☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 蔣志飛

追根溯源，挖掘本質(zhì)
——對(duì)一類含絕對(duì)值的最值問題的探究

☉江蘇省丹陽市呂叔湘中學(xué) 蔣志飛

最近，在高三的一輪復(fù)習(xí)課堂上接連出現(xiàn)含絕對(duì)值的函數(shù)最值問題，筆者在教學(xué)中發(fā)現(xiàn)很有規(guī)律可循，現(xiàn)整理成文，與同行探討．

一、例題展示

求函數(shù)f（x）=|x-1|+|2x-1|+…+|2011x-1|的最小值．（2011年高校自主招生聯(lián)盟之一“北約”試題）

眾所周知，函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-b|（a＜b）的最小值為ba，此時(shí)x∈［a，b］．這不僅可以利用函數(shù)圖像求得，也可以用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)很快得出結(jié)果．這類問題可以推廣為n元的情況，同樣可以結(jié)合這類函數(shù)的圖像特征，求出相應(yīng)的最小值，并且發(fā)現(xiàn)有規(guī)律可循．但是，“北約”將這道題繼續(xù)推廣：當(dāng)絕對(duì)值內(nèi)x的系數(shù)不全為1時(shí)，函數(shù)的最小值問題．那么這類問題該如何求出，是否具有一般性的規(guī)律呢？下面就借助

二、挖掘探究

先給出引理：函數(shù)f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bn|（b1＜b2＜…＜bn，n∈N+）一定有最小值．

（1）若n=2k-1（k∈N+），則當(dāng)x=bk時(shí)，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|；

（2）若n=2k（k∈N+），則當(dāng)x∈［bk，bk+1］時(shí)，f（x）有最小值f（bk），f（bk）=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．

引理證明：（1）當(dāng)n=2k-1（k∈N+）時(shí)，

f（x）=|x-b1|+|x-b2|+…+|x-bk|+…+|x-b2k-1|（b1＜b2＜…＜bk＜…＜b2k-1）．

由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)得|x-b1|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b1，當(dāng)且僅當(dāng)x∈［b1，b2k-1］時(shí)，等號(hào)成立；

|x-b2|+|x-b2k-2|≥b2k-2-b2，當(dāng)且僅當(dāng)x∈［b2，b2k-2］時(shí)，等號(hào)成立；

……

|x-bk-1|+|x-bk+1|≥bk+1-bk-1，當(dāng)且僅當(dāng)x∈［bk-1，bk+1］時(shí)，等號(hào)成立；

|x-bk|≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=bk時(shí)等號(hào)．

又bk∈［bk-1，bk+1］?［bk-2，bk+2］…?…?［b1，b2k-1］，所以當(dāng)且僅當(dāng)x=bk時(shí)，以上各式等號(hào)同時(shí)成立．

故f（x）≥f（bk）=b2k-1-b1+b2k-2-b2+…+bk+1-bk-1

=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k-1）|．

（2）當(dāng)n=2k（k∈N+）時(shí)，同理可得

|x-b1|+|x-b2k|≥b2k-b1，當(dāng)且僅當(dāng)x∈［b1，b2k］時(shí)，等號(hào)成立；

|x-b2|+|x-b2k-1|≥b2k-1-b2，當(dāng)且僅當(dāng)x∈［b2，b2k-1］時(shí)，等號(hào)成立；

……

|x-bk|+|x-bk+1|≥bk+1-bk，當(dāng)且僅當(dāng)x∈［bk，bk+1］時(shí)，等號(hào)成立．

又［bk，bk+1］?［bk-1，bk+2］?…?［b1，b2k］，

所以當(dāng)且僅當(dāng)x∈［bk，bk+1］時(shí)，以上各式等號(hào)同時(shí)成立．

故f（x）≥f（bk）=b2k-b1+b2k-1-b2+…+bk+1-bk

=|（b1+b2+…+bk-1）-（bk+1+bk+2+…+b2k）|．

（1）若n=2k-1（k∈N+），則當(dāng)x=xk時(shí)，f（x）取最小值；

（2）若n=2k（k∈N+），則當(dāng)x∈［xk，xk+1］時(shí)，f（x）取最小值．

三、拓展運(yùn)用

例1求函數(shù)y=|2x-1|+|x-1|+|x-2|的最小值，并求相應(yīng)x的值．

解：不等式可化為|2x|+|x-2|+|2（x-1）|＞2m，即|x|+|x|+ |x-1|+|x-1|+|x-2|＞2m恒成立．又函數(shù)y=|x|+|x|+|x-1|+|x-1|+|x-2|最小值為f（1）=3，

用此推論，易得“北約”考題解答：f（x）min

四、啟迪和反思

1．注重發(fā)散思維，拓展解題方法

高中數(shù)學(xué)是一門重邏輯、重思維的學(xué)科，除了涉及到眾多理論內(nèi)容之外，針對(duì)不同類型的數(shù)學(xué)題目也有諸多求解的方法，所以為了更好地解決有關(guān)的高中數(shù)學(xué)問題，需要在明確解題思路的基礎(chǔ)上，合理選擇一些適宜的解題方法來達(dá)到快速求解數(shù)學(xué)問題的目的，這就要求高中數(shù)學(xué)教師在平時(shí)的解題教學(xué)中要注重拓展學(xué)生的發(fā)散性思維，比如通過“一題多解”或者“多題一解”的變式解題訓(xùn)練可以更好地鍛煉學(xué)生的解題思維，從而可以為提升學(xué)生的高中數(shù)學(xué)求解能力奠定扎實(shí)基礎(chǔ)．而高中數(shù)學(xué)求解中常用的解題法有構(gòu)建函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法、反證法以及類比法等多種方法．但是無論采用何種解題法，都需要結(jié)合題干信息及已求解出的條件來合理選用求解的方法，從而最終達(dá)到求解的目的．

2．把握解題的適度性，提升解題能力

教學(xué)中注重把握解題教學(xué)訓(xùn)練的適度性，避免陷入題海求解訓(xùn)練，更重要的是要把握解題訓(xùn)練的精煉特性，以便學(xué)生解題訓(xùn)練的效果最大化．比如，針對(duì)不同類型的高中數(shù)學(xué)知識(shí)，教師可以專門為學(xué)生制定一些專項(xiàng)解題訓(xùn)練題目來進(jìn)行求解訓(xùn)練；引導(dǎo)學(xué)生在平時(shí)的解題過程中要注重及時(shí)反思解題過程中的差誤，歸納和總結(jié)解題的一些小技巧、小竅門等解題經(jīng)驗(yàn)，從而逐步借助高效的解題訓(xùn)練和解題知識(shí)的積累來逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力．

總之，教無定法，貴在得法，高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)也不例外．傳統(tǒng)解題訓(xùn)練過于重視“就題論題”和“題海訓(xùn)練”，卻忽視了學(xué)生在解題訓(xùn)練中的自主能動(dòng)性和思維的靈活性，影響了學(xué)生的解題效果．若能注意解題中的一題多解、多題一解等解題思想，注意解題的效率，就能提高學(xué)生的解題能力，教師的教學(xué)效益．