樊繼豪 陳漢武,2 李榮貴

(1東南大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 211189)(2東南大學(xué)計算機網(wǎng)絡(luò)和信息集成教育部重點實驗室, 南京 211189)

非對稱量子乘積-張量積碼

樊繼豪1陳漢武1,2李榮貴1

(1東南大學(xué)計算機科學(xué)與工程學(xué)院, 南京 211189)(2東南大學(xué)計算機網(wǎng)絡(luò)和信息集成教育部重點實驗室, 南京 211189)

針對絕大多數(shù)量子信道模型中發(fā)生量子比特翻轉(zhuǎn)錯誤概率遠小于發(fā)生量子相位翻轉(zhuǎn)錯誤概率這一非對稱的物理現(xiàn)象,基于經(jīng)典乘積碼與張量積碼構(gòu)造了非對稱量子乘積-張量積碼. 利用經(jīng)典乘積碼來糾正量子比特翻轉(zhuǎn)錯誤,利用經(jīng)典張量積碼來糾正量子相位翻轉(zhuǎn)錯誤.當2個組成子碼皆滿足對偶包含條件時,經(jīng)典乘積碼與張量積碼滿足對偶包含條件．基于3類滿足對偶包含條件的經(jīng)典糾錯碼,構(gòu)造了具有新的參數(shù)非對稱量子糾錯碼. 結(jié)果表明,該類非對稱量子乘積-張量積碼具有顯著的非對稱性．通過與已存在的非對稱量子糾錯碼對比可以發(fā)現(xiàn),所構(gòu)造的部分非對稱量子乘積-張量積碼的參數(shù)優(yōu)于其他已知的非對稱量子糾錯碼.

量子糾錯碼;非對稱量子糾錯碼;乘積碼;張量積碼

在量子計算與量子通信過程中, 量子系統(tǒng)和外部環(huán)境之間不可避免地會產(chǎn)生交互作用, 導(dǎo)致量子系統(tǒng)的相干性嚴重衰減, 產(chǎn)生量子消相干效應(yīng). 量子消相干效應(yīng)所造成的量子噪聲干擾是量子信息處理過程中所面臨的一大主要障礙. 為了保護量子信息、對抗量子消相干效應(yīng)以及其他量子噪聲影響, 學(xué)者們通過借鑒經(jīng)典糾錯碼的冗余糾錯思想, 提出了量子糾錯碼理論[1].量子穩(wěn)定子碼構(gòu)造理論[2]則提供了由經(jīng)典加性碼構(gòu)造量子碼的統(tǒng)一構(gòu)造框架.

在絕大多數(shù)的量子力學(xué)系統(tǒng)中,量子錯誤發(fā)生概率具有顯著的非對稱性,發(fā)生量子比特翻轉(zhuǎn)錯誤(X類型錯誤)的概率遠小于發(fā)生量子相位翻轉(zhuǎn)錯誤(Z類型錯誤)的概率. 為了在量子糾錯過程中考慮這種非對稱性,提出了非對稱量子糾錯碼的概念[3].

經(jīng)典乘積碼[4]通過對2個經(jīng)典線性碼的生成矩陣進行張量積運算,將所得矩陣作為經(jīng)典乘積碼的生成矩陣.利用乘積碼的構(gòu)造方法來構(gòu)造最小距離很大的線性碼.利用基于軟輸入/軟輸出的Chase行/列迭代譯碼器,乘積碼可以逼近香農(nóng)界[5]. 張量積碼則是利用2個線性碼的校驗矩陣進行張量積運算,將運算后所得矩陣作為張量積碼的校驗矩陣,具有糾正多個突發(fā)錯誤的能力[6]. Grassl等[7]基于張量積碼構(gòu)造了量子分組碼與量子卷積碼;La Guardia[8]基于經(jīng)典Reed-Solomon碼的乘積碼構(gòu)造了非對稱量子乘積碼.

本文基于乘積碼與張量積碼構(gòu)造了非對稱量子碼. 經(jīng)典乘積碼具有大的最小距離,用于糾正Z類型錯誤;經(jīng)典張量積碼具有較高的維數(shù),用于糾正X類型錯誤.

1 基本概念

1.1 非對稱量子糾錯碼

記C為復(fù)數(shù)域,對于正整數(shù)n, 記Vn=(Cq)?n=Cqn為復(fù)數(shù)域Cq的n次張量積,對非對稱量子碼進行如下定義.

定義1 記碼長為n的q元非對稱量子碼為Q=[[n,k,dz/dx]]q,那么Q為有限域Fq上希爾伯特空間Cqn的一個qk維子空間,它能夠同時糾正(dx-1)/2個量子比特翻轉(zhuǎn)錯誤和(dx-1)/2個量子相位翻轉(zhuǎn)錯誤.

文獻[3]給出了利用經(jīng)典線性碼來構(gòu)造非對稱量子碼的結(jié)論.

進一步,如果dz=wt(C2),dx=wt(C1),那么Q為純碼.

