☉江蘇省梅村高級(jí)中學(xué) 范永明

復(fù)習(xí)教學(xué)中練習(xí)講評(píng)的有效性探索

☉江蘇省梅村高級(jí)中學(xué) 范永明

一、問題的提出

數(shù)學(xué)練習(xí)講評(píng)是數(shù)學(xué)教學(xué)必不可少的工作，而且數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)決定了練習(xí)講評(píng)是必不可少的．從學(xué)生反饋中，教師可以發(fā)現(xiàn)易錯(cuò)問題所在．但是如何有效地講評(píng)練習(xí)卻一直是數(shù)學(xué)教學(xué)研究的重要問題之一．單墫教授談到中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)指出：講評(píng)中學(xué)數(shù)學(xué)問題要大氣，要以所學(xué)基本知識(shí)為載體發(fā)散輻射，注重對(duì)數(shù)學(xué)問題本質(zhì)的思考和探究，不要過于追求枝節(jié)，從問題所反映的數(shù)學(xué)本質(zhì)去發(fā)展學(xué)生的思維和能力．

二、講評(píng)的原則

1.針對(duì)性

筆者以為，這里的針對(duì)性主要針對(duì)兩個(gè)方面：第一是練習(xí)的講評(píng)、試卷的分析自然必須針對(duì)所授課學(xué)生，要適合授課學(xué)情為首要條件；第二是針對(duì)學(xué)生所犯共性錯(cuò)誤的深入思考，不必面向所有問題，要做到共性錯(cuò)誤的研究是講評(píng)的關(guān)鍵．

2.互動(dòng)性

練習(xí)講評(píng)應(yīng)體現(xiàn)教師主導(dǎo)，師生共同參與的原則．不少的課堂練習(xí)講評(píng)，往往是教師唱獨(dú)角戲，教師一個(gè)人從頭講到尾，這種練習(xí)講評(píng)的效果可想而知．有教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的教師都知道，課堂效率的好壞不在于教師講評(píng)多少時(shí)間，更要學(xué)會(huì)放手學(xué)生，從講評(píng)中提高有效的思維訓(xùn)練、提供足夠的思想方法，學(xué)生的恰當(dāng)參與是提高效率的關(guān)鍵．這種學(xué)生參與的講評(píng)往往從互動(dòng)性角度來說，是合乎課程改革的方向．

3.啟發(fā)性

思維的啟發(fā)才是練習(xí)講評(píng)的主要目的，不要為了講評(píng)試題的技巧而大做文章，這是練習(xí)講評(píng)的大忌．教師要從積極啟發(fā)學(xué)生思維的角度出發(fā)，講評(píng)不應(yīng)只是就題論題而是要高屋建瓴，要講解習(xí)題的內(nèi)在規(guī)律、知識(shí)的縱橫聯(lián)系．啟發(fā)學(xué)生積極思考，建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、形成數(shù)學(xué)思想、提高思維能力．

三、提高練習(xí)講評(píng)有效性的探索

1.一題多解拓展思維

練習(xí)講評(píng)時(shí)，教師要善于挖掘值得研究的問題，并從多個(gè)角度思考學(xué)生為什么解不好這樣的問題？一題多解是比較好的策略．這樣既對(duì)共性問題進(jìn)行了辯解，也深入了挖掘了多數(shù)學(xué)生犯錯(cuò)的原因，并將不同的思路進(jìn)行了梳理、開拓，有助于學(xué)生思維的發(fā)展、思維品質(zhì)的提高．

問題1若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則（1-xy）（1+xy）的最小值是________．

分析：由題目的已知條件大多數(shù)學(xué)生能夠給出考慮結(jié)合均值不等式求解，從而得到思路1（均值不等式法）．

解法1：因?yàn)椋?-xy）（1+xy）=1-x2y2≥1當(dāng)且僅當(dāng)，（1-xy）（1+xy）的最小值是

教師可以啟發(fā)學(xué)生從x2+y2=1的結(jié)構(gòu)特征入手，思考其他解法．有學(xué)生嘗試三角換元得到思路2（三角換元法）．

解法2：因?yàn)閤2+y2=1，所以設(shè)x=cosθ，y=sinθ，所以（1-xy）（1+xy）=1-x2y2=1，故（1-xy）（1+xy）的最小值是

