田家林，吳波，伍開松，趙攀

（1.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500；2.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

砂巖泊松比函數(shù)的提出及研究

田家林1，2，吳波1，伍開松1，趙攀1

（1.西南石油大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，四川 成都 610500；2.西南交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610031）

泊松比是一個重要的材料屬性參數(shù)，它反映了材料在受載情況下橫向變形和縱向變形之比，有明確的物理意義。但巖石的泊松比相對金屬而言有其特殊性，巖石的泊松比不是定值，而金屬的泊松比是定值，故巖石泊松比的變化規(guī)律值得深入研究。文中以南充砂巖和武勝砂巖2種巖樣為例進(jìn)行了巖石三軸壓縮實驗，分析處理了實驗數(shù)據(jù)，提出了泊松比函數(shù)概念，并且推導(dǎo)出了泊松比函數(shù)公式，得到了泊松比函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)泊松比、峰值泊松比以及最大泊松比之間的關(guān)系，分析了泊松比函數(shù)中的各個材料參數(shù)的物理意義。泊松比函數(shù)很好地解釋了巖石在受力變形過程中的一些物理現(xiàn)象，具有實際的力學(xué)研究意義。

彈性常數(shù)；三軸壓縮實驗；泊松比函數(shù)；標(biāo)準(zhǔn)泊松比

0 引言

巖石力學(xué)參數(shù)研究是巖石工程的一個重要課題，可為巖石質(zhì)量評價、破壞方式、類型性質(zhì)判別，以及巖體或建筑物穩(wěn)定性分析提供不可或缺的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)［1］。泊松比是材料屬性參數(shù)中一個非常重要的彈性常量，自從其概念提出后，很快就被廣泛應(yīng)用于力學(xué)中了。S.D. Poisson［2］1829年在自己的回憶錄中，首次提出了彈性常數(shù)1/4可以作為泊松比的預(yù)測值。R.S.Lakes［3］1987年制備出了泊松比為-0.7的聚氨酯泡沫，泊松比材料的研究進(jìn)入一個快速發(fā)展的階段。K.E.Evan等［4］進(jìn)一步總結(jié)了具有負(fù)泊松比的材料和結(jié)構(gòu)。

后來，泊松比被引進(jìn)到了巖石力學(xué)研究之中。國際巖石力學(xué)學(xué)會定義的泊松比是在比例極限范圍內(nèi)材料的橫向變形和縱向變形之比，但在比例極限范圍內(nèi)研究巖石泊松比很受限制，因此，許多學(xué)者［5-9］對其進(jìn)行了擴(kuò)展，用以研究巖石的損傷、破裂和斷裂。Q.Wang等［10］發(fā)現(xiàn)了泊松比和圍壓之間的關(guān)系，并且利用激光脈沖間接測量得出了圍壓狀態(tài)下的泊松比，推導(dǎo)得出了標(biāo)準(zhǔn)泊松比和圍壓之間的函數(shù)關(guān)系。他們發(fā)現(xiàn)泊松比在200 MPa圍壓下是一個逐漸增大的值，大于200 MPa時幾乎是個定值；但并沒有深入研究不同圍壓狀態(tài)下除比例極限之外巖石各變形階段的泊松比。劉斌等［11］也利用類似的方法對不同圍壓下巖石泊松比的各向異性進(jìn)行研究。王學(xué)濱［12］對巖樣單軸壓縮峰值后泊松比理論進(jìn)行了研究，首次接觸到了除比例極限外的泊松比，但也并未深入研究下去。

潘華等［13］對原狀海洋土動泊松比進(jìn)行了循環(huán)三軸及循環(huán)扭剪實驗，得到土體固結(jié)圍壓和固結(jié)應(yīng)力比對動泊松比的影響，但并未對土體各個受力變形階段泊松比的變化規(guī)律進(jìn)行深入研究，僅僅探討了不同剪切應(yīng)變下的泊松比變化規(guī)律。黃興建等［14］對粉砂質(zhì)泥巖和泥質(zhì)粉砂巖進(jìn)行了三軸循環(huán)載荷實驗，發(fā)現(xiàn)在圍壓很低的情況下，動泊松比與動壓力有一定關(guān)系，但是同樣沒有考慮巖石受力變形的整個階段。C.W.Smith等［15］依據(jù)實驗數(shù)據(jù)解釋了高度非線性材料的泊松比，提出用泊松比函數(shù)解釋拉脹材料出現(xiàn)泊松比負(fù)值的現(xiàn)象，指出波動比函數(shù)是材料瞬時行為的一種度量方法，但研究的材料僅限于受軸向載荷的情況，有一定局限性。

