操作建?！笔菑膶W(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，親身經(jīng)歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型的過程，為模型的拓展外延奠定基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)語言訓(xùn)練能有效地提升建模能力，深化知識(shí)層次；生活實(shí)際運(yùn)用是模型思想內(nèi)化并形成靈活運(yùn)用能力的必需途徑，是突破思維定式的利器。

（組稿：韋波富 編輯：胡 璐）