孔民秀， 陳正升， 劉 明， 季 晨

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

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采用積分流形與觀測器的并聯(lián)機器人軌跡控制

孔民秀， 陳正升， 劉 明， 季 晨

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 機電工程學(xué)院， 哈爾濱 150001)

針對含柔性桿件并聯(lián)機器人在高速運行時其末端存在彈性位移問題，以3RRR并聯(lián)機器人為研究對象，提出一種基于積分流形與高增益觀測器的柔性并聯(lián)機器人軌跡跟蹤復(fù)合控制算法.基于剛度矩陣引入小參數(shù)，將剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型轉(zhuǎn)為慢速與快速兩個子系統(tǒng).針對慢速子系統(tǒng)，采用反演控制，實現(xiàn)對末端剛體運動的跟蹤控制，同時為避免桿件彈性變形與振動組成的彈性位移對機器人末端軌跡的影響，推導(dǎo)校正力矩，實現(xiàn)對彈性位移的補償.針對快速子系統(tǒng)，采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，保證流形成立.為避免對曲率變化率的直接測量，引入高增益觀測器對其進行估計.采用Lyapunov穩(wěn)定性原理證明系統(tǒng)整體穩(wěn)定性，并給出小參數(shù)上界.對提出的復(fù)合控制算法與奇異攝動及基于剛體動力學(xué)的反演控制算法進行仿真，從機器人末端振動抑制與軌跡跟蹤性能兩方面進行對比，驗證了本文所提算法的控制效果.

并聯(lián)機器人；積分流形；高增益觀測器；復(fù)合控制；滑?？刂疲环囱菘刂?；振動抑制

并聯(lián)機器人由于具有高精度、高剛度及大負載自重比等優(yōu)點，得到了廣泛關(guān)注，并已大量應(yīng)用于高速搬運、運動模擬與電子制造等行業(yè)中[1].為了降低成本并減小能耗，本體輕量化設(shè)計將是必然選擇.然而，在高速或重載運行場合，輕量化的機械本體將會產(chǎn)生明顯的彈性變形及振動，因而機器人末端運動由剛體運動及彈性變形與振動產(chǎn)生的彈性位移組成.采用傳統(tǒng)針對剛體機器人的控制方法將無法保證柔性機器人末端良好的跟蹤精度.

Dwivedy等[2]對含柔性桿件機器人動力學(xué)建模進行了綜述.由于桿件柔性的存在，當選擇機器人末端作為輸出時，系統(tǒng)將呈現(xiàn)非最小相位特性.文獻[3-5]將桿件彈性計及到機器人的末端位置進行輸出重定義，并采用針對剛體機器人的控制算法對新輸出進行控制;然而,該方法只能實現(xiàn)點位控制，不能保證對末端軌跡的跟蹤控制[6].奇異攝動是另外一種解決含彈性環(huán)節(jié)機器人非最小相位特性的有效方法，通過引入小參數(shù)對剛?cè)狁詈夏Ｐ瓦M行降階，將其分解為快慢兩個子系統(tǒng)，并采用復(fù)合控制算法設(shè)計兩個子系統(tǒng)控制器，實現(xiàn)了對剛體運動的控制及彈性振動的快速抑制；然而，隨著變形量的加大，奇異攝動算法顯現(xiàn)出了不足，同時該算法無法實現(xiàn)對彈性位移的補償[7-9].Khorasani[10]通過對快速子系統(tǒng)變量的高階逼近，提出了積分流形方法，使得振動抑制效果有了較大提高.通過將彈性位移引入機器人末端，并以此設(shè)計校正力矩，MOALLEM等[11]實現(xiàn)了兩自由度串聯(lián)機器人的軌跡跟蹤精確控制與振動抑制.在此基礎(chǔ)上，F(xiàn)otouhi等[12-16]通過簡化校正力矩的選擇，研究了柔性關(guān)節(jié)機器人、單桿柔性機器人、剛?cè)峄旌蠗U件機器人、兩桿柔性機器人軌跡跟蹤控制，并取得了良好效果.

由于閉鏈結(jié)構(gòu)的存在，考慮桿件柔性時并聯(lián)機器人模型較復(fù)雜，對其進行振動抑制與軌跡跟蹤控制的研究極為有限.

為解決高速并聯(lián)機器人因桿件柔性產(chǎn)生的彈性變形與振動問題，提高跟蹤精度與動態(tài)性能，本文將以前期研究的3RRR并聯(lián)機器人剛?cè)狁詈夏Ｐ蜑榛A(chǔ)[17]，基于小變形假設(shè)及速度映射關(guān)系描述動平臺彈性位移，通過積分流形將高階剛?cè)狁詈夏Ｐ娃D(zhuǎn)化為快慢兩個子系統(tǒng)，提出基于滑模變結(jié)構(gòu)控制與反演控制相結(jié)合的復(fù)合控制算法，引入高增益觀測器解決曲率變化率難于測量的問題，并開展仿真研究，對算法可行性進行驗證.