為了更好地研究巖石在實際受載變形全程中的泊松比變化規(guī)律，本文利用南充砂巖和武勝砂巖2種巖樣進(jìn)行了三軸圍壓實驗，提出泊松比函數(shù)的概念。根據(jù)常規(guī)巖石受力變形分段研究的方法，將泊松比函數(shù)分段表示，表征巖石的不同受力變形階段，結(jié)合實驗數(shù)據(jù)擬合出了泊松比函數(shù)的實際表達(dá)式。泊松比函數(shù)反映巖石在開始受載到破壞的整個過程中泊松比數(shù)值的變化規(guī)律，可利用其解釋巖石在加載和破壞的過程中一些物理現(xiàn)象。

1 實驗及概念定義

1.1 實驗方案

采用三軸圍壓測試設(shè)備，對30 MPa下的南充砂巖和武勝砂巖2種巖樣進(jìn)行三軸壓縮實驗，并實時記載巖石的整個加載過程。實驗裝置主要記錄加載過程中的軸向主應(yīng)力、主應(yīng)變及側(cè)向主應(yīng)變。巖石力學(xué)測試實驗設(shè)備為美國GCTS公司RTR-1000型動三軸巖石力學(xué)測試系統(tǒng)。該系統(tǒng)最大軸向壓力1 000 kN，最大圍壓140 MPa，孔隙壓力140 MPa，溫度150°C，實驗控制各參數(shù)精度 （壓力0.01 MPa，液體密度0.9 g/cm3，變形0.001 mm）。壓力室內(nèi)上下承壓板硬度不低于HRC58，不平行度小于0.02 mm的測量精度，加載范圍滿足：

式中：p0為材料實驗機(jī)度盤最大值，N；pmax為預(yù)計試件的最大破壞載荷，N。

實驗所用巖樣為圓柱體試件，其表觀參數(shù)為直徑50 mm±1 mm，高徑比2.0±0.2。試樣兩端面不平行度不超過0.1 mm。將試件安裝于巖石力學(xué)測試系統(tǒng)，逐步加載，采集與載荷、位移和應(yīng)變測試器連接的計算機(jī)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的實驗數(shù)據(jù)。

1.2 實驗結(jié)果

基于上述實驗平臺，利用計算機(jī)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)采集到的實驗數(shù)據(jù)考察泊松比變化規(guī)律。提取出巖樣從開始受載到破壞的整個過程中的徑向應(yīng)變ε2，ε3和軸向應(yīng)變ε1，計算泊松比ν。本文選取了巖石受力變形各個階段樣品點30個，可以準(zhǔn)確表示巖石的受力狀態(tài)。南充砂巖和武勝砂巖在30 MPa圍壓下，各個變形階段中部分典型特征點的軸向和徑向應(yīng)變見表1、表2。

表1 圍壓30 MPa下南充砂巖泊松比

表2 圍壓30 MPa下武勝砂巖泊松比

同時，借助于南充砂巖和武勝砂巖應(yīng)力應(yīng)變圖，依照分段思想討論巖石受力變形的各個階段。根據(jù)應(yīng)力應(yīng)變圖中各個階段分界點的軸向應(yīng)變，將泊松比曲線進(jìn)行分段處理。將實驗數(shù)據(jù)分別進(jìn)行處理并繪圖，可以得到圍壓30 MPa下南充砂巖和武勝砂巖泊松比變化（見圖1）。

圖1 圍壓30 MPa下砂巖泊松比變化

由圖1可以看出，泊松比從壓密階段逐漸增大直到彈性階段，但壓密階段相對來說持續(xù)時間較短。壓密階段泊松比迅速增大，在實際巖石力學(xué)分析中的意義不大。南充砂巖和武勝砂巖泊松比在加載全程的變化規(guī)律大致類似，但在各個階段持續(xù)的時間不同，泊松比變化快慢不一樣。南充砂巖和武勝砂巖彈性階段的波動相差不大。南充砂巖的塑性變形階段較武勝砂巖長，泊松比增長相對慢，但武勝砂巖峰后軟化變形階段比南充砂巖峰后軟化階段持續(xù)時間更長。