1.2 經(jīng)典乘積碼與張量積碼

經(jīng)典乘積碼通過對2個經(jīng)典線性碼的生成矩陣做張量積運算,將所得矩陣作為乘積碼的生成矩陣. 令D1與D2表示參數(shù)分別為[n1,k1,d1]q與[n2,k2,d2]q的線性碼,并且D1,D2的生成矩陣分別為G1,G2,則D1與D2的乘積碼為

P=D1?D2

P的生成矩陣GP為G1與G2的張量積矩陣,即GP=G1?G2

乘積碼P的參數(shù)為[n1n2,k1k2,d1d2]q,其編碼結(jié)構(gòu)見圖1.

圖1 乘積碼P=D1?D2的編碼結(jié)構(gòu)

令D1與D2的校驗矩陣分別為H1與H2,則乘積碼P=D1?D2的校驗矩陣為

式中,A1為k1×n1的矩陣,并且與H1張成整個向量空間;A2為k2×n2的矩陣,并且與H2張成整個向量空間.

乘積碼的解碼過程如下:假定乘積碼P根據(jù)圖1所示的編碼結(jié)構(gòu)進行編碼,并且按行傳輸.在接收端,收到的長度為n1n2的信息比特被重新按行排列為n1×n2的陣列結(jié)構(gòu),譯碼按照行/列譯碼的原則,即先進行行譯碼再進行列譯碼,并且可以迭代進行行/列譯碼,以增強譯碼效果.譯碼復(fù)雜度為分別進行行譯碼與列譯碼的復(fù)雜度之和,因此譯碼效率較高.

張量積碼則是利用2個線性碼的校驗矩陣做張量積運算,將所得矩陣作為張量積碼的校驗矩陣.D1與D2的張量積碼為

T=D1?hD2

張量積碼T的校驗矩陣為H1與H2的張量積,即

HT=H1?H2

T的參數(shù)為[n1n2,n1n2-ρ1ρ2,min {d1,d2}]q,其中,ρ1=n1-k1與ρ2=n2-k2分別為D1與D2的校驗位數(shù).

2 非對稱量子乘積碼-張量積碼的構(gòu)造

由定理1可知,非對稱量子碼構(gòu)造的關(guān)鍵在于尋找2個滿足對偶包含條件的經(jīng)典碼. 由乘積碼與張量積碼的校驗矩陣形式可知,如果其組成子碼皆滿足對偶包含條件,那么乘積碼與張量積碼亦滿足對偶包含條件.

因此,乘積碼P與張量積碼T是對偶包含的. 證畢.

如果D1與D2分別具有糾正l1與l2個突發(fā)錯誤的能力,那么由文獻[4]可知,乘積碼P=D1?D2具有糾正max(n1l2,n2l1)個突發(fā)錯誤的能力;由文獻[6]可知,張量積碼具有糾正l1個突發(fā)錯誤子塊的能力. 證畢.

2.1 非對稱量子乘積-張量積Hamming碼

文獻[9]基于經(jīng)典Hamming碼構(gòu)造了一類乘積碼,該類乘積碼在進行基于迭代的Turbo譯碼時可以逼近香農(nóng)界.下面利用滿足對偶包含條件的Hamming碼來構(gòu)造非對稱量子乘積-張量積Hamming碼.

表1列出了二元域(q=2)下m1與m2取值不同時所構(gòu)造出的部分二元非對稱量子乘積-張量積Hamming碼.

表1 非對稱量子乘積-張量積Hamming碼

2.2 非對稱量子乘積-張量積BCH碼

文獻[5]基于BCH碼構(gòu)造了乘積碼,該類乘積碼在進行基于軟輸入/軟輸出的Chase行/列迭代譯碼時可以逼近香農(nóng)界. 下面利用對偶包含BCH碼構(gòu)造非對稱量子乘積-張量積碼．為了簡單起見,此處僅考慮基于狹義本原BCH碼的非對稱量子乘積-張量積BCH碼的構(gòu)造.

令F1與F2分別表示設(shè)計距離為δ1與δ2的狹義本原BCH碼,其參數(shù)分別為[n1,k1,δ1]q與[n2,k2,δ2]q,其中n1=qm1-1,n2=qm2-1,k1=n1-m1(δ1-1)(1-1/q),k2=n2-m2(δ2-1)(1-1/q),設(shè)計距離滿足如下條件:

δ1≤qm1/2-1-(q-2)m1為奇數(shù)

δ2≤qm2/2-1-(q-2)m2為奇數(shù)

冗余位數(shù)分別為

ρ1=m1(δ1-1)(1-1/q)

ρ2=m2(δ2-1)(1-1/q)

表2列出了F1=F2時基于對偶包含BCH碼所構(gòu)造出的部分非對稱量子乘積-張量積BCH碼.

表2 非對稱量子乘積-張量積BCH碼

2.3 非對稱量子乘積-張量積MDS碼

文獻[11-12]基于各類經(jīng)典MDS碼構(gòu)造了大量新的碼長稀疏的量子MDS碼. 下面基于對偶包含MDS碼來構(gòu)造非對稱量子乘積-張量積MDS碼.