1 3RRR并聯(lián)機器人動力學(xué)模型

由文獻[17]可知，被動桿柔性可忽略，這里只考慮主動桿變形，可以表述為

(1)

圖1 3RRR并聯(lián)機器人

圖2 3RRR并聯(lián)機器人坐標系

2 基于積分流形的高速并聯(lián)機器人模型降階

根據(jù)動力學(xué)模型(1)，定義如下狀態(tài)變量[15]：

(2)

(3)

(4)

(5)

式(5)可解釋為，如果在時刻t*快速子系統(tǒng)變量到達積分流形軌跡，那么對于?t>t*時刻，該變量將始終保持在該流形軌跡上，為了保證上述條件的成立，在原控制系統(tǒng)中加入附加控制變量.

(6)

由于質(zhì)量陣的逆矩陣及科氏力與離心力項均為小變量ε的函數(shù)，泰勒展開中對小參數(shù)保留到二階，這里依然保留二階，忽略分母中小參數(shù)，逆矩陣關(guān)于ε的泰勒級數(shù)可表示為

(7)

方程(1)展開后的離心力與慣性力可表示為

(8)

將方程(6)～(8)代入方程(4)，可得

(9)

當不考慮桿件柔性，即小變量ε=0時，將h1帶入方程(3)，可得慢速子系統(tǒng)微分方程為

(10)

根據(jù)積分流形，快速子系統(tǒng)變量偏差可表示為

(11)

將式(11)乘ε，對其求導(dǎo)并代入方程(6)，同時根據(jù)方程(9)，對hij進行替代,得快速子系統(tǒng)方程：

(12)

針對慢速與快速兩個子系統(tǒng)，設(shè)計如圖3所示的復(fù)合控制算法.對于慢速子系統(tǒng)，將采用反演控制，實現(xiàn)對剛體末端運動的跟蹤控制，同時根據(jù)速度映射關(guān)系，建立桿件彈性變形及振動量與動平臺彈性位移的映射關(guān)系，根據(jù)剛體運動及彈性位移建立動平臺運動表達式，并通過設(shè)計校正力矩τ1與τ2實現(xiàn)對彈性位移補償.對于快速子系統(tǒng)將，采用滑?？刂?，保證流形成立.考慮到桿件曲率變化率難于測量，設(shè)計高增益觀測器，根據(jù)曲率值對曲率變化率進行估計.

圖3 復(fù)合控制框圖

3 基于反演算法的慢速子系統(tǒng)控制

反演控制是針對復(fù)雜非線性系統(tǒng)的遞推控制算法，將原系統(tǒng)分解為不超過系統(tǒng)階數(shù)的子系統(tǒng)，通過逐級建立各子系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)來設(shè)計控制率，同時保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性[19].首先定義位置誤差

e1=X1-Xd，

式中Xd為指令信號，定義虛擬控制量

其中c1為大于零的常數(shù)，同時速度誤差e2可定義為

e2=X2-υ1.

(13)

根據(jù)位置誤差定義Lyapunov函數(shù)

(14)

對式(14)求導(dǎo)得

(15)

(16)

對式(16)進行求導(dǎo)，并對相關(guān)參數(shù)進行替代，可得

(17)

根據(jù)式(17)可得

(18)

其中c2為正實數(shù)，將式(18)導(dǎo)入方程(17)，可得

因此根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性原理，在τ0作用下，慢速子系統(tǒng)是穩(wěn)定的.由于彈性環(huán)節(jié)的存在，并聯(lián)機器人末端位置可表示為

r=X1+f3(η,h10,h11,h12,ε).

(19)

其中f3為桿件彈性變形與振動對動平臺中心G產(chǎn)生的彈性位移，即末端動平臺的彈性位移.

根據(jù)速度映射關(guān)系，彈性運動部分產(chǎn)生的動平臺加速度可表示為

本文考察的柔性環(huán)節(jié)都在小變形范圍內(nèi)，因桿件彈性位移產(chǎn)生的動平臺末端彈性位移f3可簡化為

(20)

(21)

(22)

根據(jù)方程(22)，定義Lyapunov函數(shù)

(23)

對式(23)求導(dǎo)可得

令ε及ε2的系數(shù)項為零，可得校正力矩為

(24)

4 基于滑模變結(jié)構(gòu)的快速子系統(tǒng)控制

定義新的時間尺度tf=t/ε，快速子系統(tǒng)微分方程(12)可表示為

第2個方程后兩項含小參數(shù)ε，相對于其他項其控制量較小，可以將其視為擾動，因此擾動項可表示為

由于擾動項的存在，快速子系統(tǒng)采用滑模變結(jié)構(gòu)控制，選擇滑模面為

其中K1為正數(shù)，對滑模面求導(dǎo)得

根據(jù)滑模面，定義Lyapunov函數(shù)為

V4=0.5STS.