之所以南充砂巖和武勝砂巖在受力變形過程中泊松比不同，主要是2種巖石的致密性不同，各自組分存在差異，2種巖石形成機(jī)理不同。在進(jìn)行三軸圍壓實驗時，由于巖石內(nèi)部結(jié)構(gòu)的不同，巖石受力時的軸向變形和徑向變形不一樣，導(dǎo)致計算出來的泊松比不同。一般而言，不同巖石的泊松比不同。

1.3 結(jié)果分析

圖2為常見三軸壓縮實驗應(yīng)力應(yīng)變示意圖，4個變形階段分別為壓密、彈性、塑性和峰后軟化階段。

圖2 典型三軸壓縮實驗應(yīng)力應(yīng)變示意

從表1得出，南充砂巖全程平均泊松為0.388，而彈性階段（一般指比例階段）的泊松比為0.233。因此，南充巖石在壓密階段泊松比很小，值得說明的是，壓密階段巖石內(nèi)部孔隙迅速閉合，巖石變形較大，該階段的泊松比不具有通用性；在彈性階段，泊松比保持在0.230左右，基本趨于穩(wěn)定，這就是標(biāo)準(zhǔn)的泊松比；在塑性階段，泊松比上升較快，而且明顯大于彈性階段；在峰后階段，泊松比會快速增大，直至0.973，此處需要說明的是，峰后階段巖石試樣已經(jīng)處于高損傷、準(zhǔn)破壞狀態(tài)?？梢钥闯觯瑤r石在圍壓作用下泊松比是一個不斷增大的值，這個規(guī)律和上文的討論結(jié)果保持一致，這也充分說明用巖石彈性階段的平均泊松比在力學(xué)應(yīng)用中作為整個過程的變形參數(shù)是不太合理的。

從表2可以看出，武勝砂巖壓密階段持續(xù)時間很短，并且泊松比數(shù)值都是在0.200以下。圍壓30 MPa武勝砂巖的平均泊松比為0.387，而彈性階段的平均泊松比約為0.217。塑性階段是泊松比的增長期，但峰值前的增長還是相對比較慢；峰后軟化階段，泊松比會快速增大，增加至1.231。此處需要說明的是，根據(jù)實驗材料和條件的不同，各類巖石的最大泊松比一般都不相同。

綜上所述，巖石在壓縮變形的整個過程中，泊松比的變化是很大的，但目前只見王學(xué)濱［12］對巖樣單軸壓縮峰值后泊松比理論進(jìn)行過研究。

2 泊松比函數(shù)的提出

在三軸壓縮實驗條件下，巖石泊松比的變化規(guī)律可以從物理意義上解釋。巖石試樣在受壓初期屬壓密階段，此時巖石內(nèi)部的孔隙和裂縫會產(chǎn)生閉合，側(cè)向變形較小，泊松比幾乎趨于0，且壓密階段相對其他階段較短，對整體影響不大；繼續(xù)加載，巖石會發(fā)生彈性變形，此階段巖石內(nèi)部幾乎沒有孔隙，這一階段的變形和金屬在彈性范圍內(nèi)的變形很相近，可以認(rèn)為其泊松比是個定值，但巖石顆粒間的黏聚力相對比較小，所以泊松比也會略有增加；塑性變形階段，巖石試樣內(nèi)部裂紋從萌生到增長，剛度減小，此時泊松比可以反映軸向和側(cè)向應(yīng)力及位移的關(guān)系；當(dāng)繼續(xù)加載時，巖石出現(xiàn)宏觀裂紋，并且裂紋延伸至表面，其內(nèi)部顆粒之間的摩擦和黏聚力就會變小，剛度急劇下降，導(dǎo)致其泊松比會急劇增大。