教師肯定學(xué)生的以上解法繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生：所求表達(dá)式中有兩個(gè)變量，能否通過減少變量轉(zhuǎn)化為一個(gè)變量的函數(shù)求最值？這時(shí)學(xué)生也比較有積極性，思考后給出了思路3（函數(shù)法）．

解法3：因?yàn)閤2+y2=1，所以y2=1-x2，所以（1-xy）（1+

又因?yàn)?≤x2≤1，所以時(shí)，（*）式有最小值

共同討論出以上常規(guī)解法后，有學(xué)生又給出了思路4（方程法）．

解法4：設(shè)z=（1-xy）（1+xy）=1-x2y2，當(dāng)x2=0時(shí)，（1-xy）·（1+xy）=1，當(dāng)x2≠0時(shí)，y代入x2+y2=1得，問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x2的一元二次方程x4-x2+1-z=0在（0，1］有解的問題，通過求解可得（1-xy）（1+xy）的最小值是

通過以上幾種解法學(xué)生能夠掌握求最值問題的一般思路，開闊了學(xué)生的思維．過多過密的解題訓(xùn)練，制約學(xué)生思維能力的發(fā)展、基本技能的形成，同時(shí)使學(xué)生更加疲勞、厭倦學(xué)習(xí)．通過一題多解的教學(xué)設(shè)計(jì)，從不同學(xué)生思維的角度入手，既解決了有些學(xué)生有想法行不通的可能，又讓其他學(xué)生打通了多種角度思考問題的可能，這種一題多解型的練習(xí)講評(píng)是符合當(dāng)下數(shù)學(xué)教學(xué)的，是綜合性知識(shí)能力的體現(xiàn)、是學(xué)生知識(shí)整合的貫通，符合現(xiàn)階段練習(xí)講評(píng)的要求．

2.一題多變觸類旁通

變式教學(xué)是復(fù)習(xí)教學(xué)常常采用的重要策略，這也是中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)多年流傳下的傳統(tǒng)．從發(fā)現(xiàn)的問題中，將知識(shí)運(yùn)用的體系從一個(gè)問題拓展到一類問題、幾類問題使講評(píng)的效果大大增加，提高學(xué)生對(duì)知識(shí)融會(huì)貫通的可能性，促進(jìn)自身知識(shí)體系網(wǎng)絡(luò)的建立．

問題2已知函數(shù)f（x）=8x2+16x-k，g（x）=2x3+5x2+4x其中k為實(shí)數(shù)，對(duì)于任意的x∈［-3，3］都有f（x）≤g（x），求k的取值范圍．

變式1：對(duì)于任意的x1∈［-3，3］，任意的x2∈［-3，3］都有f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍．

變式2：對(duì)于任意的x1∈［-3，3］，都存在x2∈［-3，3］使得f（x1）≤g（x2）成立，求k的取值范圍．

變式3：對(duì)于任意的x1∈［-3，3］，都存在x2∈［-3，3］使得f（x1）=g（x2）成立，求k的取值范圍．

分析：?jiǎn)栴}2可以轉(zhuǎn)化為f（x）-g（x）≤0在x∈［-3，3］恒成立問題，通過構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x），等價(jià)于h（x）max≤0；變式1等價(jià)于f（x）max≤g（x）min，從而轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的最值問題；變式2等價(jià)于f（x）max≤g（x）max；變式3可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)值域關(guān)系的問題，即要同時(shí)滿足f（x）max≤g（x）max和f（x）min≥g（x）min．