求導(dǎo)可得

(25)

根據(jù)式(25)，取快速子系統(tǒng)控制律為

KfS+Δ1sgn(S)).

(26)

其中sgn(·)為符號函數(shù)，將式(26)代入式(25)得

由此可知，在式(26)作用下，快速子系統(tǒng)是收斂的.符號函數(shù)會對系統(tǒng)產(chǎn)生抖動，為了降低抖動的產(chǎn)生，將飽和函數(shù)sat(·)代替符號函數(shù)，飽和函數(shù)可定義為[20]

其中Δ2為緩沖層.

5 曲率變化率高增益觀測器

為避免對曲率變化率直接測量，本文設(shè)計高增益觀測器，通過測量得到的曲率觀測曲率變化率.由方程(11)可知，快速子系統(tǒng)變量Xf1對應(yīng)曲率值，可以通過測量應(yīng)力直接換算得到，Xf2對應(yīng)曲率變化率，為觀測器觀測值，根據(jù)文獻[21]、[22]與式(4)，觀測器可表示為

(27)

為證明系統(tǒng)穩(wěn)定性，定義新的誤差變量為

(28)

將式(28)代入式(27)，狀態(tài)觀測器可表示為

(29)

其中P1為正定對稱矩陣，求導(dǎo)可得

由于A0為Hurwitz矩陣，存在正定矩陣P1，使

(30)

(31)

(32)

根據(jù)誤差方程(32)，可定義Lyapunov函數(shù)

V6=εξTPξξ.

(33)

其中Pξ為對稱正定矩陣，式(33)求導(dǎo)可得

(34)

由于Aξ11與A0均為Hurwitz矩陣，對于給定的對稱正定陣Sξ,存在對稱正定矩陣Pξ滿足

(35)

根據(jù)Rayleigh-Ritz不等式可知：

(36)

(37)

(38)

(39)

6 系統(tǒng)穩(wěn)定性證明

各子系統(tǒng)穩(wěn)定性并不能保證系統(tǒng)整體穩(wěn)定性，因此需要綜合各子系統(tǒng)對系統(tǒng)整體穩(wěn)定性進行證明.將式(9)、(18)、(24)分別代入動力學(xué)式(3)可以得系統(tǒng)誤差方程為

式中:

根據(jù)誤差方程，定義整體系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為

(40)

其中Ps與Pξ為對稱正定矩陣，對式(40)求導(dǎo)得

(41)

由于As為Hurwitz矩陣，對于給定的對稱正定陣Ss,存在對稱正定矩陣Ps滿足以下條件：

(42)

根據(jù)Rayleigh-Ritz不等式可知

(43)

(44)

(45)

(46)

(47)

λmin(Ss)(λmin(Sξ)-2(χ6+χ7ε+χ8ε2)-

χ2ε)-(χ3+χ4ε+χ5ε2)2≥0.

忽略O(shè)(ε2)高次項的影響，小參數(shù)ε的最大值滿足

由式(47)可知，當ε的取值滿足0<ε≤εmax時，整體系統(tǒng)是穩(wěn)定的.

7 算法仿真

為對本文提出的復(fù)合控制進行驗證，將其與奇異攝動控制及僅考慮剛體動力學(xué)模型的反演控制進行對比，上述算法仿真在MATLAB軟件的SIMULINK模塊下開展，并選用ode15s積分器.由式(24)可知，在基于積分流形與觀測器的復(fù)合控制算法中，動平臺末端位姿的期望軌跡需滿足四階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，為減小期望軌跡在起始與末端點對系統(tǒng)的沖擊，期望軌跡采用式(48)所示的九次多項式規(guī)劃，保證起始與末端點處的速度、加速度、三階與四階導(dǎo)數(shù)為零.

(48)

為描述末端性能，引入平均誤差，定義為

其中CR為末端動平臺3個方向的性能指標，tM與rM分別為平動方向平均誤差與轉(zhuǎn)動方向平均誤差.

根據(jù)式(20)可計算動平臺彈性位移f3.vi與vm分別表示運行過程中動平臺各方向的最大彈性位移及平動與轉(zhuǎn)動方向的平均彈性位移，vend表示終點時刻彈性位移即殘余振動.對于相同的期望輸入，動平臺彈性位移的大小可反映復(fù)合、奇異、反演3種控制算法的振動抑制效果.各方向的彈性位移見圖4與5.