由圖1可以看出，峰后軟化階段和塑性階段曲線變化很陡峭，這也正好可以反映峰值處是巖石內(nèi)部開始破壞的一個分割點。

以上分析表明，巖石的泊松比是個變化很大的數(shù)值，之前的學(xué)者將其作為定值研究是存在很大誤差的。筆者依據(jù)上述分析認(rèn)為，巖石的實際泊松比與范圍變量、標(biāo)準(zhǔn)泊松比、峰值處的泊松比及最大泊松比存在著某種函數(shù)關(guān)系，其定義為

式中：ν*為實際泊松比，即三軸圍壓狀態(tài)下巖石的泊松比；νs為標(biāo)準(zhǔn)泊松比，即平常測量的恒定泊松比；νp為峰值處的泊松比；νmax為三軸圍壓狀態(tài)下最大的泊松比；x為大于0的變量。

研究圖1曲線發(fā)現(xiàn)，巖石的泊松比變化規(guī)律可以進(jìn)一步用函數(shù)來近似表示，以便更精確地應(yīng)用于巖石力學(xué)中。函數(shù)表達(dá)式為

式中：A，B，C，D，E，F(xiàn)，G為一系列無量綱參數(shù)，用于擬合數(shù)據(jù)得到巖石泊松比具體表達(dá)式；0＜x≤1為壓密階段，1＜x≤2為彈性階段，2＜x≤3為塑性階段，3＜x≤4為峰后軟化階段。

3 泊松比函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式

3.1 南充砂巖

由圖1可以看出：在壓密階段，泊松比幾乎是一個線性函數(shù)，而νs=0.233，因此，可以確定出式（3）中A= 0.233；在彈性階段，泊松比近似為一個常數(shù)，所以B= 0.233；而在塑性階段，泊松比函數(shù)呈幾何非線性增長，因此，需要進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合求出C和D。

由表1實驗數(shù)據(jù)可知，νp=0.829，νs=0.217。將南充砂巖塑性階段的實驗數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab中，根據(jù)式（3）選擇合適的函數(shù)，采用最小二乘法和冪函數(shù)應(yīng)用法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合。擬合出來的數(shù)值為C=0.343，D=0.492，E= 2.387。塑性階段的泊松比函數(shù)表達(dá)式為

同理，將南充砂巖峰后軟化階段的實驗數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab中，選擇線性函數(shù)擬合，擬合出來的數(shù)值F= 0.829，G=0.144。峰后軟化階段巖石的泊松比函數(shù)表達(dá)式為

綜上所述，南充砂巖的泊松比函數(shù)式為

由于塑性階段是重點研究對象，將塑性階段擬合出來的泊松比函數(shù)曲線與實際泊松比函數(shù)對比，結(jié)果見圖3。由圖可見，擬合出來的曲線與實際曲線相近。

圖3 南充砂巖塑性階段泊松比實驗值和理論值

3.2 武勝砂巖

同理，將表2中數(shù)據(jù)導(dǎo)入Matlab中，按照前文所述南充砂巖的數(shù)據(jù)處理方式，選擇式（3）的函數(shù)形式來擬合數(shù)據(jù)，可以得到武勝砂巖的函數(shù)表達(dá)式為

擬合出塑性階段的泊松比曲線，與實際塑性階段泊松比曲線對比結(jié)果見圖4?？梢钥闯鰞烧吆芟嘟?，說明擬合出的函數(shù)有較好的實用性。

圖4 武勝砂巖塑性階段泊松比實驗值和理論值

4 泊松比函數(shù)對巖石試樣破壞的解釋

砂巖泊松比函數(shù)的統(tǒng)一表達(dá)式（式（6）、式（7））已經(jīng)求出了各個參數(shù)的具體數(shù)值，擬合出來的方程和實驗測量出來的數(shù)值非常吻合，由此可以說明筆者提出來的泊松比函數(shù)是正確的。