單變量恒成立問題是中學(xué)恒成立問題的基礎(chǔ)，練習(xí)中以問題2為例進(jìn)行了適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)播，其次教師給出三種不同的變式，很明顯從單變量恒成立上升到雙變量恒成立的問題、存在性問題等，從教學(xué)來看，通過一個(gè)合適的問題作為引導(dǎo)，將中學(xué)數(shù)學(xué)中較為常見的多變量恒成立、存在性問題引入，大大增加了復(fù)習(xí)教學(xué)的效率，強(qiáng)化了基本知識(shí)的處理和轉(zhuǎn)化思想的滲透．

3．合理推廣追根溯源

練習(xí)講評(píng)需要思考問題的本質(zhì)，需要重塑知識(shí)的理解，教師對(duì)于問題要恰當(dāng)發(fā)揮，研究問題的延伸、追求問題根源，形成知識(shí)間牢固的網(wǎng)絡(luò)．

（1）求橢圓Ω的方程；

（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為A（x1，y1），B（x2，y2），直線l上一點(diǎn)M的坐標(biāo)（4，t），則切線方程分別為1．又兩切線均過點(diǎn)M，即，即點(diǎn)A，B的坐標(biāo)都適合方程而兩點(diǎn)確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1，0）都適合這個(gè)方程，故直線AB恒過定點(diǎn)C（1，0）．

探究1所求定點(diǎn)（1，0）恰是橢圓的右焦點(diǎn)，直線x= 4恰是橢圓的右準(zhǔn)線．那么這是一個(gè)巧合嗎？（提出問題，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲）

可以進(jìn)一步進(jìn)行探究，學(xué)生發(fā)現(xiàn)其結(jié)論對(duì)于任意橢圓都成立．

推廣：對(duì)于其他圓錐曲線上述結(jié)論成立嗎？（成立，類似論證可自行操作）

留給學(xué)生自主探索時(shí)間，分組討論，研究對(duì)于拋物線和雙曲線上述結(jié)論是否成立．通過小組交流討論，可以證明上述結(jié)論對(duì)于雙曲線和拋物線也成立，所以可以推廣到一般情形．通過以上的練習(xí)講評(píng)不僅可以得到知識(shí)結(jié)論，更重要的是可以培養(yǎng)學(xué)生提出問題、分析問題和解決問題的思維習(xí)慣．讓這種步驟貫穿于問題解決的始終，從而形成一種良好的解題品質(zhì)．

總之，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，要讓練習(xí)講評(píng)來得有效和高效，是值得一線教師深深思考的問題．從現(xiàn)階段教學(xué)現(xiàn)狀來看，我們更多的時(shí)候是不斷在解決問題、訓(xùn)練熟練程度，卻對(duì)于問題本身、問題背后的思考顯得尤為稀少，這樣的教學(xué)久而久之只能演化為模式化解題的誤區(qū)，沒有辦法讓學(xué)生靜下心思考知識(shí)背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)．筆者非常認(rèn)可羅增儒教授所說的：你沒有重點(diǎn)的分析、面面俱到、就題論題，學(xué)生很多問題都沒有聽進(jìn)去，你要是合理梳理、有效拔高，學(xué)生聽到的恰恰是練習(xí)中的重點(diǎn)，正是講評(píng)中那些有效的閃光點(diǎn)才讓學(xué)生獲得了更多的收獲．

因此筆者建議練習(xí)講評(píng)遵從文中所述原則，進(jìn)行多角度的思考．從復(fù)習(xí)教學(xué)的效果來看，一題多解、一題多變是最常用的練習(xí)講評(píng)策略，尋根溯源也是不錯(cuò)的一個(gè)有效策略，除此之外還可以從反思錯(cuò)誤入手、注重思想角度入手等等，這些都是試卷練習(xí)講評(píng)的有效策略．限于篇幅，未能一一展開其他方面，懇請(qǐng)讀者補(bǔ)充．

1．魏詩(shī)明．“試卷講評(píng)課”授課技藝談［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)研究，2013（10）．

2．章恒群．讓試卷講評(píng)課成為一潭活水［J］．?dāng)?shù)學(xué)教學(xué)，2014（6）．

3．王淑芳．試卷講評(píng)的有效性初探［J］．中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2015（6）．