圖4 動平臺瞬時彈性位移

(a) 各向彈性位移

(b) 動平臺殘余振動

可以看出，奇異攝動與反演控制相比，各方向的最大彈性位移幅值都下降了28%以上，復(fù)合控制與奇異攝動相比下降了4.75%、33.42%與33.52%.反演控制及奇異攝動平動方向的平均彈性位移，分別為1.579、1.112 mm，復(fù)合控制則下降到0.970 mm；對于轉(zhuǎn)動方向，從反演控制及奇異攝動的0.001 4 rad及9.863×10-4rad下降到復(fù)合控制的6.872×10-4rad，復(fù)合控制在兩個方向上彈性位移都下降了14%以上.與反演控制相比，復(fù)合控制與奇異攝動的殘余振動都有較大幅度降低，且兩種算法都接近于0.

跟蹤誤差為末端的實際輸出與期望輸出的差值.tr表示動平臺各方向的最大跟蹤誤差，trm表示平動與轉(zhuǎn)動方向的平均跟蹤誤差，tend表示終點時刻的跟蹤誤差.

由圖6、7可知，與奇異攝動及反演控制器相比，基于積分流形與觀測器的復(fù)合控制在軌跡跟蹤方面具有明顯的優(yōu)勢.對于最大跟蹤誤差，X方向分別下降了85.56%與91.41%，Y方向分別下降了57.55%與90.57%，轉(zhuǎn)動方向分別下降了53.34%與61.5%；對于平均跟蹤誤差，平動方向分別下降了88.2%與92.62%，轉(zhuǎn)動方向分別下降了37.26%與49.57%；在終點時刻跟蹤誤差方面，X方向分別下降了92.8%與72.34%，Y方向分別下降了89.73%與83.62%，轉(zhuǎn)動方向分別下降了85.96%與70.85%.對于終點時刻跟蹤誤差，奇異攝動方法與反演控制器相比在各方向都明顯變差，主要是因為奇異攝動算法只考慮了振動抑制，由于調(diào)節(jié)的延遲，在實現(xiàn)振動抑制時末端點軌跡跟蹤性能變差.

圖6 動平臺末端瞬時跟蹤誤差

(a) 各方向跟蹤誤差

(b) 終點時刻

8 結(jié) 論

1)基于積分流形將剛?cè)狁詈蟿恿W(xué)模型降解為快速與慢速子系統(tǒng)，采用滑模控制與反演控制分別設(shè)計快、慢子系統(tǒng)控制器，并對機器人末端的彈性位移進行補償，同時采用高增益觀測器對曲率變化率進行估計，進而實現(xiàn)高速并聯(lián)機器人的軌跡跟蹤控制.

2)選取Lyapunov函數(shù)，證明了慢速子系統(tǒng)、快速子系統(tǒng)、高增益觀測器及整體系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定性，給出了積分流形與觀測器中小參數(shù)選取條件.

3)Matlab-Simulink仿真結(jié)果表明，復(fù)合控制算法在振動抑制與軌跡跟蹤方面均具有明顯優(yōu)勢.

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(編輯 楊 波)

Trajectory tracking control of parallel manipulator with integral manifold and observer

KONG Minxiu, CHEN Zhengsheng, LIU Ming, JI Chen

(School of Mechatronics Engineering， Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, China)

In view of the problem that flexible displacement will occur for end-effectors of parallel manipulators when operating at a high speed, taking the 3RRR parallel manipulator as the object, the trajectory tracking composite controller based on the integral manifold and high-gain observer is proposed for flexible parallel manipulators.Based on the stiffness matrix, the small variable is introduced to decomposite the rigid-flexible coupling dynamic model of the parallel manipulator into slow subsystem and fast subsystem.For the slow subsystem, the backstepping control is applied for rigid motion tracking of the end-effector.To avoid the influence of the links’ flexible displacement comprised of deformation and vibration on the end-effector’s motion trajectory, the corrective torque is deduced, and the compensation for the flexible displacement is realized.For the fast subsystem, the sliding mode control is utilized to suppress the vibration.At the same time, the high gain observer is designed to avoid the measurement of curvature rate of the flexible links.Also, the stability of the overall system with the proposed method is proven with the Lyapunov stability theorem and the upper bound of the small variable is obtained.At last, the proposed composite controller together with the singular perturbation control and the rigid model based on backstepping control are simulated, and the vibration suppression and tracking accuracy performances are compared to validate the proposed control scheme.

parallel manipulator; integral manifold; high-gain observer; composite control; sliding mode control; backstepping control; vibration suppression

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.01.005

2015-08-11

國家自然科學(xué)基金(51075086)

孔民秀(1972-)，男，副教授； 劉 明(1956-)，男，教授，博士生導(dǎo)師

陳正升，zschen88200@163.com

TP242

A

0367-6234(2017)01-0037-09