從圖1泊松比的變化可以推理出：在壓密階段，巖石試樣只是孔隙閉合，并沒有發(fā)生破壞，此階段泊松比函數(shù)呈線性增長，反映了橫向和縱向的變化逐漸增大，且呈現(xiàn)比例關(guān)系。從壓密階段到彈性階段，A=B，可以看出其壓縮過程的連續(xù)性。在彈性階段，巖石內(nèi)部孔隙為0，近似于金屬的比例壓縮階段，泊松比波動變化不大，相對穩(wěn)定。塑性階段是本文研究泊松比函數(shù)的重點，在該階段，巖石的應(yīng)力應(yīng)變曲線呈現(xiàn)非線性、冪函數(shù)趨勢，巖石內(nèi)部孔隙和裂紋萌生，損傷比較明顯，E約為2.000（南充砂巖為2.387，武勝砂巖為1.746），說明塑性階段泊松比函數(shù)呈二次函數(shù)增長趨勢，即后一點總比前一點損傷嚴(yán)重。對于不同類型的巖石，E越大，表明破壞越快。在峰后軟化階段，泊松比函數(shù)呈現(xiàn)線性增長，并且數(shù)值都比較大，說明這一階段巖石已經(jīng)高度損傷或破壞。

據(jù)此可知，泊松比函數(shù)中的某些參數(shù)能說明巖石的性質(zhì)，泊松比函數(shù)也能說明巖石破壞的規(guī)律。

5 結(jié)論

1）巖石的泊松比是隨著載荷的增加而不斷變化的，本文首次提出了泊松比函數(shù)的概念，并根據(jù)巖石受載變化特征用分段函數(shù)來表示泊松比函數(shù)。通過對實驗過程和實驗數(shù)據(jù)分析，確定了泊松比函數(shù)的具體表達(dá)式。

2）研究發(fā)現(xiàn)：巖石壓密階段的泊松比滿足線性變化規(guī)律；彈性階段的泊松比趨于一個常數(shù)，相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)泊松比；塑性階段的泊松比呈冪函數(shù)變化規(guī)律；峰后軟化階段的泊松比呈現(xiàn)快速線性增長規(guī)律，直至巖石被破壞。

3）通過對泊松比函數(shù)表達(dá)式中的參數(shù)分析，發(fā)現(xiàn)泊松比函數(shù)能反映巖石在不同階段的損傷和破壞規(guī)律。

4）建議對其他類型的巖石進(jìn)行分析，尋求泊松比函數(shù)在巖石力學(xué)中普遍適用的規(guī)律，同時探討多種圍壓條件下泊松比的變化規(guī)律。

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（編輯 王淑玉）

Proposition and research on rock′s Poisson′s ratio function

TIAN Jialin1，2,WU Bo1,WU Kaisong1,ZHAO Pan1
(1.School of Mechatronic Engineering,Southwest Petroleum University,Chengdu 610500,China;2.School of Mechanical Engineering,Southwest Jiaotong University,Chengdu 610031,China)

Poisson′s ratio,which reflects the deformation ratio of material′s transverse and longitudinal deformations under load conditions,is a very important material parameter of material properties,and it has a clear physical meaning.However,compared with metals,rock′s Poisson′s ratio is not a constant,and its change law is worthy of further studying.Based on the triaxial compression tests on Nanchong and Wusheng sandstones,this paper proposes the concept and formula of Poisson′s ratio function. The relationship between Poisson′s ratio function and standard Poisson′s ratio and the relationship between the Poisson′s ratio at the peak and the maximal Poisson′s ratio are obtained.Finally,the physical meanings of all material parameters in Poisson′s ratio function are analyzed.Poisson′s ratio function explains physical phenomena in the rock deformation process,which has some practical significance.

elastic constant;triaxial compression test;Poisson′s ratio function;standard Poisson′s ratio

國家自然科學(xué)基金項目“單次沖擊加卸載后巖石的全程動態(tài)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系研究與應(yīng)用”（51174173）

TE12；P634.1

：A

10.6056/dkyqt201701005

2016-07-03；改回日期：2016-11-26。

田家林，男，1979年生，副教授，博士，主要從事機(jī)械設(shè)計及理論、井下工具、鉆井動力學(xué)及理論研究。E-mail：tianjialin001@gmail.com。

田家林，吳波，伍開松，等.砂巖泊松比函數(shù)的提出及研究［J］.斷塊油氣田，2017，24（1）：21-25.

TIAN Jialin，WU Bo，WU Kaisong，et al.Proposition and research on rock′s Poisson′s ratio function［J］.Fault-Block Oil&Gas Field，2017，24（1）：21-25.