由定理2可知,構(gòu)造非對稱量子乘積-張量積MDS碼的關(guān)鍵是尋找2個滿足對偶包含條件的經(jīng)典MDS碼. 令L1與L2分別表示參數(shù)為[n1,k1,d1]q與[n2,k2,d2]q并且滿足對偶包含條件的q元經(jīng)典MDS碼,其中k1=n1-d1+1,k2=n2-d2+1,3≤n1,n2≤q+1,2≤d1≤n1/2+1,2≤d2≤n2/2+1. 因此,存在參數(shù)為[[n1n2,k1k2-(d1-1)(d2-1),d1d2/min{d1,d2}]]q的非對稱量子乘積-張量積MDS碼.

表3列出了L1=L2時基于對偶包含MDS碼所構(gòu)造出的部分非對稱量子乘積-張量積MDS碼.

2.4 結(jié)果分析與對比

文獻[2]基于量子Hamming碼[[7,1,3]]構(gòu)造出級聯(lián)量子碼[[49,1,9]];文獻[13]將該類碼應(yīng)用于容錯量子計算中,以保護量子邏輯門免受噪聲干擾．與[[49,1,9]]級聯(lián)量子碼相比,本文表1中構(gòu)造的非對稱量子乘積-張量積碼[[49,7,9/3]]具有更高的碼率,同時具有和[[49,1,9]]相同的糾正Z類型錯誤的能力．

表3 非對稱量子乘積-張量積MDS碼

表3中的非對稱量子乘積-張量積碼[[49,21,9/3]]8與[[100,60,9/3]]11分別優(yōu)于文獻[8]中的非對稱量子碼[[49,16,9/3]]8與[[100,55,9/3]]11．表3中的非對稱量子乘積-張量積碼的[[100,60,9/3]]9,[[100,60,9/3]]11與[[121,77,9/3]]11分別優(yōu)于文獻[14]中的[[100,50,9/3]]9,[[100,50,9/3]]11與[[121,11,9/3]]11．

3 結(jié)語

結(jié)合經(jīng)典乘積碼與張量積碼提出了非對稱量子乘積-張量積碼的構(gòu)造方法,并且根據(jù)3類滿足對偶包含條件的經(jīng)典糾錯碼構(gòu)造了具有新的參數(shù)非對稱量子糾錯碼. 非對稱量子乘積-張量積碼充分考慮了乘積碼與張量積碼在最小距離方面的非對稱性,并利用各自的優(yōu)勢來分別糾正Z類型錯誤與X類型錯誤,能夠適應(yīng)量子信道的非對稱性. 所構(gòu)造的部分非對稱量子乘積-張量積碼的參數(shù)優(yōu)于其他已知的非對稱量子碼.如何基于軟輸入/軟輸出進行非對稱量子乘積-張量積碼的迭代譯碼需要進一步研究.

References)

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Asymmetric quantum product and tensor product codes

Fan Jihao1Chen Hanwu1,2Li Ronggui1

(1School of Computer Science and Engineering, Southeast University, Nanjing 211189, China) (2Key Laboratory of Computer Network and Information Integration of Ministry of Education, Southeast University, Nanjing 211189, China)

To solve the physical phenomenon that the probability of the quantum qubit-flipping errors is much less than that of the phase-flipping errors in many quantum channel models, the asymmetric quantum error-correcting codes (AQECCs), called as asymmetric quantum product and tensor product codes, are constructed based on classical product codes and tensor product codes. The product codes are used to correct the qubit-flipping errors and the tensor product codes are used to correct the phase-flipping errors. If the two component codes satisfy the dual containing conditions, then the resultant product codes and tensor product codes satisfy the dual containing conditions. A new class of AQECCs is constructed based on three classes of classical error-correcting codes satisfying the dual containing restrictions. The results show that that the proposed asymmetric quantum product and tensor product codes have obvious asymmetries. Compared with the known AQECCs, parts of the asymmetric quantum product and tensor product codes have better parameters than the known AQECCs.

quantum error-correcting code; asymmetric quantum error-correcting code; product code; tensor product code

第47卷第1期2017年1月 東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol．47No．1Jan．2017DOI：10．3969/j．issn．1001-0505．2017．01．004

2016-07-10. 作者簡介: 樊繼豪(1987—)，男，博士生；陳漢武(聯(lián)系人)，男，博士，教授，博士生導(dǎo)師，hw_chen@seu.edu.cn．

國家自然科學(xué)基金資助項目(61170321)、高等學(xué)校博士學(xué)科點專項科研基金資助項目(20110092110024)、江蘇省自然科學(xué)基金資助項目(BK20140823)、江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計劃資助項目(CXZZ13_0105).

樊繼豪,陳漢武,李榮貴.非對稱量子乘積-張量積碼[J].東南大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2017,47(1):18-22.

10.3969/j.issn.1001-0505.2017.01.004.

TN911

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1001-0505(2017)01-0018-05